Страница 62 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

185. Составьте числовое выражение, равное $100$; $0,2$; $-4$.

100
Чтобы составить числовое выражение, значение которого равно 100, можно использовать различные арифметические операции. Поскольку задача не накладывает ограничений на используемые числа и действия, можно привести множество примеров.
Например, скомбинируем умножение и вычитание: $50 \times 3 - 50$.
Проверим порядок действий:
1. Умножение: $50 \times 3 = 150$.
2. Вычитание: $150 - 50 = 100$.
Результат верен. Другой простой пример: $10^2$ или $25 \times 4$.
Ответ: $50 \times 3 - 50$

0,2
Для получения десятичной дроби 0,2 проще всего использовать операцию деления. Число 0,2 можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{2}{10}$ или, после сокращения, $\frac{1}{5}$.
Это представление напрямую соответствует выражению с делением. Возьмем выражение $1 \div 5$.
Проверим вычисление: $1 \div 5 = 0,2$.
Результат верен. Также можно было использовать вычитание: $1 - 0,8$.
Ответ: $1 \div 5$

-4
Чтобы получить отрицательное число, можно использовать вычитание, где уменьшаемое меньше вычитаемого, или операции с отрицательными числами.
Например, рассмотрим выражение $3 - 7$.
Проверим вычисление: $3 - 7 = -4$.
Результат верен. Другой возможный вариант - умножение: $(-2) \times 2$.
Ответ: $3 - 7$

186. Имеет ли смысл данное числовое выражение:

а) $\frac{6,19}{6,24 - 3,12 \cdot 2}$;

б) $\frac{7,8}{-5,64 - 3,1233}$;

в) $\frac{2,4 : 3}{0,6 - 1,8 : 3}$;

г) $\frac{3,4 \cdot 1,4}{-1,8 - 3\frac{2}{3} \cdot (-2)}$?

Числовое выражение, представленное в виде дроби, имеет смысл только тогда, когда его знаменатель не равен нулю, так как деление на ноль не определено.

а) $\frac{6,19}{6,24 - 3,12 \cdot 2}$

Чтобы определить, имеет ли выражение смысл, необходимо вычислить значение его знаменателя: $6,24 - 3,12 \cdot 2$.

Согласно порядку действий, сначала выполняем умножение:

$3,12 \cdot 2 = 6,24$

Теперь выполняем вычитание:

$6,24 - 6,24 = 0$

Знаменатель равен нулю, поэтому выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

б) $\frac{7,8}{-5,64 - 3,1233}$

Вычислим значение знаменателя: $-5,64 - 3,1233$.

$-5,64 - 3,1233 = -8,7633$

Знаменатель не равен нулю ($-8,7633 \neq 0$), следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

в) $\frac{2,4 : 3}{0,6 - 1,8 : 3}$

Вычислим значение знаменателя: $0,6 - 1,8 : 3$.

Сначала выполняем деление:

$1,8 : 3 = 0,6$

Теперь выполняем вычитание:

$0,6 - 0,6 = 0$

Знаменатель равен нулю, поэтому выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

г) $\frac{3,4 \cdot 1,4}{-1,8 - 3\frac{2}{3} \cdot (-2)}$

Вычислим значение знаменателя: $-1,8 - 3\frac{2}{3} \cdot (-2)$.

Сначала выполним умножение. Преобразуем смешанную дробь в неправильную:

$3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$

$ \frac{11}{3} \cdot (-2) = -\frac{22}{3}$

Теперь выполним вычитание. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $-1,8 = -\frac{18}{10} = -\frac{9}{5}$.

$-1,8 - (-\frac{22}{3}) = -\frac{9}{5} + \frac{22}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю 15:

$-\frac{9 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{22 \cdot 5}{3 \cdot 5} = -\frac{27}{15} + \frac{110}{15} = \frac{110 - 27}{15} = \frac{83}{15}$

Знаменатель не равен нулю ($\frac{83}{15} \neq 0$), следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

187. Запишите:

а) квадрат числа $-2^2$;

б) удвоенное число $2 \cdot 12$;

в) куб числа $(0.5)^3$;

г) утроенное число $3 \cdot 5$;

д) удвоенный квадрат числа $2 \cdot 2^2$;

е) утроенный куб числа $3 \cdot (-1)^3$;

ж) произведение чисел $-5 \cdot 4$;

з) удвоенное произведение чисел $2 \cdot (7 \cdot 2)$;

и) произведение числа $4 \cdot (2 \cdot 6)$;

к) произведение числа $-5 \cdot 3^2$.

а) Квадрат числа — это число, умноженное само на себя. Необходимо возвести число –2 во вторую степень. При умножении отрицательного числа на отрицательное получается положительное число.
$(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$.
Ответ: 4

б) Удвоить число — значит умножить его на 2.
$2 \cdot 12 = 24$.
Ответ: 24

в) Куб числа — это число, умноженное само на себя три раза. Необходимо возвести число 0,5 в третью степень.
$(0,5)^3 = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,25 \cdot 0,5 = 0,125$.
Ответ: 0,125

г) Утроить число — значит умножить его на 3.
$3 \cdot 5 = 15$.
Ответ: 15

д) Сначала находим квадрат числа 2, а затем удваиваем (умножаем на 2) полученный результат.
Квадрат числа 2: $2^2 = 4$.
Удвоенный квадрат: $2 \cdot 4 = 8$.
Ответ: 8

е) Сначала находим куб числа –1, а затем утраиваем (умножаем на 3) полученный результат.
Куб числа –1: $(-1)^3 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = 1 \cdot (-1) = -1$.
Утроенный куб: $3 \cdot (-1) = -3$.
Ответ: -3

ж) Произведение — это результат умножения чисел. Умножаем –5 на 4. При умножении отрицательного числа на положительное получается отрицательное число.
$(-5) \cdot 4 = -20$.
Ответ: -20

з) Сначала находим произведение чисел 7 и 2, а затем удваиваем полученный результат.
Произведение: $7 \cdot 2 = 14$.
Удвоенное произведение: $2 \cdot 14 = 28$.
Ответ: 28

и) Сначала удваиваем число 6, а затем находим произведение числа 4 и полученного результата.
Удвоенное число 6: $2 \cdot 6 = 12$.
Произведение: $4 \cdot 12 = 48$.
Ответ: 48

к) Сначала находим квадрат числа 3, а затем находим произведение числа –5 и полученного результата.
Квадрат числа 3: $3^2 = 9$.
Произведение: $(-5) \cdot 9 = -45$.
Ответ: -45

188. a) Турист шёл 1 ч со скоростью 5 км/ч и 4 ч со скоростью 4 км/ч. Определите среднюю скорость туриста на пройденном участке пути.

б) Турист шёл 1 ч со скоростью 4 км/ч и 4 ч со скоростью 5 км/ч. Определите среднюю скорость туриста на пройденном участке пути.

а) Средняя скорость вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему времени движения. Формула для средней скорости: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — это общий путь, а $t_{общ}$ — общее время.
Сначала определим расстояние, пройденное на каждом из двух участков пути. Расстояние равно произведению скорости на время ($S = v \cdot t$).
1. Расстояние, пройденное за первый час:
$S_1 = v_1 \cdot t_1 = 5 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 5 \text{ км}$.
2. Расстояние, пройденное за следующие четыре часа:
$S_2 = v_2 \cdot t_2 = 4 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 16 \text{ км}$.
Теперь найдём общий путь и общее время.
Общий путь: $S_{общ} = S_1 + S_2 = 5 \text{ км} + 16 \text{ км} = 21 \text{ км}$.
Общее время: $t_{общ} = t_1 + t_2 = 1 \text{ ч} + 4 \text{ ч} = 5 \text{ ч}$.
Теперь мы можем рассчитать среднюю скорость на всём пути.
$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{21 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 4,2 \text{ км/ч}$.
Ответ: 4,2 км/ч.

б) Аналогично пункту а), используем формулу средней скорости $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$.
Сначала вычислим расстояния для каждого участка.
1. Расстояние, пройденное за первый час:
$S_1 = v_1 \cdot t_1 = 4 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 4 \text{ км}$.
2. Расстояние, пройденное за следующие четыре часа:
$S_2 = v_2 \cdot t_2 = 5 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 20 \text{ км}$.
Теперь найдём общий путь и общее время.
Общий путь: $S_{общ} = S_1 + S_2 = 4 \text{ км} + 20 \text{ км} = 24 \text{ км}$.
Общее время: $t_{общ} = t_1 + t_2 = 1 \text{ ч} + 4 \text{ ч} = 5 \text{ ч}$.
Рассчитаем среднюю скорость.
$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{24 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 4,8 \text{ км/ч}$.
Ответ: 4,8 км/ч.

189. а) Первый кусок сплава массой 300 г содержит 40% олова, а второй кусок сплава массой 200 г содержит 30% олова. Определите процентное содержание олова в новом сплаве, полученном сплавлением этих кусков.

б) Первый кусок сплава массой 300 г содержит 30% олова, а второй кусок сплава массой 200 г содержит 40% олова. Определите процентное содержание олова в новом сплаве, полученном сплавлением этих кусков.

а) Чтобы определить процентное содержание олова в новом сплаве, необходимо найти общую массу олова и общую массу сплава.
1. Найдем массу олова в первом куске сплава:
$m_1(\text{олова}) = 300 \text{ г} \cdot 40\% = 300 \cdot 0,40 = 120 \text{ г}$.
2. Найдем массу олова во втором куске сплава:
$m_2(\text{олова}) = 200 \text{ г} \cdot 30\% = 200 \cdot 0,30 = 60 \text{ г}$.
3. Найдем общую массу нового сплава:
$M_{\text{общ}} = 300 \text{ г} + 200 \text{ г} = 500 \text{ г}$.
4. Найдем общую массу олова в новом сплаве:
$m_{\text{общ}}(\text{олова}) = m_1(\text{олова}) + m_2(\text{олова}) = 120 \text{ г} + 60 \text{ г} = 180 \text{ г}$.
5. Определим процентное содержание олова в новом сплаве, разделив общую массу олова на общую массу сплава и умножив на 100%:
$\text{Процентное содержание} = \frac{m_{\text{общ}}(\text{олова})}{M_{\text{общ}}} \cdot 100\% = \frac{180}{500} \cdot 100\% = 0,36 \cdot 100\% = 36\%$.

Ответ: 36%.

б) Решение аналогично пункту а), но с другими процентными содержаниями олова в исходных кусках.
1. Найдем массу олова в первом куске сплава:
$m_1(\text{олова}) = 300 \text{ г} \cdot 30\% = 300 \cdot 0,30 = 90 \text{ г}$.
2. Найдем массу олова во втором куске сплава:
$m_2(\text{олова}) = 200 \text{ г} \cdot 40\% = 200 \cdot 0,40 = 80 \text{ г}$.
3. Общая масса нового сплава остается прежней:
$M_{\text{общ}} = 300 \text{ г} + 200 \text{ г} = 500 \text{ г}$.
4. Найдем общую массу олова в новом сплаве:
$m_{\text{общ}}(\text{олова}) = m_1(\text{олова}) + m_2(\text{олова}) = 90 \text{ г} + 80 \text{ г} = 170 \text{ г}$.
5. Определим процентное содержание олова в новом сплаве:
$\text{Процентное содержание} = \frac{m_{\text{общ}}(\text{олова})}{M_{\text{общ}}} \cdot 100\% = \frac{170}{500} \cdot 100\% = 0,34 \cdot 100\% = 34\%$.

Ответ: 34%.

190. a) Зарплата сотрудника фирмы составляла 20 000 р. Сначала её повысили на 30%. Через некоторое время эту зарплату увеличили ещё на 20%. Определите новую зарплату сотрудника фирмы.

б) Цена товара составляла 30 р. Сначала её понизили на 20%. Через некоторое время эту новую цену уменьшили ещё на 10%. Определите окончательную цену товара.

в) В понедельник цена акции увеличилась на 20%, во вторник она увеличилась ещё на 30%. На сколько процентов за эти два дня увеличилась цена акции?

г) Во вторник цена акции увеличилась на 30%, в среду она уменьшилась на 30%. Как изменилась цена акции за эти два дня и на сколько процентов?

а)

Первоначальная зарплата составляла 20 000 р. Первое повышение было на 30%. Чтобы найти новую зарплату, нужно к исходной сумме прибавить 30% от неё. Это то же самое, что умножить исходную сумму на 1.3.

1. Зарплата после первого повышения:
$20000 \times (1 + \frac{30}{100}) = 20000 \times 1.3 = 26000$ р.

Далее, новую зарплату в 26 000 р. увеличили ещё на 20%. Расчёт производится от новой суммы.

2. Зарплата после второго повышения:
$26000 \times (1 + \frac{20}{100}) = 26000 \times 1.2 = 31200$ р.

Ответ: новая зарплата сотрудника фирмы составляет 31 200 р.

б)

Первоначальная цена товара составляла 30 р. Сначала цену понизили на 20%. Чтобы найти новую цену, нужно из исходной вычесть 20% от неё. Это то же самое, что умножить исходную цену на 0.8.

1. Цена после первого понижения:
$30 \times (1 - \frac{20}{100}) = 30 \times 0.8 = 24$ р.

Затем, новую цену в 24 р. уменьшили ещё на 10%. Расчёт производится от новой цены.

2. Цена после второго уменьшения:
$24 \times (1 - \frac{10}{100}) = 24 \times 0.9 = 21.6$ р.

Ответ: окончательная цена товара 21,6 р.

в)

Пусть первоначальная цена акции составляет $X$. В понедельник цена увеличилась на 20%, то есть стала составлять $100\% + 20\% = 120\%$ от первоначальной.

1. Цена после первого дня:
$X \times (1 + \frac{20}{100}) = 1.2X$

Во вторник цена увеличилась ещё на 30% уже от новой цены ($1.2X$).

2. Цена после второго дня:
$(1.2X) \times (1 + \frac{30}{100}) = 1.2X \times 1.3 = 1.56X$

Окончательная цена составляет $1.56X$, что равно 156% от первоначальной цены. Чтобы найти общее увеличение в процентах, вычтем из 156% исходные 100%.

$156\% - 100\% = 56\%$

Ответ: за эти два дня цена акции увеличилась на 56%.

г)

Пусть первоначальная цена акции составляет $X$. Во вторник цена увеличилась на 30%.

1. Цена после вторника:
$X \times (1 + \frac{30}{100}) = 1.3X$

В среду цена уменьшилась на 30% от новой цены ($1.3X$). Это значит, что от цены вторника осталось $100\% - 30\% = 70\%$.

2. Цена после среды:
$(1.3X) \times (1 - \frac{30}{100}) = 1.3X \times 0.7 = 0.91X$

Окончательная цена $0.91X$ составляет 91% от первоначальной цены $X$. Это означает, что цена уменьшилась. Чтобы найти, на сколько процентов цена уменьшилась, вычтем 91% из 100%.

$100\% - 91\% = 9\%$

Ответ: цена акции уменьшилась на 9%.