Страница 67 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

201. а) Что называют одночленом? Приведите примеры.

б) Что называют множителями одночлена? Приведите примеры.

в) Является ли одночленом число; буква?

г) Что называют нулевым одночленом? Приведите примеры.

а) Одночленом в алгебре называют выражение, которое представляет собой произведение чисел, переменных (обозначаемых буквами) и их натуральных степеней. Одночлен не содержит операций сложения или вычитания между несколькими такими произведениями. Любое отдельное число или переменная также являются одночленами. Например, выражения $5$, $x$, $7a$, $xyz$ и $-2a^2b^3c$ являются одночленами, в то время как $a+b$ — это уже не одночлен, а многочлен (сумма двух одночленов).
Ответ: Одночлен — это алгебраическое выражение, представляющее собой произведение чисел, переменных и их натуральных степеней. Примеры: $7x$, $a^2b$, $-5$, $y$.

б) Множителями одночлена называют числа и переменные (в том числе в степенях), из произведения которых он состоит. Чтобы найти множители, нужно представить одночлен в виде произведения его составных частей. Например, рассмотрим одночлен $15x^2y$. Его можно представить как произведение $15 \cdot x^2 \cdot y$. В этом случае множителями являются число $15$, переменная в степени $x^2$ и переменная $y$. Если разложить детальнее, то $15 = 3 \cdot 5$ и $x^2 = x \cdot x$, поэтому множителями также можно назвать $3$, $5$, $x$ и $y$.
Ответ: Множители одночлена — это отдельные числа и переменные (в том числе в степенях), из произведения которых состоит одночлен. Например, в одночлене $-3ab^2$ множителями являются $-3$, $a$ и $b^2$.

в) Да, и число, и буква (переменная) являются частными случаями одночлена.
Число является одночленом. Например, число $8$ можно рассматривать как одночлен, у которого коэффициент равен $8$, а переменные отсутствуют (или, что то же самое, все переменные возведены в нулевую степень, например, $8 = 8x^0$).
Буква (переменная) также является одночленом. Например, переменная $a$ — это одночлен, у которого числовой коэффициент по умолчанию равен $1$, а сама переменная возведена в первую степень ($a = 1 \cdot a^1$).
Ответ: Да, и число, и буква (переменная) являются одночленами.

г) Нулевым одночленом называют одночлен, который тождественно равен нулю. Это число $0$. Любое выражение, являющееся произведением, в котором один из множителей равен нулю, также является нулевым одночленом, так как результат такого произведения всегда равен нулю. Например, выражения $0 \cdot x$, $a \cdot b \cdot 0$ и $-15y^3 \cdot 0$ все равны $0$ и являются нулевыми одночленами. Важной особенностью нулевого одночлена является то, что его степень не определена.
Ответ: Нулевой одночлен — это число 0, а также любое произведение, содержащее множитель 0. Примеры: $0$, $0 \cdot a$, $7x^2 \cdot 0$.

202. Приведите примеры равенств одночленов.

Равенство одночленов — это тождество, в котором левая и правая части являются одночленами, равными друг другу. Обычно такие равенства показывают процесс приведения одночлена к стандартному виду. В одной части равенства записывается одночлен в произвольной форме (например, как произведение нескольких одночленов), а в другой — тот же одночлен, но в стандартном виде.

Стандартный вид одночлена предполагает, что числовой множитель (коэффициент) стоит на первом месте, а за ним следуют переменные (обычно в алфавитном порядке), каждая из которых записана один раз с соответствующим показателем степени.

Ниже приведены несколько примеров таких равенств.

Пример 1

Рассмотрим равенство, в котором одночлен в левой части представлен в виде произведения двух других одночленов. Для получения стандартного вида нужно перемножить их коэффициенты и сложить показатели степеней у одинаковых переменных.

$5a^2b^3 \cdot 2ab^4 = 10a^3b^7$

Доказательство:

Перемножаем коэффициенты: $5 \cdot 2 = 10$.

Перемножаем переменные $a$: $a^2 \cdot a = a^{2+1} = a^3$.

Перемножаем переменные $b$: $b^3 \cdot b^4 = b^{3+4} = b^7$.

Собираем всё вместе и получаем: $10a^3b^7$. Левая часть равна правой.

Ответ: $5a^2b^3 \cdot 2ab^4 = 10a^3b^7$.

Пример 2

Рассмотрим равенство, где одночлен возводится в степень. Для этого нужно возвести в эту степень и коэффициент, и каждую переменную.

$(-2x^3y)^4 = 16x^{12}y^4$

Доказательство:

Возводим в степень коэффициент: $(-2)^4 = 16$.

Возводим в степень переменную $x$: $(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$.

Возводим в степень переменную $y$: $(y^1)^4 = y^{1 \cdot 4} = y^4$.

Результат: $16x^{12}y^4$. Равенство верно.

Ответ: $(-2x^3y)^4 = 16x^{12}y^4$.

Пример 3

Пример с дробными коэффициентами и переменными не в алфавитном порядке.

$\frac{2}{3}c^2da \cdot 9acd^3 = 6a^2c^3d^4$

Доказательство:

Перемножаем коэффициенты: $\frac{2}{3} \cdot 9 = \frac{18}{3} = 6$.

Собираем переменные и перемножаем: $(a) \cdot (c^2 \cdot c) \cdot (d \cdot d^3)$.

Складываем степени: $a^1 \cdot c^{2+1} \cdot d^{1+3} = ac^3d^4$.

Записываем в стандартном виде (переменные в алфавитном порядке): $6a^2c^3d^4$. Ой, в условии я пропустил 'a' в первом множителе. Исправим: $a \cdot a = a^2$. Тогда $(a) \cdot (a) = a^2$. Полное выражение $(c^2da) \cdot (acd^3) = (a \cdot a) \cdot (c^2 \cdot c) \cdot (d \cdot d^3) = a^2c^3d^4$.

Итоговый стандартный вид: $6a^2c^3d^4$. Равенство верно.

Ответ: $\frac{2}{3}c^2da \cdot 9acd^3 = 6a^2c^3d^4$.

Пример 4

Простое равенство, которое показывает, что число без буквенной части также является одночленом.

$(-10)^2 \cdot 0.5 = 50$

Доказательство:

Выполняем действия в левой части: $(-10)^2 = 100$.

$100 \cdot 0.5 = 50$.

Так как $50 = 50$, равенство верно.

Ответ: $(-10)^2 \cdot 0.5 = 50$.

203. Является ли одночленом выражение:

а) $a$;

б) $a+b$;

в) $ba$;

г) $b2c$;

д) $\frac{ab}{a+b}$;

е) $\frac{ax}{b}$;

ж) $-\frac{3}{4}xy$;

з) $7a-3$;

и) $-1,\overline{26}$;

к) $(a-b) \cdot 3$;

л) $\frac{p}{b}axy$;

м) $0?$

Одночлен — это алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел, переменных и их степеней с натуральными показателями. Одночлены не могут содержать операции сложения и вычитания между несколькими членами, а также деления на переменную.

а) Выражение $a$ является переменной. Любая переменная, как и любое число, является одночленом.
Ответ: да

б) Выражение $a + b$ является суммой двух одночленов ($a$ и $b$). По определению, алгебраическая сумма нескольких одночленов называется многочленом. Следовательно, это выражение не является одночленом.
Ответ: нет

в) Выражение $ba$ является произведением двух переменных. Это соответствует определению одночлена.
Ответ: да

г) Выражение $b2c$ представляет собой произведение числа $2$ и переменных $b$ и $c$. В стандартном виде его можно записать как $2bc$. Это одночлен.
Ответ: да

д) Выражение $\frac{ab}{a+b}$ содержит деление на выражение с переменными ($a+b$). Деление на переменную в одночленах не допускается.
Ответ: нет

е) Выражение $\frac{ax}{b}$ содержит деление на переменную $b$. Это не является одночленом.
Ответ: нет

ж) Выражение $\frac{3}{4}xy$ является произведением числового коэффициента $\frac{3}{4}$ и переменных $x$ и $y$. Это одночлен.
Ответ: да

з) Выражение $7a - 3$ является разностью двух одночленов ($7a$ и $3$). Это многочлен (двучлен), а не одночлен.
Ответ: нет

и) Выражение $-1,(26)$ является числом (периодической десятичной дробью). Любое число является одночленом. Его можно записать в виде обыкновенной дроби: $-1\frac{26}{99} = -\frac{125}{99}$.
Ответ: да

к) Выражение $(a-b) \cdot 3$ после раскрытия скобок превращается в $3a - 3b$, что является разностью двух одночленов. Исходное выражение содержит операцию вычитания, поэтому оно не является одночленом.
Ответ: нет

л) Выражение $\frac{p}{b}axy$ содержит деление на переменную $b$. Следовательно, это не одночлен.
Ответ: нет

м) Выражение $0$ — это число. Любое число является одночленом. $0$ называют нулевым одночленом.
Ответ: да

204. Назовите числовые и буквенные множители одночлена:

а) $a9$;

б) $0.6xy$;

в) $c\frac{2}{3}$;

г) $b4c$;

д) $x(-1)y$;

е) $a$;

ж) $5kb$;

з) $0.21axy$.

а) Одночлен $a9$ состоит из числового множителя $9$ и буквенного множителя $a$. Чтобы привести одночлен к стандартному виду, числовой множитель ставят на первое место: $9a$.
Ответ: числовой множитель — 9; буквенный множитель — a.

б) В одночлене $0,6xy$ числовой множитель — это десятичная дробь $0,6$, а буквенные множители — это переменные $x$ и $y$.
Ответ: числовой множитель — 0,6; буквенные множители — x, y.

в) Одночлен $c\frac{2}{3}$ можно записать в стандартном виде как $\frac{2}{3}c$. Здесь числовой множитель — это дробь $\frac{2}{3}$, а буквенный множитель — $c$.
Ответ: числовой множитель — $\frac{2}{3}$; буквенный множитель — c.

г) В одночлене $b4c$ числовым множителем является $4$, а буквенными множителями — $b$ и $c$. Стандартный вид этого одночлена — $4bc$.
Ответ: числовой множитель — 4; буквенные множители — b, c.

д) Одночлен $x(-1)y$ после приведения к стандартному виду записывается как $-xy$ или $-1xy$. Числовой множитель здесь равен $-1$, а буквенные множители — $x$ и $y$.
Ответ: числовой множитель — -1; буквенные множители — x, y.

е) Одночлен $a$ можно представить в виде произведения $1 \cdot a$. В этом случае числовой множитель (коэффициент) равен $1$, а буквенный множитель — $a$.
Ответ: числовой множитель — 1; буквенный множитель — a.

ж) В одночлене $5kb$ числовым множителем является $5$, а буквенными множителями — $k$ и $b$.
Ответ: числовой множитель — 5; буквенные множители — k, b.

з) В одночлене $0,21axy$ числовой множитель — это $0,21$, а буквенные множители — это переменные $a$, $x$ и $y$.
Ответ: числовой множитель — 0,21; буквенные множители — a, x, y.

205. Напишите все одночлены, получающиеся изменением порядка множителей одночлена:

а) $3ab$;

б) $d(-2)3c$;

в) $x7yz$;

г) $a4$;

д) $ab3$;

е) $2ak5$;

ж) $a(-2)bc$.

а)

Исходный одночлен: $3ab$. Этот одночлен состоит из трех множителей: $3$, $a$ и $b$.

Чтобы найти все одночлены, получающиеся изменением порядка множителей, нужно найти все возможные перестановки этих трех множителей. Число перестановок из 3 элементов равно $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Перечислим все возможные одночлены:

$3ab, 3ba, a3b, ab3, b3a, ba3$.

Ответ: $3ab, 3ba, a3b, ab3, b3a, ba3$.

б)

Исходный одночлен: $d(-2)3c$. Множители этого одночлена: $d$, $(-2)$, $3$ и $c$.

Число перестановок из 4 различных множителей равно $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Перечислим все возможные одночлены:

$d(-2)3c, d(-2)c3, d3(-2)c, d3c(-2), dc(-2)3, dc3(-2)$,

$(-2)d3c, (-2)dc3, (-2)3dc, (-2)3cd, (-2)cd3, (-2)c3d$,

$3d(-2)c, 3dc(-2), 3(-2)dc, 3(-2)cd, 3cd(-2), 3c(-2)d$,

$cd(-2)3, cd3(-2), c(-2)d3, c(-2)3d, c3d(-2), c3(-2)d$.

Ответ: $d(-2)3c, d(-2)c3, d3(-2)c, d3c(-2), dc(-2)3, dc3(-2), (-2)d3c, (-2)dc3, (-2)3dc, (-2)3cd, (-2)cd3, (-2)c3d, 3d(-2)c, 3dc(-2), 3(-2)dc, 3(-2)cd, 3cd(-2), 3c(-2)d, cd(-2)3, cd3(-2), c(-2)d3, c(-2)3d, c3d(-2), c3(-2)d$.

в)

Исходный одночлен: $x7yz$. Множители этого одночлена: $x, 7, y, z$.

Число перестановок из 4 различных множителей равно $4! = 24$.

Перечислим все возможные одночлены:

$x7yz, x7zy, xy7z, xyz7, xz7y, xzy7$,

$7xyz, 7xzy, 7yxz, 7yzx, 7zxy, 7zyx$,

$yx7z, yxz7, y7xz, y7zx, yzx7, yz7x$,

$zx7y, zxy7, z7xy, z7yx, zyx7, zy7x$.

Ответ: $x7yz, x7zy, xy7z, xyz7, xz7y, xzy7, 7xyz, 7xzy, 7yxz, 7yzx, 7zxy, 7zyx, yx7z, yxz7, y7xz, y7zx, yzx7, yz7x, zx7y, zxy7, z7xy, z7yx, zyx7, zy7x$.

г)

Исходный одночлен: $a4$. Множители этого одночлена: $a$ и $4$.

Число перестановок из 2 множителей равно $2! = 2 \times 1 = 2$.

Все возможные одночлены:

$a4, 4a$.

Ответ: $a4, 4a$.

д)

Исходный одночлен: $ab3$. Множители этого одночлена: $a, b, 3$.

Число перестановок из 3 элементов равно $3! = 6$.

Перечислим все возможные одночлены:

$ab3, a3b, ba3, b3a, 3ab, 3ba$.

Ответ: $ab3, a3b, ba3, b3a, 3ab, 3ba$.

е)

Исходный одночлен: $2ak5$. Множители этого одночлена: $2, a, k, 5$.

Число перестановок из 4 различных множителей равно $4! = 24$.

Перечислим все возможные одночлены:

$2ak5, 2a5k, 2ka5, 2k5a, 25ak, 25ka$,

$a2k5, a25k, ak25, ak52, a52k, a5k2$,

$k2a5, k25a, ka25, ka52, k52a, k5a2$,

$52ak, 52ka, 5a2k, 5ak2, 5k2a, 5ka2$.

Ответ: $2ak5, 2a5k, 2ka5, 2k5a, 25ak, 25ka, a2k5, a25k, ak25, ak52, a52k, a5k2, k2a5, k25a, ka25, ka52, k52a, k5a2, 52ak, 52ka, 5a2k, 5ak2, 5k2a, 5ka2$.

ж)

Исходный одночлен: $a(-2)bc$. Множители этого одночлена: $a, (-2), b, c$.

Число перестановок из 4 различных множителей равно $4! = 24$.

Перечислим все возможные одночлены:

$a(-2)bc, a(-2)cb, ab(-2)c, abc(-2), ac(-2)b, acb(-2)$,

$(-2)abc, (-2)acb, (-2)bac, (-2)bca, (-2)cab, (-2)cba$,

$ba(-2)c, bac(-2), b(-2)ac, b(-2)ca, bca(-2), bc(-2)a$,

$ca(-2)b, cab(-2), c(-2)ab, c(-2)ba, cba(-2), cb(-2)a$.

Ответ: $a(-2)bc, a(-2)cb, ab(-2)c, abc(-2), ac(-2)b, acb(-2), (-2)abc, (-2)acb, (-2)bac, (-2)bca, (-2)cab, (-2)cba, ba(-2)c, bac(-2), b(-2)ac, b(-2)ca, bca(-2), bc(-2)a, ca(-2)b, cab(-2), c(-2)ab, c(-2)ba, cba(-2), cb(-2)a$.