Страница 74 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

227. Даны одночлены стандартного вида, определите их коэффициенты и степени; укажите одночлены, различающиеся только коэффициентами:

а) $1 \frac{1}{2}a$;

б) $b$;

в) $-c$;

г) $4ab$;

д) $-2a$;

е) $20b^2$;

ж) $10a^2bc$;

з) $7b$;

и) $5a^2bc$;

к) $3a^2bc$;

л) $-6,41a$;

м) $8,3ab$;

н) $24b$;

о) $\frac{3}{25}b^5$;

п) $15p^2$;

р) $2\frac{1}{4}b^2$.

Для решения задачи сначала определим коэффициент и степень для каждого из предложенных одночленов, а затем укажем группы одночленов, которые различаются только коэффициентами.

а) В одночлене $1\frac{1}{2}a$ коэффициент равен $1\frac{1}{2}$. Переменная $a$ находится в первой степени ($a=a^1$), поэтому степень одночлена равна 1.
Ответ: коэффициент $1\frac{1}{2}$, степень 1.

б) В одночлене $b$ числовой коэффициент равен 1, так как $b = 1 \cdot b$. Степень переменной $b$ равна 1, следовательно, степень одночлена равна 1.
Ответ: коэффициент 1, степень 1.

в) В одночлене $-c$ коэффициент равен -1, так как $-c = -1 \cdot c$. Степень переменной $c$ равна 1, поэтому степень одночлена равна 1.
Ответ: коэффициент -1, степень 1.

г) В одночлене $4ab$ коэффициент равен 4. Степень одночлена определяется как сумма степеней входящих в него переменных: $a^1$ и $b^1$. Таким образом, степень равна $1 + 1 = 2$.
Ответ: коэффициент 4, степень 2.

д) В одночлене $-2a$ коэффициент равен -2. Степень переменной $a$ равна 1, поэтому степень одночлена — 1.
Ответ: коэффициент -2, степень 1.

е) В одночлене $20b^2$ коэффициент равен 20. Степень переменной $b$ равна 2, что и является степенью одночлена.
Ответ: коэффициент 20, степень 2.

ж) В одночлене $10a^2bc$ коэффициент равен 10. Степень одночлена равна сумме степеней переменных $a^2, b^1, c^1$: $2 + 1 + 1 = 4$.
Ответ: коэффициент 10, степень 4.

з) В одночлене $7b$ коэффициент равен 7. Степень переменной $b$ равна 1, значит, степень одночлена — 1.
Ответ: коэффициент 7, степень 1.

и) В одночлене $5a^2bc$ коэффициент равен 5. Степень одночлена равна сумме степеней переменных $a^2, b^1, c^1$: $2 + 1 + 1 = 4$.
Ответ: коэффициент 5, степень 4.

к) В одночлене $3a^2bc$ коэффициент равен 3. Степень одночлена равна сумме степеней переменных $a^2, b^1, c^1$: $2 + 1 + 1 = 4$.
Ответ: коэффициент 3, степень 4.

л) В одночлене $-6,41a$ коэффициент равен -6,41. Степень переменной $a$ равна 1, поэтому степень одночлена — 1.
Ответ: коэффициент -6,41, степень 1.

м) В одночлене $8,3ab$ коэффициент равен 8,3. Степень одночлена равна сумме степеней переменных $a^1$ и $b^1$: $1 + 1 = 2$.
Ответ: коэффициент 8,3, степень 2.

н) В одночлене $24b$ коэффициент равен 24. Степень переменной $b$ равна 1, следовательно, степень одночлена — 1.
Ответ: коэффициент 24, степень 1.

о) В одночлене $\frac{3}{25}b^5$ коэффициент равен $\frac{3}{25}$. Степень переменной $b$ равна 5, что является степенью одночлена.
Ответ: коэффициент $\frac{3}{25}$, степень 5.

п) В одночлене $15p^2$ коэффициент равен 15. Степень переменной $p$ равна 2, что является степенью одночлена.
Ответ: коэффициент 15, степень 2.

р) В одночлене $2\frac{1}{4}b^2$ коэффициент равен $2\frac{1}{4}$. Степень переменной $b$ равна 2, что является степенью одночлена.
Ответ: коэффициент $2\frac{1}{4}$, степень 2.

Одночлены, различающиеся только коэффициентами
Это одночлены с одинаковой буквенной частью (подобные одночлены). Сгруппируем их:
1. С буквенной частью $a$: $1\frac{1}{2}a$ (а), $-2a$ (д), $-6,41a$ (л).
2. С буквенной частью $b$: $b$ (б), $7b$ (з), $24b$ (н).
3. С буквенной частью $ab$: $4ab$ (г), $8,3ab$ (м).
4. С буквенной частью $b^2$: $20b^2$ (е), $2\frac{1}{4}b^2$ (р).
5. С буквенной частью $a^2bc$: $10a^2bc$ (ж), $5a^2bc$ (и), $3a^2bc$ (к).
Ответ: ($1\frac{1}{2}a$; $-2a$; $-6,41a$), ($b$; $7b$; $24b$), ($4ab$; $8,3ab$), ($20b^2$; $2\frac{1}{4}b^2$), ($10a^2bc$; $5a^2bc$; $3a^2bc$).

228. Приведите одночлен к стандартному виду:

а) $ (-2)b3; $

б) $ 4a8; $

в) $ (-2)bb^2 4; $

г) $ 3a^2 a^3 8; $

д) $ px^2 (-1)p^3 x^6; $

е) $ 16x^4 y^3 3x^2 y; $

ж) $ (-3)b^3 c^2 b^4 (-4); $

з) $ 3e^2 k^3 (-4)ek^2. $

а) $(-2)b3$

Чтобы привести одночлен к стандартному виду, необходимо перемножить все числовые множители и записать их на первом месте (это будет коэффициент одночлена), а затем перемножить все степени с одинаковым буквенным основанием.

В данном одночлене числовые множители это $-2$ и $3$. Перемножим их:

$(-2) \cdot 3 = -6$

Буквенная часть $b$ только одна, поэтому она остается без изменений.

Соединяем числовой коэффициент и буквенную часть, чтобы получить одночлен в стандартном виде.

Ответ: $-6b$.

б) $4a8$

Перемножим числовые множители $4$ и $8$:

$4 \cdot 8 = 32$

Буквенная часть $a$ остается без изменений.

Записываем одночлен в стандартном виде, поставив коэффициент перед буквенной частью.

Ответ: $32a$.

в) $(-2)bb^24$

Сначала перемножим числовые коэффициенты: $-2$ и $4$.

$(-2) \cdot 4 = -8$

Затем перемножим переменные с основанием $b$. Помним, что $b$ это $b^1$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются.

$b \cdot b^2 = b^1 \cdot b^2 = b^{1+2} = b^3$

Запишем одночлен в стандартном виде, объединив полученный коэффициент и переменную в степени.

Ответ: $-8b^3$.

г) $3a^2a^38$

Перемножим числовые коэффициенты $3$ и $8$:

$3 \cdot 8 = 24$

Перемножим степени с основанием $a$:

$a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$

Объединяем полученные части.

Ответ: $24a^5$.

д) $px^2(-1)p^3x^6$

Сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты, а также степени с одинаковыми буквенными основаниями $p$ и $x$.

Числовой коэффициент (учитывая неявный множитель $1$ перед $p$): $1 \cdot (-1) = -1$.

Переменные с основанием $p$: $p \cdot p^3 = p^1 \cdot p^3 = p^{1+3} = p^4$.

Переменные с основанием $x$: $x^2 \cdot x^6 = x^{2+6} = x^8$.

Собираем одночлен в стандартном виде. Коэффициент $-1$ обычно не пишется, остается только знак "минус". Переменные записываем в алфавитном порядке.

Ответ: $-p^4x^8$.

е) $16x^4y^33x^2y$

Перемножим числовые коэффициенты $16$ и $3$:

$16 \cdot 3 = 48$

Сгруппируем и перемножим переменные с одинаковыми основаниями. Для $x$:

$x^4 \cdot x^2 = x^{4+2} = x^6$

Для $y$ (помним, что $y=y^1$):

$y^3 \cdot y = y^3 \cdot y^1 = y^{3+1} = y^4$

Объединяем все части в стандартный вид.

Ответ: $48x^6y^4$.

ж) $(-3)b^3c^2b^4(-4)$

Перемножим числовые коэффициенты $(-3)$ и $(-4)$:

$(-3) \cdot (-4) = 12$

Перемножим переменные с основанием $b$:

$b^3 \cdot b^4 = b^{3+4} = b^7$

Переменная $c^2$ остается без изменений.

Запишем одночлен в стандартном виде, располагая переменные в алфавитном порядке.

Ответ: $12b^7c^2$.

з) $3e^2k^3(-4)ek^2$

Перемножим числовые коэффициенты $3$ и $(-4)$:

$3 \cdot (-4) = -12$

Перемножим переменные с основанием $e$:

$e^2 \cdot e = e^2 \cdot e^1 = e^{2+1} = e^3$

Перемножим переменные с основанием $k$:

$k^3 \cdot k^2 = k^{3+2} = k^5$

Собираем одночлен в стандартном виде.

Ответ: $-12e^3k^5$.

229. Запишите:

а) произведение $a$ и квадрата $b$;

б) произведение куба $a$ и удвоенного $b$;

в) удвоенное произведение $a$ и квадрата $b$;

г) сумма квадратов $a$ и $b$;

д) квадрат суммы $a$ и $b$;

е) произведение квадрата $a$ и квадрата $b$;

ж) сумму кубов $a$ и $b$;

з) произведение $b$ и куба $a$.

а) произведение a и квадрата b
Чтобы записать произведение числа a и квадрата числа b, нужно умножить a на b, возведенное во вторую степень. Квадрат числа b записывается как $b^2$. Таким образом, произведение a и квадрата b будет $a \cdot b^2$ или, опуская знак умножения, $ab^2$.
Ответ: $ab^2$

б) произведение куба a и удвоенного b
Требуется найти произведение куба числа a и удвоенного числа b. Куб числа a — это $a^3$. Удвоенное число b — это $2b$. Их произведение записывается как $a^3 \cdot 2b$. По правилам записи алгебраических выражений, числовой коэффициент ставится в начале: $2a^3b$.
Ответ: $2a^3b$

в) удвоенное произведение a и квадрата b
Необходимо записать удвоенное произведение числа a и квадрата числа b. Сначала найдем произведение a и квадрата b ($b^2$), что равно $ab^2$. Затем это произведение нужно удвоить, то есть умножить на 2. Получаем $2(ab^2)$ или $2ab^2$.
Ответ: $2ab^2$

г) сумму квадратов a и b
Сумма квадратов чисел a и b означает, что нужно сложить квадрат числа a и квадрат числа b. Квадрат a — это $a^2$, а квадрат b — это $b^2$. Их сумма равна $a^2 + b^2$.
Ответ: $a^2 + b^2$

д) квадрат суммы a и b
Квадрат суммы чисел a и b означает, что сначала нужно найти сумму a и b, а затем результат возвести в квадрат. Сумма a и b записывается как $(a+b)$. Возведение этой суммы в квадрат дает $(a+b)^2$.
Ответ: $(a+b)^2$

е) произведение квадрата a и квадрата b
Произведение квадрата a и квадрата b — это результат умножения $a^2$ на $b^2$. Записывается как $a^2 \cdot b^2$ или $a^2b^2$. Это выражение также можно записать как $(ab)^2$.
Ответ: $a^2b^2$

ж) сумму кубов a и b
Сумма кубов чисел a и b — это сложение куба числа a и куба числа b. Куб a — это $a^3$, а куб b — это $b^3$. Их сумма записывается как $a^3 + b^3$.
Ответ: $a^3 + b^3$

з) произведение b и куба a
Произведение числа b и куба числа a — это результат умножения b на $a^3$. Записывается как $b \cdot a^3$. Принято записывать переменные в алфавитном порядке, поэтому выражение имеет вид $a^3b$.
Ответ: $a^3b$

230. Приведите одночлен к стандартному виду, найдите его коэффициент и степень:

а) $3acb5$;

б) $dcab$;

в) $(-1)ac5b$;

г) $cdab$;

д) $ba$;

е) $7x0y$;

ж) $-\frac{7}{13}$;

з) $0$;

и) $\frac{1}{500}xy(-1)yzx^2$;

к) $\left(-\frac{4}{3}\right)xy^2(0,3)^2zx^4$.

а) Исходный одночлен: $3acb5$. Чтобы привести одночлен к стандартному виду, нужно перемножить все числовые множители и поставить их на первое место, а затем записать в алфавитном порядке все переменные, входящие в одночлен, вычисляя показатель степени для каждой переменной. Выполним умножение числовых коэффициентов: $3 \cdot 5 = 15$. Запишем переменные в алфавитном порядке: $abc$. Стандартный вид одночлена: $15abc$. Коэффициент — это числовой множитель в стандартной записи одночлена, то есть 15. Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех переменных. Для $a, b, c$ показатели степеней равны 1. Степень равна $1 + 1 + 1 = 3$.
Ответ: стандартный вид: $15abc$; коэффициент: 15; степень: 3.

б) Исходный одночлен: $dcab$. Числовой коэффициент в данном случае равен 1. Запишем переменные в алфавитном порядке: $abcd$. Стандартный вид одночлена: $abcd$. Коэффициент равен 1. Степень одночлена равна сумме показателей степеней всех переменных: $1 + 1 + 1 + 1 = 4$.
Ответ: стандартный вид: $abcd$; коэффициент: 1; степень: 4.

в) Исходный одночлен: $(-1)ac5b$. Перемножим числовые множители: $(-1) \cdot 5 = -5$. Запишем переменные в алфавитном порядке: $abc$. Стандартный вид одночлена: $-5abc$. Коэффициент: -5. Степень: $1 + 1 + 1 = 3$.
Ответ: стандартный вид: $-5abc$; коэффициент: -5; степень: 3.

г) Исходный одночлен: $cdab$. Числовой коэффициент равен 1. Запишем переменные в алфавитном порядке: $abcd$. Стандартный вид одночлена: $abcd$. Коэффициент: 1. Степень: $1 + 1 + 1 + 1 = 4$.
Ответ: стандартный вид: $abcd$; коэффициент: 1; степень: 4.

д) Исходный одночлен: $ba$. Числовой коэффициент равен 1. Запишем переменные в алфавитном порядке: $ab$. Стандартный вид одночлена: $ab$. Коэффициент: 1. Степень: $1 + 1 = 2$.
Ответ: стандартный вид: $ab$; коэффициент: 1; степень: 2.

е) Исходный одночлен: $7x0y$. При перемножении множителей получаем: $7 \cdot x \cdot 0 \cdot y = 0$. Стандартный вид одночлена: 0. Коэффициент: 0. Степень нулевого одночлена (числа 0) не определена, так как его можно представить как $0 \cdot x^1$, $0 \cdot x^2$ и т.д.
Ответ: стандартный вид: 0; коэффициент: 0; степень не определена.

ж) Исходный одночлен: $-\frac{7}{13}$. Данный одночлен уже представлен в стандартном виде. Он является константой. Коэффициент: $-\frac{7}{13}$. Степень любого ненулевого числа (константы) равна 0, так как его можно представить с любой переменной в нулевой степени, например, $-\frac{7}{13}x^0$.
Ответ: стандартный вид: $-\frac{7}{13}$; коэффициент: $-\frac{7}{13}$; степень: 0.

з) Исходный одночлен: 0. Одночлен уже в стандартном виде. Коэффициент: 0. Степень нулевого одночлена не определена.
Ответ: стандартный вид: 0; коэффициент: 0; степень не определена.

и) Исходный одночлен: $\frac{1}{500}xy(-1)yzx^2$. Перемножим числовые коэффициенты: $\frac{1}{500} \cdot (-1) = -\frac{1}{500}$. Сгруппируем переменные: $(x \cdot x^2) \cdot (y \cdot y) \cdot z = x^{1+2}y^{1+1}z^1 = x^3y^2z$. Стандартный вид одночлена: $-\frac{1}{500}x^3y^2z$. Коэффициент: $-\frac{1}{500}$. Степень: $3 + 2 + 1 = 6$.
Ответ: стандартный вид: $-\frac{1}{500}x^3y^2z$; коэффициент: $-\frac{1}{500}$; степень: 6.

к) Исходный одночлен: $(-\frac{4}{3})xy^2(0,3)^2zx^4$. Вычислим числовой коэффициент. Сначала возведем в степень: $(0,3)^2 = 0,09$. Затем перемножим: $-\frac{4}{3} \cdot 0,09 = -\frac{4}{3} \cdot \frac{9}{100} = -\frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 100} = -\frac{36}{300} = -\frac{3}{25}$. Сгруппируем переменные: $(x \cdot x^4) \cdot y^2 \cdot z = x^{1+4}y^2z^1 = x^5y^2z$. Стандартный вид одночлена: $-\frac{3}{25}x^5y^2z$. Коэффициент: $-\frac{3}{25}$. Степень: $5 + 2 + 1 = 8$.
Ответ: стандартный вид: $-\frac{3}{25}x^5y^2z$; коэффициент: $-\frac{3}{25}$; степень: 8.