Страница 76 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

236. Найдите одночлен, равный сумме подобных одночленов:

а) $2x + 3x;$

б) $3m + 5m;$

в) $a + 4a + a;$

г) $3b + b + b;$

д) $2a + 4a + 6a;$

е) $4ab + ab + 12ab;$

ж) $17a^2 + 13a^2 + 11a^2;$

з) $15a^2b + 14a^2b + 7a^2b;$

и) $43ce^2 + (-17)ce^2 + 11ce^2;$

к) $25b^2c^2 + (-27)b^2c^2 + 7b^2c^2.$

Чтобы найти одночлен, равный сумме подобных одночленов (привести подобные слагаемые), необходимо сложить их коэффициенты (числовые множители), а буквенную часть оставить без изменений.

В выражении $2x + 3x$ все члены являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $x$. Сложим их коэффициенты: $2x + 3x = (2 + 3)x = 5x$.

Ответ: $5x$

В выражении $3m + 5m$ все члены являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $m$. Сложим их коэффициенты: $3m + 5m = (3 + 5)m = 8m$.

Ответ: $8m$

В выражении $a + 4a + a$ все члены являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $a$. Следует помнить, что коэффициент у одночлена $a$ равен 1. Сложим коэффициенты: $a + 4a + a = (1 + 4 + 1)a = 6a$.

Ответ: $6a$

В выражении $3b + b + b$ все члены являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $b$. Коэффициент у одночлена $b$ равен 1. Сложим коэффициенты: $3b + b + b = (3 + 1 + 1)b = 5b$.

Ответ: $5b$

В выражении $2a + 4a + 6a$ все члены являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $a$. Сложим их коэффициенты: $2a + 4a + 6a = (2 + 4 + 6)a = 12a$.

Ответ: $12a$

В выражении $4ab + ab + 12ab$ все члены являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $ab$. Коэффициент у одночлена $ab$ равен 1. Сложим коэффициенты: $4ab + ab + 12ab = (4 + 1 + 12)ab = 17ab$.

Ответ: $17ab$

В выражении $17a^2 + 13a^2 + 11a^2$ все члены являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $a^2$. Сложим их коэффициенты: $17a^2 + 13a^2 + 11a^2 = (17 + 13 + 11)a^2 = (30 + 11)a^2 = 41a^2$.

Ответ: $41a^2$

В выражении $15a^2b + 14a^2b + 7a^2b$ все члены являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $a^2b$. Сложим их коэффициенты: $15a^2b + 14a^2b + 7a^2b = (15 + 14 + 7)a^2b = (29 + 7)a^2b = 36a^2b$.

Ответ: $36a^2b$

В выражении $43ce^2 + (-17)ce^2 + 11ce^2$ все члены являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $ce^2$. Сложим их коэффициенты: $43ce^2 + (-17)ce^2 + 11ce^2 = (43 - 17 + 11)ce^2 = (26 + 11)ce^2 = 37ce^2$.

Ответ: $37ce^2$

В выражении $25b^2c^2 + (-27)b^2c^2 + 7b^2c^2$ все члены являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $b^2c^2$. Сложим их коэффициенты: $25b^2c^2 + (-27)b^2c^2 + 7b^2c^2 = (25 - 27 + 7)b^2c^2 = (-2 + 7)b^2c^2 = 5b^2c^2$.

Ответ: $5b^2c^2$

237. Найдите одночлен, равный разности подобных одночленов:

а) $7x - 2x$;

б) $a - 3a$;

в) $10a - 18a$;

г) $-4b - 2b$;

д) $3bc - 17bc$;

е) $mk - 2mk$;

ж) $28a^2 - 17a^2$;

з) $4b^2c - 12b^2c$;

и) $17a^2b^2 - 9a^2b^2$;

к) $24b^2c^3 - (-17)b^2c^3$.

а) Подобные одночлены — это одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть. Чтобы найти разность подобных одночленов $7x$ и $2x$, необходимо вычесть их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.
$7x - 2x = (7 - 2)x = 5x$.
Ответ: $5x$.

б) Одночлены $a$ и $3a$ являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $a$. Коэффициент одночлена $a$ равен 1. Выполним вычитание коэффициентов:
$a - 3a = 1a - 3a = (1 - 3)a = -2a$.
Ответ: $-2a$.

в) Одночлены $10a$ и $18a$ являются подобными с общей буквенной частью $a$. Найдем разность их коэффициентов:
$10a - 18a = (10 - 18)a = -8a$.
Ответ: $-8a$.

г) Одночлены $-4b$ и $2b$ являются подобными с общей буквенной частью $b$. Найдем их разность, выполнив вычитание коэффициентов:
$-4b - 2b = (-4 - 2)b = -6b$.
Ответ: $-6b$.

д) Одночлены $3bc$ и $17bc$ являются подобными, так как их буквенная часть $bc$ одинакова. Вычитаем их коэффициенты:
$3bc - 17bc = (3 - 17)bc = -14bc$.
Ответ: $-14bc$.

е) Одночлены $mk$ и $2mk$ являются подобными с буквенной частью $mk$. Коэффициент одночлена $mk$ равен 1. Вычитаем коэффициенты:
$mk - 2mk = 1mk - 2mk = (1 - 2)mk = -1mk = -mk$.
Ответ: $-mk$.

ж) Одночлены $28a^2$ и $17a^2$ являются подобными, их общая буквенная часть — $a^2$. Найдем разность коэффициентов:
$28a^2 - 17a^2 = (28 - 17)a^2 = 11a^2$.
Ответ: $11a^2$.

з) Одночлены $4b^2c$ и $12b^2c$ являются подобными с буквенной частью $b^2c$. Выполним вычитание их коэффициентов:
$4b^2c - 12b^2c = (4 - 12)b^2c = -8b^2c$.
Ответ: $-8b^2c$.

и) Одночлены $17a^2b^2$ и $9a^2b^2$ являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $a^2b^2$. Вычитаем коэффициенты:
$17a^2b^2 - 9a^2b^2 = (17 - 9)a^2b^2 = 8a^2b^2$.
Ответ: $8a^2b^2$.

к) Одночлены $24b^2c^3$ и $(-17)b^2c^3$ являются подобными с буквенной частью $b^2c^3$. Нам нужно найти разность $24b^2c^3 - (-17)b^2c^3$. Вычитание отрицательного числа заменяется сложением:
$24b^2c^3 - (-17)b^2c^3 = 24b^2c^3 + 17b^2c^3 = (24 + 17)b^2c^3 = 41b^2c^3$.
Ответ: $41b^2c^3$.

238. Найдите сумму подобных одночленов:

а) $a^2bc + 2abca + (-3bca^2)$;

б) $(-aba^2) + 7a^2ba + a^3b$;

в) $7a^2 + (-3a^2) + (-4a^2).$

а) Чтобы найти сумму подобных одночленов, необходимо сначала привести каждый одночлен к стандартному виду. Одночлены являются подобными, если они имеют одинаковую буквенную часть.
Дано выражение: $a^2bc + 2abca + (-3bca^2)$.
Приведем каждый одночлен к стандартному виду (коэффициент, затем переменные в алфавитном порядке):
1. $a^2bc$: уже в стандартном виде. Коэффициент равен 1, буквенная часть $a^2bc$.
2. $2abca = 2 \cdot (a \cdot a) \cdot b \cdot c = 2a^2bc$. Коэффициент равен 2, буквенная часть $a^2bc$.
3. $-3bca^2 = -3a^2bc$. Коэффициент равен -3, буквенная часть $a^2bc$.
Все три одночлена имеют одинаковую буквенную часть $a^2bc$, поэтому они подобны. Чтобы найти их сумму, сложим их коэффициенты и умножим результат на общую буквенную часть.
$a^2bc + 2a^2bc - 3a^2bc = (1 + 2 - 3)a^2bc = 0 \cdot a^2bc = 0$.
Ответ: $0$

б) Дано выражение: $(-aba^2) + 7a^2ba + a^3b$.
Приведем каждый одночлен к стандартному виду:
1. $-aba^2 = -1 \cdot (a \cdot a^2) \cdot b = -a^3b$. Коэффициент равен -1, буквенная часть $a^3b$.
2. $7a^2ba = 7 \cdot (a^2 \cdot a) \cdot b = 7a^3b$. Коэффициент равен 7, буквенная часть $a^3b$.
3. $a^3b$: уже в стандартном виде. Коэффициент равен 1, буквенная часть $a^3b$.
Все три одночлена имеют одинаковую буквенную часть $a^3b$, значит они подобны. Сложим их коэффициенты и умножим на общую буквенную часть.
$-a^3b + 7a^3b + a^3b = (-1 + 7 + 1)a^3b = 7a^3b$.
Ответ: $7a^3b$

в) Дано выражение: $7a^2 + (-3a^2) + (-4a^2)$.
Все одночлены в этом выражении уже находятся в стандартном виде и являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $a^2$.
Чтобы найти сумму, сложим их коэффициенты:
$7a^2 + (-3a^2) + (-4a^2) = 7a^2 - 3a^2 - 4a^2 = (7 - 3 - 4)a^2 = (4 - 4)a^2 = 0 \cdot a^2 = 0$.
Ответ: $0$

239. Найдите разность подобных одночленов:

а) $3abc - 7abc;$

б) $9a^3b^2 - 9a^3b^2;$

в) $5a - 6a;$

г) $7a - a.$

Чтобы найти разность подобных одночленов, необходимо из коэффициента уменьшаемого вычесть коэффициент вычитаемого, а буквенную часть оставить без изменений. Это действие основано на распределительном свойстве умножения.

а) Даны одночлены $3abc$ и $7abc$. Они являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $abc$. Выполним вычитание их коэффициентов (числовых множителей).

Выносим общую буквенную часть за скобки: $3abc - 7abc = (3 - 7)abc$.

Вычисляем разность в скобках: $3 - 7 = -4$.

Таким образом, результат: $(3 - 7)abc = -4abc$.

Ответ: $-4abc$

б) Даны одночлены $9a^3b^2$ и $9a^3b^2$. Это подобные одночлены, так как их буквенная часть $a^3b^2$ совпадает. Более того, это одинаковые одночлены.

Находим разность их коэффициентов:

$9a^3b^2 - 9a^3b^2 = (9 - 9)a^3b^2$.

Вычисляем разность в скобках: $9 - 9 = 0$.

Получаем: $0 \cdot a^3b^2 = 0$.

Разность двух одинаковых выражений всегда равна нулю.

Ответ: $0$

в) Даны одночлены $5a$ и $6a$. Они подобны, так как у них общая буквенная часть $a$.

Чтобы найти их разность, вычтем коэффициент $6$ из коэффициента $5$:

$5a - 6a = (5 - 6)a$.

Вычисляем: $5 - 6 = -1$.

Следовательно: $(5 - 6)a = -1a = -a$.

Принято не писать коэффициент, если он равен $-1$, оставляя только знак минус.

Ответ: $-a$

г) Даны одночлены $7a$ и $a$. Они являются подобными с общей буквенной частью $a$. Коэффициент одночлена $a$ равен $1$, хотя он обычно не записывается.

Таким образом, выражение можно переписать как $7a - 1a$.

Находим разность коэффициентов:

$7a - a = (7 - 1)a$.

Вычисляем разность в скобках: $7 - 1 = 6$.

Получаем итоговый результат: $(7 - 1)a = 6a$.

Ответ: $6a$

240. Приведите подобные члены:

а) $18a^2b - 4a^2b + 6a^2b;$

б) $6a^8b^2 + 7a^8b^2 + (-2)a^8b^2;$

в) $4b^3c^4 + 8b^3c^4 - 14b^3c^4;$

г) $0c^2e^5 + 4c^2e^5 - 16c^2e^5;$

д) $2,1a^2e - 1,6a^2e + 1,5a^2e;$

е) $6,46a^4k + 2,14a^4k - 8,6a^4k;$

ж) $5,18a^2p^3 + 3,22a^2p^3 - 2,4a^2p^3;$

з) $7,14ax^2 + 4,36ax^2 - 12,8ax^2.$

а) Чтобы привести подобные члены в выражении $18a^2b - 4a^2b + 6a^2b$, необходимо сложить их коэффициенты, так как все члены имеют одинаковую буквенную часть $a^2b$. Вынесем общую часть за скобки: $(18 - 4 + 6)a^2b$. Выполним действия в скобках: $18 - 4 = 14$, затем $14 + 6 = 20$. Таким образом, получаем $20a^2b$.
Ответ: $20a^2b$.

б) В выражении $6a^8b^2 + 7a^8b^2 + (-2)a^8b^2$ все члены являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $a^8b^2$. Приведем подобные члены, сложив их коэффициенты: $6 + 7 + (-2) = 6 + 7 - 2$. Выполним вычисления: $6 + 7 = 13$, затем $13 - 2 = 11$. Результат: $11a^8b^2$.
Ответ: $11a^8b^2$.

в) Выражение $4b^3c^4 + 8b^3c^4 - 14b^3c^4$ состоит из подобных членов с общей буквенной частью $b^3c^4$. Сложим их коэффициенты: $(4 + 8 - 14)b^3c^4$. Выполним действия: $4 + 8 = 12$, затем $12 - 14 = -2$. Следовательно, выражение равно $-2b^3c^4$.
Ответ: $-2b^3c^4$.

г) В выражении $0c^2e^5 + 4c^2e^5 - 16c^2e^5$ все члены подобны с буквенной частью $c^2e^5$. Первый член $0c^2e^5$ равен нулю. Сложим коэффициенты: $0 + 4 - 16 = 4 - 16 = -12$. Таким образом, упрощенное выражение равно $-12c^2e^5$.
Ответ: $-12c^2e^5$.

д) Для приведения подобных членов в выражении $2,1a^2e - 1,6a^2e + 1,5a^2e$ сложим коэффициенты при одинаковой буквенной части $a^2e$: $(2,1 - 1,6 + 1,5)a^2e$. Произведем вычисления: $2,1 - 1,6 = 0,5$, затем $0,5 + 1,5 = 2$. Результат: $2a^2e$.
Ответ: $2a^2e$.

е) Все члены выражения $6,46a^4k + 2,14a^4k - 8,6a^4k$ являются подобными с общей частью $a^4k$. Сложим их коэффициенты: $(6,46 + 2,14 - 8,6)a^4k$. Выполним сложение: $6,46 + 2,14 = 8,6$. Затем вычитание: $8,6 - 8,6 = 0$. Произведение $0 \cdot a^4k$ равно 0.
Ответ: $0$.

ж) В выражении $5,18a^2p^3 + 3,22a^2p^3 - 2,4a^2p^3$ все члены имеют одинаковую буквенную часть $a^2p^3$, поэтому они являются подобными. Сложим их коэффициенты: $5,18 + 3,22 - 2,4$. Сначала сложим: $5,18 + 3,22 = 8,4$. Затем вычтем: $8,4 - 2,4 = 6$. Итоговое выражение: $6a^2p^3$.
Ответ: $6a^2p^3$.

з) Подобные члены в выражении $7,14ax^2 + 4,36ax^2 - 12,8ax^2$ имеют общую буквенную часть $ax^2$. Для их приведения сложим коэффициенты: $7,14 + 4,36 - 12,8$. Выполним сложение: $7,14 + 4,36 = 11,5$. Затем вычитание: $11,5 - 12,8 = -1,3$. Таким образом, результат равен $-1,3ax^2$.
Ответ: $-1,3ax^2$.