Страница 81 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

254. а) Какой многочлен называют многочленом стандартного вида? Приведите примеры.

б) Что называют двучленом, трёхчленом? Приведите примеры.

в) Любой ли многочлен можно привести к стандартному виду?

г) Что нужно сделать для того, чтобы привести многочлен к стандартному виду?

д) Что называют степенью ненулевого многочлена стандартного вида?

е) Определена ли степень нулевого многочлена?

а) Многочлен стандартного вида — это многочлен, в котором все его члены (одночлены) записаны в стандартном виде и среди них нет подобных членов. Одночлен считается представленным в стандартном виде, если он содержит только один числовой множитель (коэффициент), который стоит на первом месте, и степени различных переменных. Члены многочлена стандартного вида принято записывать в порядке убывания их степеней.
Примеры многочленов стандартного вида: $5x^4 - 2x^2 + 8$; $12a^3b^2 - ab + 4$.
Пример многочлена, не являющегося многочленом стандартного вида: $3x^2y - 2xy + 5x \cdot x \cdot y + 7$.
В этом примере член $5x \cdot x \cdot y$ не в стандартном виде. После приведения его к стандартному виду $5x^2y$ многочлен станет $3x^2y - 2xy + 5x^2y + 7$. Теперь в нем есть подобные члены $3x^2y$ и $5x^2y$. После их сложения получим многочлен стандартного вида: $8x^2y - 2xy + 7$.
Ответ: Многочлен стандартного вида — это многочлен, который является суммой одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных. Например, $7x^3 - 4xy + 11$.

б) Двучленом называют многочлен, состоящий из двух членов. Трёхчленом называют многочлен, состоящий из трёх членов. В общем случае многочлен, состоящий из $n$ членов, называют $n$-членом.
Примеры двучленов: $x + y$; $4a^2 - 9$; $7m^3n - k^5$.
Примеры трёхчленов: $a^2 + 2ab + b^2$; $5x^4 - 3x^2 + 1$; $m + n - k$.
Ответ: Двучлен — это многочлен, содержащий два члена (например, $a-b$). Трёхчлен — это многочлен, содержащий три члена (например, $x^2 + y + 3$).

в) Да, любой многочлен можно привести к стандартному виду. Этот процесс является одним из основных преобразований в алгебре. Он всегда выполним и приводит к единственному результату (с точностью до перестановки слагаемых). Для этого нужно выполнить два шага: привести каждый член многочлена к стандартному виду и затем сложить подобные члены.
Ответ: Да, любой многочлен можно привести к стандартному виду.

г) Для того, чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо выполнить следующую последовательность действий:
1. Каждый член многочлена, который не является одночленом стандартного вида, привести к стандартному виду. Это значит перемножить все числовые множители и сгруппировать степени одинаковых переменных.
2. Сложить подобные члены. Подобными называются члены, у которых одинаковая буквенная часть. При их сложении складываются их коэффициенты, а буквенная часть остается без изменений.
Например, приведём к стандартному виду многочлен $2a \cdot 4b - 5ab + a^2 \cdot 3a$:
1. Приводим члены к стандартному виду: $8ab - 5ab + 3a^3$.
2. Складываем подобные члены $8ab$ и $-5ab$: $(8-5)ab + 3a^3 = 3ab + 3a^3$.
3. Для удобства можно расположить члены по убыванию степеней: $3a^3 + 3ab$.
Ответ: Нужно каждый член многочлена привести к стандартному виду, а затем выполнить приведение подобных членов.

д) Степенью ненулевого многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, из которых он состоит. Степенью одночлена, в свою очередь, называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Степень ненулевого числа (одночлена без переменных) равна нулю.
Например, для многочлена $5x^3y^4 - 2x^6 + 3xy - 7$ степени его членов равны:
• степень $5x^3y^4$ равна $3+4=7$;
• степень $-2x^6$ равна $6$;
• степень $3xy$ (то есть $3x^1y^1$) равна $1+1=2$;
• степень $-7$ равна $0$.
Наибольшая из этих степеней — $7$. Значит, степень всего многочлена равна $7$.
Ответ: Степенью ненулевого многочлена стандартного вида является самая большая из степеней его членов.

е) Нет, степень нулевого многочлена (многочлена, все коэффициенты которого равны нулю, т.е. $0$) в стандартной школьной программе считается неопределенной. Это связано с тем, что у него нет ненулевых членов, и, следовательно, невозможно выбрать член с наибольшей степенью. Кроме того, число $0$ можно записать как $0 \cdot x$, $0 \cdot x^2$, $0 \cdot x^n$ для любого $n$, что не позволяет однозначно определить его степень. В некоторых разделах высшей математики степени нулевого многочлена приписывают значение $-\infty$ (минус бесконечность) для сохранения некоторых свойств операций над многочленами, но это не является общепринятым определением в базовой алгебре.
Ответ: Нет, степень нулевого многочлена не определена.

255. Имеет ли многочлен стандартный вид:

а) $m - 3n + 2m;$

б) $a \cdot 2b - 3a^2 + b;$

в) $3xy - 3yx + 1;$

г) $a^2 + ab + b^2 + ab;$

д) $x^5 - 2x^4 + 3x^3 - 1;$

е) $ba - a^2b - a^3b;$

ж) $a^3b + ab^3 - a^2b^2 + 2bab^2?$

Многочлен имеет стандартный вид, если он представляет собой сумму одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных членов. Одночлен имеет стандартный вид, если он записан в виде произведения числового множителя (коэффициента), стоящего на первом месте, и степеней различных переменных (записанных, как правило, в алфавитном порядке). Проверим каждый многочлен на соответствие этим условиям.

а) Многочлен $m - 3n + 2m$ не имеет стандартного вида, так как содержит подобные члены (члены с одинаковой буквенной частью): $m$ и $2m$. Чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо выполнить приведение подобных членов:

$m - 3n + 2m = (m + 2m) - 3n = 3m - 3n$

Ответ: Нет.

б) Многочлен $a \cdot 2b - 3a^2 + b$ не имеет стандартного вида, так как его первый член $a \cdot 2b$ не является одночленом стандартного вида. Одночлен стандартного вида должен иметь числовой коэффициент на первом месте. Приведем его к стандартному виду:

$a \cdot 2b = 2ab$

Таким образом, многочлен в стандартном виде: $2ab - 3a^2 + b$.

Ответ: Нет.

в) Многочлен $3xy - 3yx + 1$ не имеет стандартного вида. Во-первых, член $-3yx$ не записан в стандартном виде, так как переменные в нем расположены не в алфавитном порядке ($yx = xy$). Во-вторых, после приведения этого члена к стандартному виду ($ -3yx = -3xy $), в многочлене оказываются подобные члены: $3xy$ и $-3xy$. Приведем их:

$3xy - 3yx + 1 = 3xy - 3xy + 1 = 0 + 1 = 1$

Ответ: Нет.

г) Многочлен $a^2 + ab + b^2 + ab$ не имеет стандартного вида, так как он содержит подобные члены: $ab$ и $ab$. Приведем подобные члены:

$a^2 + ab + b^2 + ab = a^2 + (ab + ab) + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Ответ: Нет.

д) Многочлен $x^5 - 2x^4 + 3x^3 - 1$ имеет стандартный вид. Все его члены являются одночленами стандартного вида, подобных членов среди них нет, и они расположены в порядке убывания степеней переменной $x$.

Ответ: Да.

е) Многочлен $ba - a^{2}b - a^{3}b$ не имеет стандартного вида, так как его первый член $ba$ не является одночленом стандартного вида. Переменные в нем должны быть записаны в алфавитном порядке: $ba = ab$. Многочлен в стандартном виде будет:

$ab - a^2b - a^3b$

Ответ: Нет.

ж) Многочлен $a^3b + ab^3 - a^2b^2 + 2bab^2$ не имеет стандартного вида по двум причинам. Во-первых, его последний член $2bab^2$ не приведен к стандартному виду. Приведем его:

$2bab^2 = 2 \cdot a \cdot (b \cdot b^2) = 2ab^3$

После этого преобразования многочлен принимает вид: $a^3b + ab^3 - a^2b^2 + 2ab^3$.

Во-вторых, теперь в многочлене есть подобные члены: $ab^3$ и $2ab^3$. Приведем их:

$a^3b + (ab^3 + 2ab^3) - a^2b^2 = a^3b + 3ab^3 - a^2b^2$

Ответ: Нет.

256. Приведите многочлен к стандартному виду, определите коэффициенты и степени его членов:

a) $b + b + ac + ac + ac;$

б) $2a^2 - 3b + b - 7a^2 - b;$

в) $xx + xx + x - 2x;$

г) $2a^3 + 4a^3 - 5a^2 + 5a^2.$

а) $b + b + ac + ac + ac$

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо найти и сложить подобные члены (одночлены). Подобными называются члены, имеющие одинаковую буквенную часть.

В данном многочлене есть две группы подобных членов:
1. Члены с переменной $b$: $b$ и $b$. Их сумма равна $b + b = 2b$.
2. Члены с буквенной частью $ac$: $ac$, $ac$ и $ac$. Их сумма равна $ac + ac + ac = 3ac$.

Сложив результаты, получаем многочлен $2b + 3ac$. В стандартном виде многочлена принято располагать его члены в порядке убывания их степеней. Степень члена $3ac$ равна сумме степеней переменных, входящих в него: $1+1=2$. Степень члена $2b$ равна $1$.
Таким образом, стандартный вид многочлена: $3ac + 2b$.

Определим коэффициенты и степени его членов:
– Член $3ac$: коэффициент равен $3$, степень равна $2$.
– Член $2b$: коэффициент равен $2$, степень равна $1$.

Ответ: Стандартный вид многочлена: $3ac + 2b$. Член $3ac$ имеет коэффициент $3$ и степень $2$; член $2b$ имеет коэффициент $2$ и степень $1$.

б) $2a^2 - 3b + b - 7a^2 - b$

Сгруппируем и сложим подобные члены:
1. Члены с буквенной частью $a^2$: $2a^2$ и $-7a^2$. Их сумма: $2a^2 - 7a^2 = (2-7)a^2 = -5a^2$.
2. Члены с переменной $b$: $-3b$, $+b$ и $-b$. Их сумма: $-3b + b - b = (-3+1-1)b = -3b$.

Стандартный вид многочлена, записанный в порядке убывания степеней: $-5a^2 - 3b$.

Определим коэффициенты и степени его членов:
– Член $-5a^2$: коэффициент равен $-5$, степень равна $2$.
– Член $-3b$: коэффициент равен $-3$, степень равна $1$.

Ответ: Стандартный вид многочлена: $-5a^2 - 3b$. Член $-5a^2$ имеет коэффициент $-5$ и степень $2$; член $-3b$ имеет коэффициент $-3$ и степень $1$.

в) $xx + xx + x - 2x$

Сначала приведем каждый член к стандартному виду. Произведение $xx$ равно $x^2$.
Тогда многочлен можно переписать как: $x^2 + x^2 + x - 2x$.

Теперь сгруппируем и сложим подобные члены:
1. Члены с буквенной частью $x^2$: $x^2$ и $x^2$. Их сумма: $x^2 + x^2 = 2x^2$.
2. Члены с переменной $x$: $x$ и $-2x$. Их сумма: $x - 2x = (1-2)x = -x$.

Стандартный вид многочлена: $2x^2 - x$.

Определим коэффициенты и степени его членов:
– Член $2x^2$: коэффициент равен $2$, степень равна $2$.
– Член $-x$: коэффициент равен $-1$, степень равна $1$.

Ответ: Стандартный вид многочлена: $2x^2 - x$. Член $2x^2$ имеет коэффициент $2$ и степень $2$; член $-x$ имеет коэффициент $-1$ и степень $1$.

г) $2a^3 + 4a^3 - 5a^2 + 5a^2$

Сгруппируем и сложим подобные члены:
1. Члены с буквенной частью $a^3$: $2a^3$ и $4a^3$. Их сумма: $2a^3 + 4a^3 = (2+4)a^3 = 6a^3$.
2. Члены с буквенной частью $a^2$: $-5a^2$ и $5a^2$. Их сумма: $-5a^2 + 5a^2 = (-5+5)a^2 = 0 \cdot a^2 = 0$.

Так как сумма членов с $a^2$ равна нулю, они не записываются в стандартном виде многочлена.
Стандартный вид многочлена (в данном случае — одночлена): $6a^3$.

Определим коэффициент и степень этого члена:
– Член $6a^3$: коэффициент равен $6$, степень равна $3$.

Ответ: Стандартный вид многочлена: $6a^3$. Он состоит из одного члена, у которого коэффициент $6$ и степень $3$.

257. Приведите многочлен к стандартному виду, определите его степень:

а) $4a^2b + 5b^2a + baa + 3aba;$

б) $5a^3 - 7ax^3 - 2ax^3 - a^3x - ax^3;$

в) $3ax^2 - 3a^2x + 2a^2x^2 - 7a^2x^2 - a^2x;$

г) $6n^3 - 8p^2n^3 + p^2n^3 + 12n^3p^2 + 2n^3;$

д) $7a^3 - 8aba^2 + 3a^2 - 4b;$

е) $x^5 - 7y^2 + 3xyx^4 + 2x - 1;$

ж) $ac + 2abc - 7a^2 + 3ca - 3cab.$

а) $4a^2b + 5b^2a + baa + 3aba$

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо сначала привести каждый его член (одночлен) к стандартному виду, а затем сложить подобные члены.

Приведем члены $baa$ и $3aba$ к стандартному виду. Для этого запишем переменные в алфавитном порядке и перемножим их, сложив показатели степеней:
$baa = b \cdot a \cdot a = a^{1+1}b = a^2b$
$3aba = 3 \cdot a \cdot b \cdot a = 3 \cdot a^{1+1}b = 3a^2b$

Теперь многочлен выглядит так:
$4a^2b + 5ab^2 + a^2b + 3a^2b$

Найдем и приведем подобные члены (члены с одинаковой буквенной частью). Подобными являются $4a^2b$, $a^2b$ и $3a^2b$. Сложим их коэффициенты:
$(4 + 1 + 3)a^2b = 8a^2b$

Член $5ab^2$ не имеет подобных. Таким образом, стандартный вид многочлена: $8a^2b + 5ab^2$.

Степень многочлена – это наибольшая из степеней его членов.
Степень члена $8a^2b$ равна $2+1=3$.
Степень члена $5ab^2$ равна $1+2=3$.
Наибольшая степень равна 3.

Ответ: Стандартный вид: $8a^2b + 5ab^2$. Степень многочлена: 3.

б) $5a^3 - 7ax^3 - 2ax^3 - a^3x - ax^3$

Все члены многочлена уже представлены в стандартном виде. Найдем и приведем подобные члены.

Подобными являются члены $-7ax^3$, $-2ax^3$ и $-ax^3$. Сложим их коэффициенты:
$(-7 - 2 - 1)ax^3 = -10ax^3$

Члены $5a^3$ и $-a^3x$ не имеют подобных.
Стандартный вид многочлена: $5a^3 - 10ax^3 - a^3x$.

Определим степень многочлена, найдя наибольшую степень его членов.
Степень члена $5a^3$ равна 3.
Степень члена $-10ax^3$ равна $1+3=4$.
Степень члена $-a^3x$ равна $3+1=4$.
Наибольшая степень равна 4.

Ответ: Стандартный вид: $5a^3 - 10ax^3 - a^3x$. Степень многочлена: 4.

в) $3ax^2 - 3a^2x + 2a^2x^2 - 7a^2x^2 - a^2x$

Все члены многочлена в стандартном виде. Приведем подобные члены.

Первая группа подобных членов: $-3a^2x$ и $-a^2x$.
$(-3 - 1)a^2x = -4a^2x$

Вторая группа подобных членов: $2a^2x^2$ и $-7a^2x^2$.
$(2 - 7)a^2x^2 = -5a^2x^2$

Член $3ax^2$ не имеет подобных.
Стандартный вид многочлена, упорядоченный по убыванию степени: $-5a^2x^2 + 3ax^2 - 4a^2x$.

Определим степень многочлена.
Степень члена $-5a^2x^2$ равна $2+2=4$.
Степень члена $3ax^2$ равна $1+2=3$.
Степень члена $-4a^2x$ равна $2+1=3$.
Наибольшая степень равна 4.

Ответ: Стандартный вид: $-5a^2x^2 + 3ax^2 - 4a^2x$. Степень многочлена: 4.

г) $6n^3 - 8p^2n^3 + p^2n^3 + 12n^3p^2 + 2n^3$

Приведем член $12n^3p^2$ к стандартному виду, расположив переменные в алфавитном порядке: $12p^2n^3$.
Многочлен примет вид: $6n^3 - 8p^2n^3 + p^2n^3 + 12p^2n^3 + 2n^3$.

Приведем подобные члены.
Первая группа: $6n^3$ и $2n^3$.
$(6 + 2)n^3 = 8n^3$

Вторая группа: $-8p^2n^3$, $p^2n^3$ и $12p^2n^3$.
$(-8 + 1 + 12)p^2n^3 = 5p^2n^3$

Стандартный вид многочлена: $5p^2n^3 + 8n^3$.

Определим степень многочлена.
Степень члена $5p^2n^3$ равна $2+3=5$.
Степень члена $8n^3$ равна 3.
Наибольшая степень равна 5.

Ответ: Стандартный вид: $5p^2n^3 + 8n^3$. Степень многочлена: 5.

д) $7a^3 - 8aba^2 + 3a^2 - 4b$

Приведем член $-8aba^2$ к стандартному виду:
$-8aba^2 = -8 \cdot a \cdot b \cdot a^2 = -8 \cdot a^{1+2}b = -8a^3b$

Многочлен примет вид: $7a^3 - 8a^3b + 3a^2 - 4b$.
В этом многочлене нет подобных членов. Запишем его в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию их степени: $-8a^3b + 7a^3 + 3a^2 - 4b$.

Определим степень многочлена.
Степень члена $-8a^3b$ равна $3+1=4$.
Степень члена $7a^3$ равна 3.
Степень члена $3a^2$ равна 2.
Степень члена $-4b$ равна 1.
Наибольшая степень равна 4.

Ответ: Стандартный вид: $-8a^3b + 7a^3 + 3a^2 - 4b$. Степень многочлена: 4.

е) $x^5 - 7y^2 + 3xyx^4 + 2x - 1$

Приведем член $3xyx^4$ к стандартному виду:
$3xyx^4 = 3 \cdot x \cdot y \cdot x^4 = 3 \cdot x^{1+4}y = 3x^5y$

Многочлен примет вид: $x^5 - 7y^2 + 3x^5y + 2x - 1$.
Подобных членов нет. Запишем многочлен в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степени: $3x^5y + x^5 - 7y^2 + 2x - 1$.

Определим степень многочлена.
Степень члена $3x^5y$ равна $5+1=6$.
Степень члена $x^5$ равна 5.
Степень члена $-7y^2$ равна 2.
Степень члена $2x$ равна 1.
Степень члена $-1$ равна 0.
Наибольшая степень равна 6.

Ответ: Стандартный вид: $3x^5y + x^5 - 7y^2 + 2x - 1$. Степень многочлена: 6.

ж) $ac + 2abc - 7a^2 + 3ca - 3cab$

Приведем члены $3ca$ и $-3cab$ к стандартному виду:
$3ca = 3ac$
$-3cab = -3abc$

Многочлен примет вид: $ac + 2abc - 7a^2 + 3ac - 3abc$.

Приведем подобные члены.
Первая группа: $ac$ и $3ac$.
$(1 + 3)ac = 4ac$

Вторая группа: $2abc$ и $-3abc$.
$(2 - 3)abc = -abc$

Член $-7a^2$ не имеет подобных.
Стандартный вид многочлена, упорядоченный по убыванию степени: $-abc - 7a^2 + 4ac$.

Определим степень многочлена.
Степень члена $-abc$ равна $1+1+1=3$.
Степень члена $-7a^2$ равна 2.
Степень члена $4ac$ равна $1+1=2$.
Наибольшая степень равна 3.

Ответ: Стандартный вид: $-abc - 7a^2 + 4ac$. Степень многочлена: 3.

258. Упростите выражение:

а) $2aa + a \cdot 3a + a^2$;

б) $2x^2 \cdot 3xy - 4x \cdot 5x^2y$;

в) $y^2 \cdot 2x - 3x^2 \cdot 2y + 2xy \cdot 2y - xy \cdot (-4x)$;

г) $xx \cdot (-2x) - y \cdot 3xy + 7x^2 \cdot (-2x) - 4y^2 \cdot 2x$.

а) Упростим выражение $2aa + a \cdot 3a + a^2$.
Сначала приведем каждый член выражения к стандартному виду одночлена.
$2aa = 2a^2$
$a \cdot 3a = 3a^2$
Теперь выражение выглядит так: $2a^2 + 3a^2 + a^2$.
Все члены являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $a^2$. Сложим их коэффициенты.
$2a^2 + 3a^2 + 1a^2 = (2 + 3 + 1)a^2 = 6a^2$.
Ответ: $6a^2$

б) Упростим выражение $2x^2 \cdot 3xy - 4x \cdot 5x^2y$.
Приведем каждый член к стандартному виду, перемножив числовые коэффициенты и переменные.
Первый член: $2x^2 \cdot 3xy = (2 \cdot 3) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot y = 6x^3y$.
Второй член: $4x \cdot 5x^2y = (4 \cdot 5) \cdot (x \cdot x^2) \cdot y = 20x^3y$.
Теперь вычтем второй член из первого: $6x^3y - 20x^3y$.
Так как члены подобны, вычитаем их коэффициенты: $(6 - 20)x^3y = -14x^3y$.
Ответ: $-14x^3y$

в) Упростим выражение $y^2 \cdot 2x - 3x^2 \cdot 2y + 2xy \cdot 2y - xy \cdot (-4x)$.
Сначала упростим каждый член выражения.
$y^2 \cdot 2x = 2xy^2$
$3x^2 \cdot 2y = 6x^2y$
$2xy \cdot 2y = (2 \cdot 2) \cdot x \cdot (y \cdot y) = 4xy^2$
$xy \cdot (-4x) = -4 \cdot (x \cdot x) \cdot y = -4x^2y$
Подставим упрощенные члены в исходное выражение:
$2xy^2 - 6x^2y + 4xy^2 - (-4x^2y) = 2xy^2 - 6x^2y + 4xy^2 + 4x^2y$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.
$(2xy^2 + 4xy^2) + (-6x^2y + 4x^2y) = (2+4)xy^2 + (-6+4)x^2y = 6xy^2 - 2x^2y$.
Ответ: $6xy^2 - 2x^2y$

г) Упростим выражение $xx \cdot (-2x) - y \cdot 3xy + 7x^2 \cdot (-2x) - 4y^2 \cdot 2x$.
Упростим каждый член выражения.
$xx \cdot (-2x) = x^2 \cdot (-2x) = -2x^3$
$y \cdot 3xy = 3x(y \cdot y) = 3xy^2$
$7x^2 \cdot (-2x) = -14x^3$
$4y^2 \cdot 2x = 8xy^2$
Подставим полученные одночлены в выражение:
$-2x^3 - 3xy^2 + (-14x^3) - 8xy^2 = -2x^3 - 3xy^2 - 14x^3 - 8xy^2$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.
$(-2x^3 - 14x^3) + (-3xy^2 - 8xy^2) = (-2 - 14)x^3 + (-3 - 8)xy^2 = -16x^3 - 11xy^2$.
Ответ: $-16x^3 - 11xy^2$

259. Вместо букв C и D подберите одночлены так, чтобы выполня-лось равенство:

а) $2a + C + a + 5b = 3a + 8b;$

б) $3x + C + y + D = 11x + 5y;$

В) $C - 2a + 3b - D = 10a - 4b;$

Г) $C + D + x = 25x + 17y.$

а) Чтобы найти одночлен $C$ в равенстве $2a + C + a + 5b = 3a + 8b$, сначала упростим левую часть уравнения, приведя подобные слагаемые.

$(2a + a) + 5b + C = 3a + 8b$

$3a + 5b + C = 3a + 8b$

Теперь выразим $C$, перенеся известные слагаемые из левой части в правую с противоположным знаком:

$C = (3a + 8b) - (3a + 5b)$

$C = 3a + 8b - 3a - 5b$

$C = (3a - 3a) + (8b - 5b)$

$C = 3b$

Проверим: $2a + 3b + a + 5b = (2a+a) + (3b+5b) = 3a + 8b$. Равенство выполняется.

Ответ: $C = 3b$

б) В равенстве $3x + C + y + D = 11x + 5y$ нужно подобрать два одночлена $C$ и $D$. Выразим их сумму.

$C + D = (11x + 5y) - (3x + y)$

$C + D = 11x + 5y - 3x - y$

$C + D = (11x - 3x) + (5y - y)$

$C + D = 8x + 4y$

Поскольку $C$ и $D$ должны быть одночленами, то самый простой способ удовлетворить этому равенству — это приравнять $C$ к одному слагаемому, а $D$ — к другому.

Например, пусть $C = 8x$ и $D = 4y$.

Проверим: $3x + 8x + y + 4y = (3x+8x) + (y+4y) = 11x + 5y$. Равенство выполняется.

Ответ: $C = 8x, D = 4y$ (также возможен вариант $C = 4y, D = 8x$).

в) В равенстве $C - 2a + 3b - D = 10a - 4b$ нужно подобрать одночлены $C$ и $D$. Сгруппируем их в левой части, а остальные члены перенесем в правую.

$C - D = (10a - 4b) - (-2a + 3b)$

$C - D = 10a - 4b + 2a - 3b$

$C - D = (10a + 2a) + (-4b - 3b)$

$C - D = 12a - 7b$

Чтобы $C$ и $D$ были одночленами, можно положить, что $C$ равно первому слагаемому правой части, а $-D$ — второму.

Пусть $C = 12a$ и $-D = -7b$, откуда $D = 7b$.

Проверим: $12a - 2a + 3b - 7b = (12a-2a) + (3b-7b) = 10a - 4b$. Равенство выполняется.

Ответ: $C = 12a, D = 7b$.

г) В равенстве $C + D + x = 25x + 17y$ нужно подобрать одночлены $C$ и $D$. Выразим их сумму, перенеся $x$ в правую часть.

$C + D = (25x + 17y) - x$

$C + D = (25x - x) + 17y$

$C + D = 24x + 17y$

Так как $C$ и $D$ должны быть одночленами, разделим слагаемые из правой части между ними.

Например, пусть $C = 24x$ и $D = 17y$.

Проверим: $24x + 17y + x = (24x+x) + 17y = 25x + 17y$. Равенство выполняется.

Ответ: $C = 24x, D = 17y$ (также возможен вариант $C = 17y, D = 24x$).