Страница 83 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

260. Сформулируйте: правила раскрытия скобок; правила заключения в скобки.

Раскрытие скобок в алгебраических выражениях — это их преобразование с целью избавиться от скобок. Правила этого преобразования зависят от знака, который стоит непосредственно перед скобками.

Правило 1: Знак «плюс» перед скобками.
Если перед скобками стоит знак «плюс» (+), то при раскрытии скобок этот знак «плюс» опускается, а все слагаемые внутри скобок записываются с теми же знаками, с которыми они были в скобках. Отсутствие знака перед скобками (например, в начале выражения) равносильно знаку «плюс».

Пример: $a + (b - c + d) = a + b - c + d$

Правило 2: Знак «минус» перед скобками.
Если перед скобками стоит знак «минус» (–), то при раскрытии скобок этот знак «минус» опускается, а все слагаемые внутри скобок меняют свой знак на противоположный («+» на «–», а «–» на «+»).

Пример: $a - (b - c + d) = a - b + c - d$

Эти правила являются следствием распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания. В первом случае выражение в скобках умножается на $+1$, а во втором — на $-1$.

Ответ: Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно опустить скобки и этот знак, сохранив знаки всех слагаемых. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «–», нужно опустить скобки и этот знак, а знаки всех слагаемых внутри скобок изменить на противоположные.

Заключение в скобки — это операция, обратная раскрытию скобок, при которой одно или несколько слагаемых выражения помещаются внутрь скобок. Правила также зависят от знака, который ставится перед скобками.

Правило 1: Постановка знака «плюс» перед скобками.
Если перед скобками ставится знак «плюс» (+), то слагаемые, которые заключаются в скобки, записываются в них с теми же самыми знаками, которые у них были в исходном выражении.

Пример: $a + b - c - d = a + (b - c - d)$

Правило 2: Постановка знака «минус» перед скобками.
Если перед скобками ставится знак «минус» (–), то слагаемые, которые заключаются в скобки, должны быть записаны с противоположными знаками.

Пример: $a - b + c - d = a - (b - c + d)$

Ответ: Чтобы заключить группу слагаемых в скобки со знаком «+» перед ними, нужно просто записать эти слагаемые в скобках с их исходными знаками. Чтобы заключить группу слагаемых в скобки со знаком «–» перед ними, нужно записать эти слагаемые в скобках, изменив знак каждого из них на противоположный.

261. Запишите в виде числового выражения и вычислите:

а) сумму числа 0,5 и суммы чисел 1,7 и 1,2; $0.5 + (1.7 + 1.2)$

б) разность числа 17 и суммы чисел 7 и 5; $17 - (7 + 5)$

в) сумму числа 4 и суммы чисел 8,3 и 2,7; $4 + (8.3 + 2.7)$

г) разность числа 17 и разности чисел 7 и 5; $17 - (7 - 5)$

д) разность суммы чисел 1,6 и 1,7 и числа 2; $(1.6 + 1.7) - 2$

е) сумму разности чисел 2,8 и 1,1 и числа 2,2; $(2.8 - 1.1) + 2.2$

ж) разность разности чисел 20,5 и 10,7 и числа 5,7. $(20.5 - 10.7) - 5.7$

а) Чтобы записать сумму числа 0,5 и суммы чисел 1,7 и 1,2, сначала найдем сумму чисел 1,7 и 1,2, которую запишем в скобках, а затем прибавим к результату число 0,5. Получим числовое выражение: $0,5 + (1,7 + 1,2)$.
Вычислим его значение:
1) $1,7 + 1,2 = 2,9$
2) $0,5 + 2,9 = 3,4$
Таким образом, $0,5 + (1,7 + 1,2) = 3,4$.
Ответ: 3,4.

б) Чтобы записать разность числа 17 и суммы чисел 7 и 5, сначала найдем сумму чисел 7 и 5, которую запишем в скобках, а затем вычтем ее из числа 17. Получим числовое выражение: $17 - (7 + 5)$.
Вычислим его значение:
1) $7 + 5 = 12$
2) $17 - 12 = 5$
Таким образом, $17 - (7 + 5) = 5$.
Ответ: 5.

в) Чтобы записать сумму числа 4 и суммы чисел 8,3 и 2,7, сначала найдем сумму чисел 8,3 и 2,7, которую запишем в скобках, а затем прибавим ее к числу 4. Получим числовое выражение: $4 + (8,3 + 2,7)$.
Вычислим его значение:
1) $8,3 + 2,7 = 11$
2) $4 + 11 = 15$
Таким образом, $4 + (8,3 + 2,7) = 15$.
Ответ: 15.

г) Чтобы записать разность числа 17 и разности чисел 7 и 5, сначала найдем разность чисел 7 и 5, которую запишем в скобках, а затем вычтем ее из числа 17. Получим числовое выражение: $17 - (7 - 5)$.
Вычислим его значение:
1) $7 - 5 = 2$
2) $17 - 2 = 15$
Таким образом, $17 - (7 - 5) = 15$.
Ответ: 15.

д) Чтобы записать разность суммы чисел 1,6 и 1,7 и числа 2, сначала найдем сумму чисел 1,6 и 1,7, которую запишем в скобках, а затем из нее вычтем число 2. Получим числовое выражение: $(1,6 + 1,7) - 2$.
Вычислим его значение:
1) $1,6 + 1,7 = 3,3$
2) $3,3 - 2 = 1,3$
Таким образом, $(1,6 + 1,7) - 2 = 1,3$.
Ответ: 1,3.

е) Чтобы записать сумму разности чисел 2,8 и 1,1 и числа 2,2, сначала найдем разность чисел 2,8 и 1,1, которую запишем в скобках, а затем к ней прибавим число 2,2. Получим числовое выражение: $(2,8 - 1,1) + 2,2$.
Вычислим его значение:
1) $2,8 - 1,1 = 1,7$
2) $1,7 + 2,2 = 3,9$
Таким образом, $(2,8 - 1,1) + 2,2 = 3,9$.
Ответ: 3,9.

ж) Чтобы записать разность разности чисел 20,5 и 10,7 и числа 5,7, сначала найдем разность чисел 20,5 и 10,7, которую запишем в скобках, а затем из нее вычтем число 5,7. Получим числовое выражение: $(20,5 - 10,7) - 5,7$.
Вычислим его значение:
1) $20,5 - 10,7 = 9,8$
2) $9,8 - 5,7 = 4,1$
Таким образом, $(20,5 - 10,7) - 5,7 = 4,1$.
Ответ: 4,1.

262. Запишите в виде многочлена:

а) сумма $a + 3c$ и $5ab - 2b$;

б) разность $a + 3c$ и $5ab - 2b$;

в) сумма $4a + c$ и суммы $2ab - 3b$ и $4m - n$;

г) разность $4a + c$ и суммы $2ab - 3b$ и $4m - n$;

д) сумма $4a + c$ и разности $2ab - 3b$ и $4m - n$;

е) разность $4a + c$ и разности $2ab - 3b$ и $4m - n$.

а) сумму $a + 3c$ и $5ab - 2b$
Чтобы найти сумму многочленов, нужно сложить их и привести подобные слагаемые, если они есть.
$(a + 3c) + (5ab - 2b) = a + 3c + 5ab - 2b$.
В данном выражении нет подобных слагаемых. Запишем многочлен в стандартном виде, упорядочив члены: $a - 2b + 3c + 5ab$.
Ответ: $a - 2b + 3c + 5ab$

б) разность $a + 3c$ и $5ab - 2b$
Чтобы найти разность многочленов, нужно из первого многочлена вычесть второй. При раскрытии скобок знаки второго многочлена меняются на противоположные.
$(a + 3c) - (5ab - 2b) = a + 3c - 5ab + 2b$.
Запишем многочлен в стандартном виде: $a + 2b + 3c - 5ab$.
Ответ: $a + 2b + 3c - 5ab$

в) сумму $4a + c$ и суммы $2ab - 3b$ и $4m - n$
Данное выражение можно записать как $(4a + c) + ((2ab - 3b) + (4m - n))$.
Так как все операции — сложение, мы можем просто убрать скобки:
$4a + c + 2ab - 3b + 4m - n$.
Упорядочим члены для записи в стандартном виде: $4a - 3b + c + 2ab + 4m - n$.
Ответ: $4a - 3b + c + 2ab + 4m - n$

г) разность $4a + c$ и суммы $2ab - 3b$ и $4m - n$
Данное выражение можно записать как $(4a + c) - ((2ab - 3b) + (4m - n))$.
Сначала найдем сумму в скобках: $(2ab - 3b) + (4m - n) = 2ab - 3b + 4m - n$.
Теперь вычтем полученный многочлен из $4a + c$:
$(4a + c) - (2ab - 3b + 4m - n) = 4a + c - 2ab + 3b - 4m + n$.
Запишем в стандартном виде: $4a + 3b + c - 2ab - 4m + n$.
Ответ: $4a + 3b + c - 2ab - 4m + n$

д) сумму $4a + c$ и разности $2ab - 3b$ и $4m - n$
Данное выражение можно записать как $(4a + c) + ((2ab - 3b) - (4m - n))$.
Сначала найдем разность в скобках: $(2ab - 3b) - (4m - n) = 2ab - 3b - 4m + n$.
Теперь сложим полученный многочлен с $4a + c$:
$(4a + c) + (2ab - 3b - 4m + n) = 4a + c + 2ab - 3b - 4m + n$.
Запишем в стандартном виде: $4a - 3b + c + 2ab - 4m + n$.
Ответ: $4a - 3b + c + 2ab - 4m + n$

е) разность $4a + c$ и разности $2ab - 3b$ и $4m - n$
Данное выражение можно записать как $(4a + c) - ((2ab - 3b) - (4m - n))$.
Сначала найдем разность в скобках: $(2ab - 3b) - (4m - n) = 2ab - 3b - 4m + n$.
Теперь вычтем полученный многочлен из $4a + c$:
$(4a + c) - (2ab - 3b - 4m + n) = 4a + c - 2ab + 3b + 4m - n$.
Запишем в стандартном виде: $4a + 3b + c - 2ab + 4m - n$.
Ответ: $4a + 3b + c - 2ab + 4m - n$

263. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:

а) $5a - (a + 1);$

б) $x - (6x - 5);$

в) $2a - (7a + 5);$

г) $7 - 4x + (2x - 1);$

д) $a + (a + 1);$

е) $(x - 1) + 6;$

ж) $a + b + (a - b);$

з) $(x - y) + (x - y).$

а) Чтобы преобразовать выражение $5a - (a + 1)$ в многочлен стандартного вида, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки всех членов внутри скобок меняются на противоположные.
$5a - (a + 1) = 5a - a - 1$
Далее, сгруппируем и вычтем подобные слагаемые ($5a$ и $-a$):
$(5 - 1)a - 1 = 4a - 1$
Многочлен в стандартном виде: $4a - 1$.
Ответ: $4a - 1$

б) В выражении $x - (6x - 5)$ раскроем скобки. Знак минус перед скобками меняет знаки у $6x$ и $-5$:
$x - (6x - 5) = x - 6x + 5$
Теперь приведем подобные члены ($x$ и $-6x$):
$(1 - 6)x + 5 = -5x + 5$
Многочлен в стандартном виде: $-5x + 5$.
Ответ: $-5x + 5$

в) Для выражения $2a - (7a + 5)$ снова раскрываем скобки с изменением знаков, так как перед ними стоит минус:
$2a - (7a + 5) = 2a - 7a - 5$
Приводим подобные слагаемые ($2a$ и $-7a$):
$(2 - 7)a - 5 = -5a - 5$
Многочлен в стандартном виде: $-5a - 5$.
Ответ: $-5a - 5$

г) В выражении $7 - 4x + (2x - 1)$ перед скобками стоит знак плюс, поэтому при их раскрытии знаки слагаемых внутри не меняются:
$7 - 4x + 2x - 1$
Сгруппируем подобные члены: переменные с $x$ ($-4x$ и $2x$) и константы ($7$ и $-1$).
$(-4x + 2x) + (7 - 1) = -2x + 6$
Многочлен в стандартном виде: $-2x + 6$.
Ответ: $-2x + 6$

д) В выражении $a + (a + 1)$ перед скобками стоит знак плюс, поэтому знаки внутри скобок сохраняются:
$a + a + 1$
Приводим подобные слагаемые ($a$ и $a$):
$(1 + 1)a + 1 = 2a + 1$
Многочлен в стандартном виде: $2a + 1$.
Ответ: $2a + 1$

е) В выражении $(x - 1) + 6$ можно просто убрать скобки, так как перед ними нет знака (подразумевается плюс):
$x - 1 + 6$
Приводим подобные слагаемые (константы $-1$ и $6$):
$x + (-1 + 6) = x + 5$
Многочлен в стандартном виде: $x + 5$.
Ответ: $x + 5$

ж) В выражении $a + b + (a - b)$ раскрываем скобки, сохраняя знаки:
$a + b + a - b$
Группируем и приводим подобные слагаемые: $a$ с $a$ и $b$ с $-b$.
$(a + a) + (b - b) = 2a + 0 = 2a$
Многочлен в стандартном виде: $2a$.
Ответ: $2a$

з) В выражении $(x - y) + (x - y)$ раскрываем скобки:
$x - y + x - y$
Группируем и приводим подобные слагаемые: $x$ с $x$ и $-y$ с $-y$.
$(x + x) + (-y - y) = 2x - 2y$
Многочлен в стандартном виде: $2x - 2y$.
Ответ: $2x - 2y$

264. Упростите выражение:

а) $7a + (2a + 3b);$

б) $9x + (2y - 5x);$

в) $(5x + 7a) + 4a;$

г) $(5x - 7a) + 5a;$

д) $(3x - 6y) - 4x;$

е) $(2a + 5b) - 7b;$

ж) $3m - (5n + 2m);$

з) $6p - (5p - 3a).$

а) $7a + (2a + 3b)$

Чтобы упростить это выражение, мы сначала раскрываем скобки. Так как перед скобками стоит знак плюс, знаки слагаемых внутри скобок не меняются.

$7a + (2a + 3b) = 7a + 2a + 3b$

Далее, приводим подобные слагаемые. Слагаемые с переменной $a$ являются подобными.

$7a + 2a = 9a$

Подставляем результат обратно в выражение:

$9a + 3b$

Ответ: $9a + 3b$

б) $9x + (2y - 5x)$

Раскрываем скобки. Знак плюс перед скобками означает, что знаки внутри не меняются.

$9x + (2y - 5x) = 9x + 2y - 5x$

Приводим подобные слагаемые с переменной $x$.

$9x - 5x = 4x$

Получаем упрощенное выражение:

$4x + 2y$

Ответ: $4x + 2y$

в) $(5x + 7a) + 4a$

Раскрываем скобки. Так как перед скобками нет знака (или можно считать, что стоит знак плюс), знаки слагаемых не меняются.

$(5x + 7a) + 4a = 5x + 7a + 4a$

Приводим подобные слагаемые с переменной $a$.

$7a + 4a = 11a$

Итоговое выражение:

$5x + 11a$

Ответ: $5x + 11a$

г) $(5x - 7a) + 5a$

Раскрываем скобки, знаки слагаемых внутри не меняются.

$(5x - 7a) + 5a = 5x - 7a + 5a$

Приводим подобные слагаемые с переменной $a$.

$-7a + 5a = -2a$

Упрощенное выражение:

$5x - 2a$

Ответ: $5x - 2a$

д) $(3x - 6y) - 4x$

Раскрываем скобки.

$(3x - 6y) - 4x = 3x - 6y - 4x$

Приводим подобные слагаемые с переменной $x$.

$3x - 4x = -x$

Конечное выражение:

$-x - 6y$

Ответ: $-x - 6y$

е) $(2a + 5b) - 7b$

Раскрываем скобки.

$(2a + 5b) - 7b = 2a + 5b - 7b$

Приводим подобные слагаемые с переменной $b$.

$5b - 7b = -2b$

Итоговое выражение:

$2a - 2b$

Ответ: $2a - 2b$

ж) $3m - (5n + 2m)$

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус, нужно поменять знаки всех слагаемых внутри скобок на противоположные.

$3m - (5n + 2m) = 3m - 5n - 2m$

Приводим подобные слагаемые с переменной $m$.

$3m - 2m = m$

Упрощенное выражение:

$m - 5n$

Ответ: $m - 5n$

з) $6p - (5p - 3a)$

Раскрываем скобки, меняя знаки слагаемых внутри на противоположные, так как перед скобками стоит знак минус.

$6p - (5p - 3a) = 6p - 5p + 3a$

Приводим подобные слагаемые с переменной $p$.

$6p - 5p = p$

Итоговое выражение:

$p + 3a$

Ответ: $p + 3a$