Страница 85 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

273. Даны многочлены: $A = a + b$, $B = 3a - 2b$, $C = a - 7b$. Найдите:

а) $A + B + C$;

б) $A + B - C$;

в) $A - B - C$;

г) $-A - B - C$.

Даны многочлены: $A = a + b$, $B = 3a - 2b$, $C = a - 7b$.

а) A + B + C
Чтобы найти сумму многочленов $A$, $B$ и $C$, подставим их выражения и приведем подобные слагаемые.
$A + B + C = (a + b) + (3a - 2b) + (a - 7b)$
Раскроем скобки:
$a + b + 3a - 2b + a - 7b$
Сгруппируем и сложим подобные слагаемые (члены с переменной $a$ и члены с переменной $b$):
$(a + 3a + a) + (b - 2b - 7b) = 5a - 8b$
Ответ: $5a - 8b$

б) A + B - C
Подставим выражения для многочленов $A$, $B$ и $C$.
$A + B - C = (a + b) + (3a - 2b) - (a - 7b)$
Раскроем скобки. Обратим внимание, что перед многочленом $C$ стоит знак минус, поэтому знаки всех его членов меняются на противоположные:
$a + b + 3a - 2b - a + 7b$
Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:
$(a + 3a - a) + (b - 2b + 7b) = 3a + 6b$
Ответ: $3a + 6b$

в) A - B - C
Подставим выражения для многочленов $A$, $B$ и $C$.
$A - B - C = (a + b) - (3a - 2b) - (a - 7b)$
Раскроем скобки. Перед многочленами $B$ и $C$ стоит знак минус, поэтому знаки всех их членов меняются на противоположные:
$a + b - 3a + 2b - a + 7b$
Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:
$(a - 3a - a) + (b + 2b + 7b) = -3a + 10b$
Ответ: $-3a + 10b$

г) -A - B - C
Подставим выражения для многочленов $A$, $B$ и $C$.
$-A - B - C = -(a + b) - (3a - 2b) - (a - 7b)$
Раскроем скобки. Перед каждым многочленом стоит знак минус, поэтому знаки всех их членов меняются на противоположные:
$-a - b - 3a + 2b - a + 7b$
Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:
$(-a - 3a - a) + (-b + 2b + 7b) = -5a + 8b$
Ответ: $-5a + 8b$

274. Заключите первые два члена многочлена в скобки со знаком минус перед ними, а последние — в скобки со знаком плюс перед ними:

а) $x^2 - y^2 + 2x - 1;$

б) $9y^2 - 1 - x^2 - 6y;$

в) $-a^3 - 3a^2 + 4 - a;$

г) $-x + y + x^2 - y^2.$

а) В многочлене $x^2 - y^2 + 2x - 1$ необходимо заключить первые два члена в скобки со знаком минус перед ними, а последние два — в скобки со знаком плюс.

1. Заключаем первые два члена, $x^2$ и $-y^2$, в скобки со знаком минус. Для этого нужно вынести знак минус за скобки, изменив знаки каждого члена внутри скобок на противоположные:
$x^2 - y^2 = -(-x^2 + y^2)$. Для удобства записи можно поменять члены местами: $-(y^2 - x^2)$.

2. Заключаем последние два члена, $+2x$ и $-1$, в скобки со знаком плюс. При этом знаки членов внутри скобок не меняются:
$+2x - 1 = +(2x - 1)$.

3. Объединяем полученные выражения:
$x^2 - y^2 + 2x - 1 = -(y^2 - x^2) + (2x - 1)$.

Ответ: $-(y^2 - x^2) + (2x - 1)$.

б) В многочлене $9y^2 - 1 - x^2 - 6y$ необходимо заключить первые два члена в скобки со знаком минус перед ними, а последние два — в скобки со знаком плюс.

1. Заключаем первые два члена, $9y^2$ и $-1$, в скобки со знаком минус. Выносим знак минус, меняя знаки членов внутри скобок:
$9y^2 - 1 = -(-9y^2 + 1) = -(1 - 9y^2)$.

2. Заключаем последние два члена, $-x^2$ и $-6y$, в скобки со знаком плюс. Знаки членов внутри скобок остаются без изменений:
$-x^2 - 6y = +(-x^2 - 6y)$.

3. Объединяем полученные выражения:
$9y^2 - 1 - x^2 - 6y = -(1 - 9y^2) + (-x^2 - 6y)$.

Ответ: $-(1 - 9y^2) + (-x^2 - 6y)$.

в) В многочлене $-a^3 - 3a^2 + 4 - a$ необходимо заключить первые два члена в скобки со знаком минус перед ними, а последние два — в скобки со знаком плюс.

1. Заключаем первые два члена, $-a^3$ и $-3a^2$, в скобки со знаком минус. Выносим знак минус, меняя знаки членов внутри скобок:
$-a^3 - 3a^2 = -(a^3 + 3a^2)$.

2. Заключаем последние два члена, $+4$ и $-a$, в скобки со знаком плюс. Знаки членов внутри скобок не меняются:
$+4 - a = +(4 - a)$.

3. Объединяем полученные выражения:
$-a^3 - 3a^2 + 4 - a = -(a^3 + 3a^2) + (4 - a)$.

Ответ: $-(a^3 + 3a^2) + (4 - a)$.

г) В многочлене $-x + y + x^2 - y^2$ необходимо заключить первые два члена в скобки со знаком минус перед ними, а последние два — в скобки со знаком плюс.

1. Заключаем первые два члена, $-x$ и $+y$, в скобки со знаком минус. Выносим знак минус, меняя знаки членов внутри скобок:
$-x + y = -(x - y)$.

2. Заключаем последние два члена, $+x^2$ и $-y^2$, в скобки со знаком плюс. Знаки членов внутри скобок не меняются:
$+x^2 - y^2 = +(x^2 - y^2)$.

3. Объединяем полученные выражения:
$-x + y + x^2 - y^2 = -(x - y) + (x^2 - y^2)$.

Ответ: $-(x - y) + (x^2 - y^2)$.

275. Дан многочлен $a+b-c-p$. Представьте его как:

а) сумму многочленов, чтобы одно из слагаемых было $(a+b)$;

б) разность многочленов, чтобы уменьшаемое было $(a+b)$;

в) разность многочленов, чтобы уменьшаемое было $(b-c)$.

а) Чтобы представить многочлен $a + b - c - p$ в виде суммы многочленов, где одно из слагаемых — это многочлен $(a + b)$, необходимо сгруппировать члены $a$ и $b$. Оставшиеся члены $-c$ и $-p$ образуют второе слагаемое.

Выполним группировку:

$a + b - c - p = (a + b) + (-c - p)$

В этом выражении первое слагаемое — это многочлен $(a + b)$, а второе — многочлен $(-c - p)$. Таким образом, условие задачи выполнено.

Ответ: $(a + b) + (-c - p)$.

б) Чтобы представить многочлен $a + b - c - p$ в виде разности, где уменьшаемое — это $(a + b)$, нужно найти вычитаемое. Представление будет иметь вид $(a + b) - X$.

Запишем равенство:

$(a + b) - X = a + b - c - p$

Чтобы найти многочлен $X$, вынесем знак минус за скобки у оставшихся членов $-c - p$:

$-c - p = -(c + p)$

Тогда исходное выражение можно записать так:

$a + b - c - p = (a + b) - (c + p)$

Здесь уменьшаемое — это $(a + b)$, а вычитаемое — $(c + p)$. Условие задачи выполнено.

Ответ: $(a + b) - (c + p)$.

в) Чтобы представить многочлен $a + b - c - p$ в виде разности, где уменьшаемое — это $(b - c)$, нужно сгруппировать члены $b$ и $-c$ и определить вычитаемое. Представление будет иметь вид $(b - c) - X$.

Перегруппируем члены в исходном многочлене:

$a + b - c - p = (b - c) + a - p$

Теперь нам нужно представить оставшуюся часть $(+a - p)$ в виде вычитаемого. Для этого нужно вынести знак минус за скобку:

$+a - p = -(-a + p) = -(p - a)$

Подставим это в наше выражение:

$(b - c) + a - p = (b - c) - (p - a)$

В полученном выражении уменьшаемое — это $(b - c)$, а вычитаемое — $(p - a)$. Условие задачи выполнено.

Ответ: $(b - c) - (p - a)$.