Страница 91 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

305. Разложите многочлен на множители:

а) $2x + 2y$;

б) $6a - 3$;

в) $ax - ab$;

г) $2a + 6ab;

д) $a^2 + a;

е) $3x^3y - xy^2$;

ж) $ax + bx + cx$;

з) $5a^3 + 10a^2 + 15a$.

а) В многочлене $2x + 2y$ оба члена имеют общий множитель 2. Вынесем его за скобки. Для этого каждый член многочлена разделим на 2: $2x : 2 = x$ и $2y : 2 = y$. Получаем выражение $2(x+y)$.
Ответ: $2(x+y)$

б) В многочлене $6a - 3$ оба члена делятся на 3. Это их наибольший общий делитель. Вынесем 3 за скобки: $6a : 3 = 2a$ и $-3 : 3 = -1$. Получаем выражение $3(2a - 1)$.
Ответ: $3(2a - 1)$

в) В многочлене $ax - ab$ оба члена имеют общий множитель $a$. Вынесем $a$ за скобки: $ax : a = x$ и $-ab : a = -b$. Получаем выражение $a(x - b)$.
Ответ: $a(x - b)$

г) В многочлене $2a + 6ab$ найдем общий множитель. Для коэффициентов 2 и 6 общим множителем является 2. Оба члена также содержат переменную $a$. Таким образом, общий множитель — $2a$. Вынесем его за скобки: $2a : (2a) = 1$ и $6ab : (2a) = 3b$. Получаем выражение $2a(1 + 3b)$.
Ответ: $2a(1 + 3b)$

д) В многочлене $a^2 + a$ оба члена содержат переменную $a$. Общим множителем будет $a$ в наименьшей степени, то есть $a^1=a$. Вынесем $a$ за скобки: $a^2 : a = a$ и $a : a = 1$. Получаем выражение $a(a+1)$.
Ответ: $a(a + 1)$

е) В многочлене $3x^3y - xy^2$ найдем общий множитель. Для переменных $x$ общим множителем является $x$ (наименьшая степень из $x^3$ и $x$). Для переменных $y$ общим множителем является $y$ (наименьшая степень из $y$ и $y^2$). Таким образом, общий множитель — $xy$. Вынесем его за скобки: $3x^3y : (xy) = 3x^2$ и $-xy^2 : (xy) = -y$. Получаем выражение $xy(3x^2 - y)$.
Ответ: $xy(3x^2 - y)$

ж) В многочлене $ax + bx + cx$ все три члена содержат общий множитель $x$. Вынесем $x$ за скобки. В скобках останется сумма коэффициентов при $x$: $(a+b+c)$. Получаем выражение $x(a+b+c)$.
Ответ: $x(a+b+c)$

з) В многочлене $5a^3 + 10a^2 + 15a$ найдем общий множитель. Наибольший общий делитель для коэффициентов 5, 10 и 15 равен 5. Общий множитель для переменных $a^3, a^2, a$ — это $a$ (в наименьшей степени). Значит, общий множитель всего выражения — $5a$. Вынесем его за скобки: $5a^3 : (5a) = a^2$, $10a^2 : (5a) = 2a$, $15a : (5a) = 3$. Получаем выражение $5a(a^2 + 2a + 3)$.
Ответ: $5a(a^2 + 2a + 3)$

306. Составьте два многочлена, каждый из которых можно разложить на множители вынесением общего множителя $2x$ за скобки.

Чтобы составить многочлен, который можно разложить на множители вынесением общего множителя $2x$, необходимо, чтобы каждый член этого многочлена был кратен $2x$. Это означает, что для каждого члена (одночлена) должны выполняться два условия:

1. Числовой коэффициент должен быть четным (т.е. делиться на 2).

2. В составе члена должна присутствовать переменная $x$ в степени не ниже первой (т.е. $x, x^2, x^3$ и так далее).

Руководствуясь этими правилами, составим два таких многочлена.

Первый многочлен

Составим многочлен из двух членов (двучлен).

- Пусть первый член будет $4x^2$. Коэффициент $4$ — четный, и он содержит $x$ во второй степени.

- Пусть второй член будет $10xy$. Коэффициент $10$ — четный, и он содержит $x$ в первой степени.

Сложив эти члены, получим первый многочлен: $4x^2 + 10xy$.

Проверим, вынеся общий множитель $2x$ за скобки:
$4x^2 + 10xy = 2x \cdot 2x + 2x \cdot 5y = 2x(2x + 5y)$.
Условие задачи выполнено.

Ответ: $4x^2 + 10xy$.

Второй многочлен

Составим второй многочлен, отличный от первого, например, из трех членов (трехчлен).

- Первый член: $8x^3$. Коэффициент $8$ — четный, содержит $x^3$.

- Второй член: $-6x^2y$. Коэффициент $-6$ — четный, содержит $x^2$.

- Третий член: $2x$. Коэффициент $2$ — четный, содержит $x$.

Сложив эти члены, получим второй многочлен: $8x^3 - 6x^2y + 2x$.

Проверим разложение на множители:
$8x^3 - 6x^2y + 2x = 2x \cdot 4x^2 - 2x \cdot 3xy + 2x \cdot 1 = 2x(4x^2 - 3xy + 1)$.
Условие задачи выполнено.

Ответ: $8x^3 - 6x^2y + 2x$.

Разложите многочлен на множители (307–308):

307. a) $2a + 4b;$

б) $ba - b;$

в) $6x - 2;$

г) $yx + 2y;$

д) $3a - 12b;$

е) $7x - 28xy.$

а) Чтобы разложить на множители многочлен $2a + 4b$, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для его членов и вынести его за скобки.
1. Находим НОД для числовых коэффициентов 2 и 4. НОД(2, 4) = 2.
2. Определяем общие переменные. В данном случае у слагаемых $2a$ и $4b$ нет общих переменных.
3. Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, равен 2.
4. Делим каждый член многочлена на общий множитель 2:
$2a \div 2 = a$
$4b \div 2 = 2b$
5. Записываем результат в виде произведения общего множителя на многочлен в скобках:
$2a + 4b = 2(a + 2b)$.
Ответ: $2(a + 2b)$

б) Рассмотрим многочлен $ba - b$. Для разложения на множители найдем общий множитель.
1. Коэффициенты при членах равны 1 и -1, их общий делитель - 1.
2. Общей переменной для членов $ba$ и $b$ является $b$.
3. Следовательно, общий множитель для вынесения за скобки — это $b$.
4. Делим каждый член на $b$:
$ba \div b = a$
$-b \div b = -1$
5. Записываем итоговое разложение:
$ba - b = b(a - 1)$.
Ответ: $b(a - 1)$

в) Разложим на множители многочлен $6x - 2$.
1. Находим НОД для числовых коэффициентов 6 и 2. НОД(6, 2) = 2.
2. Общих переменных нет, так как переменная $x$ есть только в первом члене.
3. Общий множитель равен 2.
4. Выполняем деление каждого члена на 2:
$6x \div 2 = 3x$
$-2 \div 2 = -1$
5. Записываем результат:
$6x - 2 = 2(3x - 1)$.
Ответ: $2(3x - 1)$

г) Разложим на множители многочлен $yx + 2y$.
1. Коэффициенты 1 и 2 не имеют общего делителя, кроме 1.
2. Общей переменной для членов $yx$ и $2y$ является $y$.
3. Общий множитель для вынесения за скобки — это $y$.
4. Делим каждый член на $y$:
$yx \div y = x$
$2y \div y = 2$
5. Записываем результат:
$yx + 2y = y(x + 2)$.
Ответ: $y(x + 2)$

д) Разложим на множители многочлен $3a - 12b$.
1. Находим НОД для числовых коэффициентов 3 и 12. НОД(3, 12) = 3.
2. У членов $3a$ и $12b$ нет общих переменных.
3. Общий множитель равен 3.
4. Делим каждый член на 3:
$3a \div 3 = a$
$-12b \div 3 = -4b$
5. Записываем результат:
$3a - 12b = 3(a - 4b)$.
Ответ: $3(a - 4b)$

е) Разложим на множители многочлен $7x - 28xy$.
1. Находим НОД для числовых коэффициентов 7 и 28. НОД(7, 28) = 7.
2. Общей переменной для членов $x$ и $xy$ является $x$.
3. Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, равен $7x$.
4. Делим каждый член на $7x$:
$7x \div (7x) = 1$
$-28xy \div (7x) = -4y$
5. Записываем результат:
$7x - 28xy = 7x(1 - 4y)$.
Ответ: $7x(1 - 4y)$

308. а) $x(a + b) + y(a + b);$

б) $(a + b)a - b(a + b);$

в) $m(n - 3) + 2(n - 3);$

г) $(x + y)3 - a(x + y);$

д) $2a(1 - b) - 3(1 - b);$

е) $a(b + 3) - b(3 + b);$

ж) $7x(x + 2y) - 2(2y + x);$

з) $a(a + b) + (a + b);$

и) $2x(x + 2y) + 3y(x + 2y);$

к) $2x(a - 1) - (a - 1).$

а) В выражении $x(a + b) + y(a + b)$ оба слагаемых, $x(a + b)$ и $y(a + b)$, имеют общий множитель $(a + b)$. Чтобы разложить выражение на множители, вынесем этот общий множитель за скобки. В скобках останется сумма коэффициентов, на которые умножался общий множитель, то есть $x + y$.
$x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)$.
Ответ: $(a + b)(x + y)$.

б) В выражении $(a + b)a - b(a + b)$ общим множителем для уменьшаемого и вычитаемого является $(a + b)$. Вынесем его за скобки. От первого слагаемого $(a + b)a$ остается множитель $a$, а от второго слагаемого $-b(a + b)$ остается множитель $-b$.
$(a + b)a - b(a + b) = (a + b)(a - b)$.
Ответ: $(a + b)(a - b)$.

в) В выражении $m(n - 3) + 2(n - 3)$ оба слагаемых имеют общий множитель $(n - 3)$. Выносим его за скобки. В скобках останется сумма оставшихся множителей $m$ и $2$.
$m(n - 3) + 2(n - 3) = (n - 3)(m + 2)$.
Ответ: $(n - 3)(m + 2)$.

г) В выражении $(x + y)3 - a(x + y)$ общим множителем является $(x + y)$. Вынесем его за скобки. От первого слагаемого остается множитель $3$, от второго — множитель $-a$.
$(x + y)3 - a(x + y) = (x + y)(3 - a)$.
Ответ: $(x + y)(3 - a)$.

д) В выражении $2a(1 - b) - 3(1 - b)$ общим множителем является $(1 - b)$. Выносим его за скобки. В скобках останется разность оставшихся множителей $2a$ и $3$.
$2a(1 - b) - 3(1 - b) = (1 - b)(2a - 3)$.
Ответ: $(1 - b)(2a - 3)$.

е) В выражении $a(b + 3) - b(3 + b)$ заметим, что благодаря переместительному свойству сложения, $b + 3 = 3 + b$. Таким образом, мы можем переписать выражение как $a(b + 3) - b(b + 3)$. Теперь видно, что общий множитель — это $(b + 3)$. Вынесем его за скобки.
$a(b + 3) - b(b + 3) = (b + 3)(a - b)$.
Ответ: $(b + 3)(a - b)$.

ж) В выражении $7x(x + 2y) - 2(2y + x)$ заметим, что $x + 2y = 2y + x$. Перепишем выражение, чтобы общий множитель был записан одинаково: $7x(x + 2y) - 2(x + 2y)$. Общим множителем является $(x + 2y)$. Выносим его за скобки.
$7x(x + 2y) - 2(x + 2y) = (x + 2y)(7x - 2)$.
Ответ: $(x + 2y)(7x - 2)$.

з) В выражении $a(a + b) + (a + b)$ второе слагаемое $(a + b)$ можно представить как $1 \cdot (a + b)$. Теперь выражение имеет вид $a(a + b) + 1(a + b)$. Общий множитель — $(a + b)$. Выносим его за скобки.
$a(a + b) + 1 \cdot (a + b) = (a + b)(a + 1)$.
Ответ: $(a + b)(a + 1)$.

и) В выражении $2x(x + 2y) + 3y(x + 2y)$ общим множителем является $(x + 2y)$. Выносим его за скобки. В скобках останется сумма оставшихся множителей $2x$ и $3y$.
$2x(x + 2y) + 3y(x + 2y) = (x + 2y)(2x + 3y)$.
Ответ: $(x + 2y)(2x + 3y)$.

к) В выражении $2x(a - 1) - (a - 1)$ второе слагаемое $-(a - 1)$ можно представить как $-1 \cdot (a - 1)$. Выражение примет вид $2x(a - 1) - 1(a - 1)$. Общим множителем является $(a - 1)$. Выносим его за скобки.
$2x(a - 1) - 1 \cdot (a - 1) = (a - 1)(2x - 1)$.
Ответ: $(a - 1)(2x - 1)$.

309. При преобразованиях бывает необходимо изменять знаки членов многочлена на противоположные, например:

$(a + b) = (-1)(-a - b) = -(-a - b)$

или

$(a - b) = (-1)(-a + b) = -(b - a).$

Используя этот приём, разложите на множители:

а) $a(x - y) + b(y - x);$

б) $x(a - b) + y(b - a);$

в) $3(m - n) - a(n - m);$

г) $7a(a - b) - 5(b - a);$

д) $a(a - b) + 4(b - a);$

е) $6(x - 1) - x(1 - x);$

ж) $p(1 - p) - 3(p - 1);$

з) $x^2(y - 3) + 7(3 - y).$

а) $a(x - y) + b(y - x)$

Чтобы разложить выражение на множители, необходимо получить общий множитель в скобках. Для этого преобразуем выражение $(y - x)$, вынеся за скобку $-1$: $(y - x) = -(x - y)$.

$a(x - y) + b(-(x - y)) = a(x - y) - b(x - y)$

Теперь выносим общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(a - b)(x - y)$

Ответ: $(a - b)(x - y)$

б) $x(a - b) + y(b - a)$

Преобразуем выражение $(b - a)$, вынеся за скобку $-1$: $(b - a) = -(a - b)$.

$x(a - b) + y(-(a - b)) = x(a - b) - y(a - b)$

Выносим общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(x - y)(a - b)$

Ответ: $(x - y)(a - b)$

в) $3(m - n) - a(n - m)$

Преобразуем выражение $(n - m)$, вынеся за скобку $-1$: $(n - m) = -(m - n)$.

$3(m - n) - a(-(m - n)) = 3(m - n) + a(m - n)$

Выносим общий множитель $(m - n)$ за скобки:

$(3 + a)(m - n)$

Ответ: $(a + 3)(m - n)$

г) $7a(a - b) - 5(b - a)$

Преобразуем выражение $(b - a)$, вынеся за скобку $-1$: $(b - a) = -(a - b)$.

$7a(a - b) - 5(-(a - b)) = 7a(a - b) + 5(a - b)$

Выносим общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(7a + 5)(a - b)$

Ответ: $(7a + 5)(a - b)$

д) $a(a - b) + 4(b - a)$

Преобразуем выражение $(b - a)$, вынеся за скобку $-1$: $(b - a) = -(a - b)$.

$a(a - b) + 4(-(a - b)) = a(a - b) - 4(a - b)$

Выносим общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a - 4)(a - b)$

Ответ: $(a - 4)(a - b)$

е) $6(x - 1) - x(1 - x)$

Преобразуем выражение $(1 - x)$, вынеся за скобку $-1$: $(1 - x) = -(x - 1)$.

$6(x - 1) - x(-(x - 1)) = 6(x - 1) + x(x - 1)$

Выносим общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(6 + x)(x - 1)$

Ответ: $(x + 6)(x - 1)$

ж) $p(1 - p) - 3(p - 1)$

Преобразуем выражение $(p - 1)$, вынеся за скобку $-1$: $(p - 1) = -(1 - p)$.

$p(1 - p) - 3(-(1 - p)) = p(1 - p) + 3(1 - p)$

Выносим общий множитель $(1 - p)$ за скобки:

$(p + 3)(1 - p)$

Ответ: $(p + 3)(1 - p)$

з) $x^2(y - 3) + 7(3 - y)$

Преобразуем выражение $(3 - y)$, вынеся за скобку $-1$: $(3 - y) = -(y - 3)$.

$x^2(y - 3) + 7(-(y - 3)) = x^2(y - 3) - 7(y - 3)$

Выносим общий множитель $(y - 3)$ за скобки:

$(x^2 - 7)(y - 3)$

Ответ: $(x^2 - 7)(y - 3)$

310. Разложите на множители:

а) $a(b - 1) - (1 - b)$;

б) $(a + b) + 3a(a + b)$;

в) $2x(a - b) - (b - a)$;

г) $3 + a + a(3 + a)$;

д) $(m - 2n) - x(2n - m)$;

е) $a - b - x(b - a)$;

ж) $(x - 1)^2 + x(x - 1)$;

з) $(x + 2)^2 - (x + 2)(x - 1)$;

и) $(2x - 1)^2 - x(2x - 1)$;

к) $(3x - 1)^2 + (x + 2)(3x - 1)$;

л) $(x - 1)(x + 1) + (x - 3)(x + 1)$;

м) $(x - 2)(x + 2) - (x + 2)(x - 1)$;

н) $(x - 3)(2x + 3) - (3 - x)(x + 1).

а) $a(b - 1) - (1 - b)$
Чтобы разложить на множители, заметим, что $(1 - b) = -(b - 1)$. Подставим это в исходное выражение:
$a(b - 1) - (-(b - 1)) = a(b - 1) + (b - 1)$
Теперь мы видим общий множитель $(b - 1)$, который можно вынести за скобки. Представим второе слагаемое как $1 \cdot (b-1)$:
$a(b - 1) + 1 \cdot (b - 1) = (b - 1)(a + 1)$
Ответ: $(a + 1)(b - 1)$

б) $(a + b) + 3a(a + b)$
В этом выражении общий множитель $(a + b)$ очевиден. Представим первое слагаемое как $1 \cdot (a+b)$ и вынесем общий множитель за скобки:
$1 \cdot (a + b) + 3a(a + b) = (a + b)(1 + 3a)$
Ответ: $(a + b)(1 + 3a)$

в) $2x(a - b) - (b - a)$
Заметим, что $(b - a) = -(a - b)$. Подставим это в выражение:
$2x(a - b) - (-(a - b)) = 2x(a - b) + (a - b)$
Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:
$2x(a - b) + 1 \cdot (a - b) = (a - b)(2x + 1)$
Ответ: $(a - b)(2x + 1)$

г) $3 + a + a(3 + a)$
Сгруппируем первые два слагаемых: $(3 + a) + a(3 + a)$.
Общий множитель $(3 + a)$ можно вынести за скобки:
$1 \cdot (3 + a) + a(3 + a) = (3 + a)(1 + a)$
Ответ: $(a + 1)(a + 3)$

д) $(m - 2n) - x(2n - m)$
Преобразуем выражение в скобках: $(2n - m) = -(m - 2n)$.
$ (m - 2n) - x(-(m - 2n)) = (m - 2n) + x(m - 2n)$
Вынесем общий множитель $(m - 2n)$ за скобки:
$1 \cdot (m - 2n) + x(m - 2n) = (m - 2n)(1 + x)$
Ответ: $(m - 2n)(1 + x)$

е) $a - b - x(b - a)$
Сгруппируем первые два члена: $(a - b)$. Заметим, что $(b - a) = -(a - b)$.
$(a - b) - x(-(a - b)) = (a - b) + x(a - b)$
Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:
$1 \cdot (a - b) + x(a - b) = (a - b)(1 + x)$
Ответ: $(a - b)(1 + x)$

ж) $(x - 1)^2 + x(x - 1)$
Общим множителем является $(x - 1)$. Вынесем его за скобки:
$(x - 1)((x - 1) + x)$
Упростим выражение во второй скобке:
$(x - 1)(x - 1 + x) = (x - 1)(2x - 1)$
Ответ: $(x - 1)(2x - 1)$

з) $(x + 2)^2 - (x + 2)(x - 1)$
Общим множителем является $(x + 2)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 2)((x + 2) - (x - 1))$
Раскроем внутренние скобки и упростим:
$(x + 2)(x + 2 - x + 1) = (x + 2)(3)$
Ответ: $3(x + 2)$

и) $(2x - 1)^2 - x(2x - 1)$
Общим множителем является $(2x - 1)$. Вынесем его за скобки:
$(2x - 1)((2x - 1) - x)$
Упростим выражение во второй скобке:
$(2x - 1)(2x - 1 - x) = (2x - 1)(x - 1)$
Ответ: $(2x - 1)(x - 1)$

к) $(3x - 1)^2 + (x + 2)(3x - 1)$
Общим множителем является $(3x - 1)$. Вынесем его за скобки:
$(3x - 1)((3x - 1) + (x + 2))$
Упростим выражение во второй скобке:
$(3x - 1)(3x - 1 + x + 2) = (3x - 1)(4x + 1)$
Ответ: $(3x - 1)(4x + 1)$

л) $(x - 1)(x + 1) + (x - 3)(x + 1)$
Общим множителем является $(x + 1)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 1)((x - 1) + (x - 3))$
Упростим выражение во второй скобке:
$(x + 1)(x - 1 + x - 3) = (x + 1)(2x - 4)$
Во второй скобке можно вынести за скобки множитель 2:
$(x + 1) \cdot 2(x - 2) = 2(x + 1)(x - 2)$
Ответ: $2(x + 1)(x - 2)$

м) $(x - 2)(x + 2) - (x + 2)(x - 1)$
Общим множителем является $(x + 2)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 2)((x - 2) - (x - 1))$
Раскроем внутренние скобки и упростим:
$(x + 2)(x - 2 - x + 1) = (x + 2)(-1)$
Ответ: $-(x + 2)$

н) $(x - 3)(2x + 3) - (3 - x)(x + 1)$
Заметим, что $(3 - x) = -(x - 3)$. Подставим это в выражение:
$(x - 3)(2x + 3) - (-(x - 3))(x + 1) = (x - 3)(2x + 3) + (x - 3)(x + 1)$
Общим множителем является $(x - 3)$. Вынесем его за скобки:
$(x - 3)((2x + 3) + (x + 1))$
Упростим выражение во второй скобке:
$(x - 3)(2x + 3 + x + 1) = (x - 3)(3x + 4)$
Ответ: $(x - 3)(3x + 4)$

311. Упростите выражение:

а) $(2x - 2a)(3a^2 - 4a + 5);$

б) $(7x^2 - 2x + 4 - x^2)(2x - x - 1);$

в) $(x^2 + 3x - 2)(2x^2 - x + 4);$

г) $(2m^3 - 7m^2 + 4m)(3 - 8m + m^2);$

д) $(2a + 1)(3 + a)(5a + 2);$

е) $(x - 3)(2x - 1)(7 + 2x);$

ж) $(2m - n)(3n + 2m)(m - 5n);$

з) $(p - 8q)(4q - p)(p + 8q).$

а)

Для упрощения выражения $(2x - 2a)(3a^2 - 4a + 5)$ необходимо перемножить каждый член первого многочлена на каждый член второго.

$(2x - 2a)(3a^2 - 4a + 5) = 2x(3a^2 - 4a + 5) - 2a(3a^2 - 4a + 5) = 6a^2x - 8ax + 10x - 6a^3 + 8a^2 - 10a$.

Сгруппируем члены по убыванию степеней переменной $a$:

$-6a^3 + 8a^2 + 6a^2x - 8ax - 10a + 10x$.

Ответ: $-6a^3 + 8a^2 + 6a^2x - 8ax - 10a + 10x$.

б)

Сначала упростим выражения в каждой из скобок, приведя подобные слагаемые:

В первой скобке: $7x^2 - 2x + 4 - x^2 = (7x^2 - x^2) - 2x + 4 = 6x^2 - 2x + 4$.

Во второй скобке: $2x - x - 1 = x - 1$.

Теперь перемножим полученные многочлены:

$(6x^2 - 2x + 4)(x - 1) = 6x^2(x - 1) - 2x(x - 1) + 4(x - 1) = 6x^3 - 6x^2 - 2x^2 + 2x + 4x - 4$.

Приведем подобные слагаемые в итоговом выражении:

$6x^3 + (-6x^2 - 2x^2) + (2x + 4x) - 4 = 6x^3 - 8x^2 + 6x - 4$.

Ответ: $6x^3 - 8x^2 + 6x - 4$.

в)

Перемножим многочлен $(x^2 + 3x - 2)$ на многочлен $(2x^2 - x + 4)$, умножая каждый член первого на каждый член второго:

$(x^2 + 3x - 2)(2x^2 - x + 4) = x^2(2x^2 - x + 4) + 3x(2x^2 - x + 4) - 2(2x^2 - x + 4)$.

Раскроем скобки:

$(2x^4 - x^3 + 4x^2) + (6x^3 - 3x^2 + 12x) - (4x^2 - 2x + 8) = 2x^4 - x^3 + 4x^2 + 6x^3 - 3x^2 + 12x - 4x^2 + 2x - 8$.

Приведем подобные слагаемые:

$2x^4 + (-x^3 + 6x^3) + (4x^2 - 3x^2 - 4x^2) + (12x + 2x) - 8 = 2x^4 + 5x^3 - 3x^2 + 14x - 8$.

Ответ: $2x^4 + 5x^3 - 3x^2 + 14x - 8$.

г)

Вынесем общий множитель $m$ из первого многочлена и изменим порядок членов во втором для удобства:

$(2m^3 - 7m^2 + 4m)(3 - 8m + m^2) = m(2m^2 - 7m + 4)(m^2 - 8m + 3)$.

Перемножим два трехчлена:

$(2m^2 - 7m + 4)(m^2 - 8m + 3) = 2m^2(m^2 - 8m + 3) - 7m(m^2 - 8m + 3) + 4(m^2 - 8m + 3)$

$= (2m^4 - 16m^3 + 6m^2) - (7m^3 - 56m^2 + 21m) + (4m^2 - 32m + 12)$.

Приведем подобные слагаемые:

$2m^4 - 16m^3 - 7m^3 + 6m^2 + 56m^2 + 4m^2 - 21m - 32m + 12 = 2m^4 - 23m^3 + 66m^2 - 53m + 12$.

Теперь умножим полученный результат на $m$:

$m(2m^4 - 23m^3 + 66m^2 - 53m + 12) = 2m^5 - 23m^4 + 66m^3 - 53m^2 + 12m$.

Ответ: $2m^5 - 23m^4 + 66m^3 - 53m^2 + 12m$.

д)

Упростим выражение, последовательно перемножая скобки. Сначала умножим первые две скобки, представив $(3+a)$ как $(a+3)$:

$(2a + 1)(a + 3) = 2a^2 + 6a + a + 3 = 2a^2 + 7a + 3$.

Теперь умножим полученный результат на третью скобку $(5a + 2)$:

$(2a^2 + 7a + 3)(5a + 2) = 10a^3 + 4a^2 + 35a^2 + 14a + 15a + 6$.

Приведем подобные слагаемые:

$10a^3 + (4a^2 + 35a^2) + (14a + 15a) + 6 = 10a^3 + 39a^2 + 29a + 6$.

Ответ: $10a^3 + 39a^2 + 29a + 6$.

е)

Упростим выражение, последовательно перемножая скобки. Сначала умножим первые две:

$(x - 3)(2x - 1) = 2x^2 - x - 6x + 3 = 2x^2 - 7x + 3$.

Теперь умножим полученный результат на третью скобку $(7 + 2x)$:

$(2x^2 - 7x + 3)(2x + 7) = 2x^2(2x+7) - 7x(2x+7) + 3(2x+7)$

$= 4x^3 + 14x^2 - 14x^2 - 49x + 6x + 21$.

Приведем подобные слагаемые:

$4x^3 + (14x^2 - 14x^2) + (-49x + 6x) + 21 = 4x^3 - 43x + 21$.

Ответ: $4x^3 - 43x + 21$.

ж)

Упростим выражение, последовательно перемножая скобки. Запишем $(3n+2m)$ как $(2m+3n)$ и умножим на первую скобку:

$(2m - n)(2m + 3n) = 4m^2 + 6mn - 2mn - 3n^2 = 4m^2 + 4mn - 3n^2$.

Теперь умножим полученный результат на $(m - 5n)$:

$(4m^2 + 4mn - 3n^2)(m - 5n) = m(4m^2 + 4mn - 3n^2) - 5n(4m^2 + 4mn - 3n^2)$

$= 4m^3 + 4m^2n - 3mn^2 - 20m^2n - 20mn^2 + 15n^3$.

Приведем подобные слагаемые:

$4m^3 + (4m^2n - 20m^2n) + (-3mn^2 - 20mn^2) + 15n^3 = 4m^3 - 16m^2n - 23mn^2 + 15n^3$.

Ответ: $4m^3 - 16m^2n - 23mn^2 + 15n^3$.

з)

Перегруппируем множители, чтобы использовать формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(p - 8q)(4q - p)(p + 8q) = (p - 8q)(p + 8q)(4q - p)$.

Применим формулу к первым двум множителям:

$(p - 8q)(p + 8q) = p^2 - (8q)^2 = p^2 - 64q^2$.

Теперь умножим результат на оставшийся множитель $(4q - p)$:

$(p^2 - 64q^2)(4q - p) = p^2(4q - p) - 64q^2(4q - p) = 4p^2q - p^3 - 256q^3 + 64pq^2$.

Упорядочим члены многочлена по степеням переменной $p$:

$-p^3 + 4p^2q + 64pq^2 - 256q^3$.

Ответ: $-p^3 + 4p^2q + 64pq^2 - 256q^3$.