Страница 86 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

276. a) По какому правилу умножают одночлен на многочлен?

б) Какие многочлены называют противоположными?

в) Каким свойством обладают противоположные многочлены?

г) Каким свойством обладает разность многочленов?

д) Изменится ли многочлен, если его умножить на 1?

а) Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Это правило основано на распределительном свойстве умножения относительно сложения. Если $A$ — это одночлен, а $B+C$ — многочлен, то их произведение вычисляется по формуле: $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$. Например, умножим одночлен $5x$ на многочлен $2x^2 - 3y + 4$: $5x \cdot (2x^2 - 3y + 4) = 5x \cdot 2x^2 + 5x \cdot (-3y) + 5x \cdot 4 = 10x^3 - 15xy + 20x$.
Ответ: Одночлен умножают на каждый член многочлена, а результаты складывают.

б) Противоположными называют два многочлена, сумма которых тождественно равна нулю. Чтобы получить многочлен, противоположный данному, нужно у каждого его члена изменить знак на противоположный. Например, для многочлена $P = 7a^2 - 2ab + b^2$ противоположным будет многочлен $-P = -(7a^2 - 2ab + b^2) = -7a^2 + 2ab - b^2$.
Ответ: Многочлены, сумма которых равна нулю, называют противоположными.

в) Основное свойство противоположных многочленов заключается в том, что их сумма равна нулю. Если $P$ — некоторый многочлен, а $-P$ — противоположный ему многочлен, то их сумма всегда будет равна нулю: $P + (-P) = 0$. Например, для многочленов $P = 5x-2y$ и $-P = -5x+2y$ их сумма равна $(5x-2y) + (-5x+2y) = 5x-2y-5x+2y = 0$.
Ответ: Сумма противоположных многочленов равна нулю.

г) Разность двух многочленов обладает свойством, что она тождественно равна сумме первого многочлена и многочлена, противоположного второму. То есть, чтобы из одного многочлена вычесть другой, нужно к первому многочлену прибавить многочлен, противоположный второму. Для многочленов $P$ и $Q$ это свойство записывается так: $P - Q = P + (-Q)$. Например, найдем разность многочленов $(8x+3) - (4x-2)$: $(8x+3) - (4x-2) = (8x+3) + (-4x+2) = 8x+3-4x+2 = 4x+5$.
Ответ: Разность двух многочленов равна сумме первого многочлена и многочлена, противоположного второму.

д) Нет, многочлен не изменится, если его умножить на 1. Число 1 является нейтральным элементом для операции умножения (умножение на единицу). При умножении любого выражения, включая многочлен, на 1, это выражение остается неизменным. Если $P$ - это многочлен, то $P \cdot 1 = P$.
Ответ: Нет, многочлен не изменится.

Найдите многочлен, равный произведению одночлена и многочлена (277-279):

277. а) 3 и $(a + b)$;

б) $x$ и $(a - b)$;

в) $(x + 1)$ и 5;

г) $(a - b)$ и $x$.

а) Чтобы найти многочлен, равный произведению одночлена $3$ и многочлена $(a+b)$, нужно умножить одночлен на каждый член многочлена и сложить полученные произведения. Это действие основано на распределительном свойстве умножения.

Выполним умножение:

$3 \cdot (a + b) = 3 \cdot a + 3 \cdot b = 3a + 3b$

Таким образом, искомый многочлен равен $3a + 3b$.

Ответ: $3a + 3b$

б) Найдем произведение одночлена $x$ и многочлена $(a - b)$. Для этого умножим $x$ на каждый член многочлена $(a - b)$.

Выполним умножение:

$x \cdot (a - b) = x \cdot a - x \cdot b = ax - bx$

Полученный многочлен равен $ax - bx$.

Ответ: $ax - bx$

в) В данном случае нужно найти произведение многочлена $(x + 1)$ и одночлена $5$. В силу переместительного свойства умножения, это то же самое, что и произведение одночлена $5$ на многочлен $(x + 1)$.

Выполним умножение, используя распределительное свойство:

$5 \cdot (x + 1) = 5 \cdot x + 5 \cdot 1 = 5x + 5$

Искомый многочлен — это $5x + 5$.

Ответ: $5x + 5$

г) Найдем произведение многочлена $(a - b)$ и одночлена $x$. Это аналогично пункту б), так как от перестановки множителей произведение не меняется.

Выполним умножение:

$(a - b) \cdot x = a \cdot x - b \cdot x = ax - bx$

Результатом является многочлен $ax - bx$.

Ответ: $ax - bx$

278. а) $(a+3)7;$

б) $(x-y)10;$

в) $a(x-y);$

г) $a(a+b);$

д) $(a+b-c)2;$

е) $(a-b)(-6).$

а) Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен. В данном случае мы умножаем каждый член в скобках $ (a + 3) $ на 7. Это называется распределительным свойством умножения.
$ (a + 3) \cdot 7 = a \cdot 7 + 3 \cdot 7 = 7a + 21 $
Ответ: $ 7a + 21 $

б) Применяем распределительное свойство умножения. Умножаем каждый член многочлена $ (x - y) $ на 10.
$ (x - y) \cdot 10 = x \cdot 10 - y \cdot 10 = 10x - 10y $
Ответ: $ 10x - 10y $

в) Здесь мы умножаем одночлен $a$ на многочлен $ (x - y) $. Умножаем $a$ на каждый член в скобках.
$ a(x - y) = a \cdot x - a \cdot y = ax - ay $
Ответ: $ ax - ay $

г) Умножаем одночлен $a$ на многочлен $ (a + b) $.
$ a(a + b) = a \cdot a + a \cdot b = a^2 + ab $
Ответ: $ a^2 + ab $

д) Умножаем многочлен $ (a + b - c) $, состоящий из трех членов, на одночлен 2. Каждый член в скобках умножается на 2.
$ (a + b - c) \cdot 2 = a \cdot 2 + b \cdot 2 - c \cdot 2 = 2a + 2b - 2c $
Ответ: $ 2a + 2b - 2c $

е) Умножаем многочлен $ (a - b) $ на отрицательное число -6. Необходимо внимательно следить за знаками.
$ (a - b)(-6) = a \cdot (-6) - b \cdot (-6) = -6a + 6b $
Для более стандартной записи можно поменять слагаемые местами: $ 6b - 6a $.
Ответ: $ 6b - 6a $

279. a) $(-2)(x+y);$

б) $(7 + 3y - x^2y)(-2xy);$

в) $3ab(a^2 - 2a + 1);$

г) $2a(x + y);$

д) $(x^2 + 2xy + y^2)(-12xy^3);$

е) $21a^2b^5(a^3 - 4ab^2 - b^2);$

ж) $(-abc)(ab + ac + bc);$

з) $-ac(a + 2c).$

а) Умножим одночлен $(-2)$ на каждый член многочлена $(x + y)$:

$(-2)(x + y) = (-2) \cdot x + (-2) \cdot y = -2x - 2y$.

Ответ: $-2x - 2y$.

б) Умножим каждый член многочлена $(7 + 3y - x^2y)$ на одночлен $(-2xy)$:

$(7 + 3y - x^2y)(-2xy) = 7 \cdot (-2xy) + 3y \cdot (-2xy) + (-x^2y) \cdot (-2xy) = -14xy - 6xy^2 + 2x^3y^2$.

Запишем результат в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степени переменной $x$:

$2x^3y^2 - 6xy^2 - 14xy$.

Ответ: $2x^3y^2 - 6xy^2 - 14xy$.

в) Умножим одночлен $3ab$ на каждый член многочлена $(a^2 - 2a + 1)$:

$3ab(a^2 - 2a + 1) = 3ab \cdot a^2 + 3ab \cdot (-2a) + 3ab \cdot 1 = 3a^3b - 6a^2b + 3ab$.

Ответ: $3a^3b - 6a^2b + 3ab$.

г) Умножим одночлен $2a$ на каждый член многочлена $(x + y)$:

$2a(x + y) = 2a \cdot x + 2a \cdot y = 2ax + 2ay$.

Ответ: $2ax + 2ay$.

д) Умножим каждый член многочлена $(x^2 + 2xy + y^2)$ на одночлен $(-12xy^3)$:

$(x^2 + 2xy + y^2)(-12xy^3) = x^2 \cdot (-12xy^3) + 2xy \cdot (-12xy^3) + y^2 \cdot (-12xy^3) = -12x^3y^3 - 24x^2y^4 - 12xy^5$.

Ответ: $-12x^3y^3 - 24x^2y^4 - 12xy^5$.

е) Умножим одночлен $21a^2b^5$ на каждый член многочлена $(a^3 - 4ab^2 - b^2)$:

$21a^2b^5(a^3 - 4ab^2 - b^2) = 21a^2b^5 \cdot a^3 + 21a^2b^5 \cdot (-4ab^2) + 21a^2b^5 \cdot (-b^2) = 21a^{2+3}b^5 - 84a^{2+1}b^{5+2} - 21a^2b^{5+2} = 21a^5b^5 - 84a^3b^7 - 21a^2b^7$.

Ответ: $21a^5b^5 - 84a^3b^7 - 21a^2b^7$.

ж) Умножим одночлен $(-abc)$ на каждый член многочлена $(ab + ac + bc)$:

$(-abc)(ab + ac + bc) = (-abc) \cdot (ab) + (-abc) \cdot (ac) + (-abc) \cdot (bc) = -a^2b^2c - a^2bc^2 - ab^2c^2$.

Ответ: $-a^2b^2c - a^2bc^2 - ab^2c^2$.

з) Умножим одночлен $(-ac)$ на каждый член многочлена $(a + 2c)$:

$-ac(a + 2c) = (-ac) \cdot a + (-ac) \cdot (2c) = -a^2c - 2ac^2$.

Ответ: $-a^2c - 2ac^2$.

Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида (280—281):

280. а) $2(a + b) + 4(a + b);$

б) $4(x - y) + 7(x - y);$

в) $4 - 2(x + 1);$

г) $2a - 3(b - a);$

д) $2(a - b) - 3(a + b);$

е) $a(x - y) - b(x + y);$

ж) $3a^2 - a(3a - 4b) - 2(b - 4a);$

з) $2ab(a + 2b) - 3ab^2(a - 4).$

а) $2(a + b) + 4(a + b)$

Для преобразования выражения в многочлен стандартного вида, сначала раскроем скобки. В данном выражении можно поступить двумя способами: вынести общий множитель $(a+b)$ за скобки или раскрыть каждую скобку отдельно. Рассмотрим второй способ как более универсальный.

1. Раскроем первые скобки, умножив 2 на каждый член внутри них: $2(a + b) = 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2a + 2b$.

2. Раскроем вторые скобки, умножив 4 на каждый член внутри них: $4(a + b) = 4 \cdot a + 4 \cdot b = 4a + 4b$.

3. Теперь сложим полученные выражения: $2a + 2b + 4a + 4b$.

4. Приведем подобные члены, то есть сгруппируем и сложим члены с одинаковыми переменными: $(2a + 4a) + (2b + 4b) = 6a + 6b$.

Полученный многочлен $6a + 6b$ является многочленом стандартного вида.

Ответ: $6a + 6b$

б) $4(x - y) + 7(x - y)$

Аналогично предыдущему примеру, раскроем скобки и приведем подобные члены.

1. Раскроем первые скобки: $4(x - y) = 4x - 4y$.

2. Раскроем вторые скобки: $7(x - y) = 7x - 7y$.

3. Сложим результаты: $4x - 4y + 7x - 7y$.

4. Сгруппируем и сложим подобные члены: $(4x + 7x) + (-4y - 7y) = 11x - 11y$.

Полученный многочлен $11x - 11y$ является многочленом стандартного вида.

Ответ: $11x - 11y$

в) $4 - 2(x + 1)$

1. Раскроем скобки, умножив $-2$ на каждый член внутри них. Важно обратить внимание на знак перед двойкой.

$-2(x + 1) = -2 \cdot x + (-2) \cdot 1 = -2x - 2$.

2. Подставим результат в исходное выражение: $4 + (-2x - 2) = 4 - 2x - 2$.

3. Приведем подобные члены (в данном случае, числовые константы): $(4 - 2) - 2x = 2 - 2x$.

4. Для стандартного вида многочлена принято записывать члены в порядке убывания степеней переменной: $-2x + 2$.

Ответ: $-2x + 2$

г) $2a - 3(b - a)$

1. Раскроем скобки, умножив $-3$ на каждый член внутри них:

$-3(b - a) = -3 \cdot b - (-3) \cdot a = -3b + 3a$.

2. Подставим результат в исходное выражение: $2a + (-3b + 3a) = 2a - 3b + 3a$.

3. Сгруппируем и сложим подобные члены с переменной $a$: $(2a + 3a) - 3b = 5a - 3b$.

Полученный многочлен $5a - 3b$ является многочленом стандартного вида.

Ответ: $5a - 3b$

д) $2(a - b) - 3(a + b)$

1. Раскроем первые скобки: $2(a - b) = 2a - 2b$.

2. Раскроем вторые скобки, учитывая знак минус перед тройкой: $-3(a + b) = -3a - 3b$.

3. Объединим полученные выражения: $2a - 2b - 3a - 3b$.

4. Приведем подобные члены: $(2a - 3a) + (-2b - 3b) = -a - 5b$.

Полученный многочлен $-a - 5b$ является многочленом стандартного вида.

Ответ: $-a - 5b$

е) $a(x - y) - b(x + y)$

1. Раскроем первые скобки, умножив $a$ на каждый член: $a(x - y) = ax - ay$.

2. Раскроем вторые скобки, умножив $-b$ на каждый член: $-b(x + y) = -bx - by$.

3. Объединим результаты: $ax - ay - bx - by$.

В полученном выражении нет подобных членов, поэтому оно уже представлено в виде многочлена стандартного вида.

Ответ: $ax - ay - bx - by$

ж) $3a^2 - a(3a - 4b) - 2(b - 4a)$

1. Раскроем первые скобки, умножив $-a$ на каждый член: $-a(3a - 4b) = -a \cdot 3a - a \cdot (-4b) = -3a^2 + 4ab$.

2. Раскроем вторые скобки, умножив $-2$ на каждый член: $-2(b - 4a) = -2 \cdot b - 2 \cdot (-4a) = -2b + 8a$.

3. Подставим раскрытые скобки в исходное выражение: $3a^2 - 3a^2 + 4ab - 2b + 8a$.

4. Приведем подобные члены. Сгруппируем члены с $a^2$: $(3a^2 - 3a^2) = 0$.

5. Запишем итоговое выражение: $0 + 4ab - 2b + 8a = 4ab + 8a - 2b$.

Запишем многочлен, упорядочив члены (например, по степени, затем по алфавиту): $4ab + 8a - 2b$.

Ответ: $4ab + 8a - 2b$

з) $2ab(a + 2b) - 3ab^2(a - 4)$

1. Раскроем первые скобки, умножив одночлен $2ab$ на многочлен $(a + 2b)$:

$2ab(a + 2b) = 2ab \cdot a + 2ab \cdot 2b = 2a^2b + 4ab^2$.

2. Раскроем вторые скобки, умножив одночлен $-3ab^2$ на многочлен $(a - 4)$:

$-3ab^2(a - 4) = -3ab^2 \cdot a - 3ab^2 \cdot (-4) = -3a^2b^2 + 12ab^2$.

3. Сложим полученные выражения: $2a^2b + 4ab^2 - 3a^2b^2 + 12ab^2$.

4. Найдем и приведем подобные члены. Подобными являются члены $4ab^2$ и $12ab^2$, так как у них одинаковая буквенная часть $ab^2$. Сложим их: $4ab^2 + 12ab^2 = 16ab^2$.

5. Запишем все члены вместе: $2a^2b - 3a^2b^2 + 16ab^2$.

6. Для приведения многочлена к стандартному виду, упорядочим его члены по убыванию их степени. Степень одночлена - это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

Степень $-3a^2b^2$ равна $2+2=4$.

Степень $2a^2b$ равна $2+1=3$.

Степень $16ab^2$ равна $1+2=3$.

Расположим члены по убыванию степени. Члены с одинаковой степенью можно упорядочить лексикографически (например, по убыванию степени переменной $a$): $-3a^2b^2 + 2a^2b + 16ab^2$.

Ответ: $-3a^2b^2 + 2a^2b + 16ab^2$

281. а) $a(b-c) + b(c-a) + c(a-b)$;

б) $a(b+c-bc) - b(c+a-ac) + c(b-a)$.

а) Чтобы упростить выражение $a(b - c) + b(c - a) + c(a - b)$, необходимо раскрыть скобки, используя распределительный закон умножения, который гласит, что $x(y \pm z) = xy \pm xz$.
Применим этот закон к каждому слагаемому:
1. $a(b - c) = ab - ac$
2. $b(c - a) = bc - ba$
3. $c(a - b) = ca - cb$
Теперь подставим полученные выражения в исходное и сложим их:
$ab - ac + bc - ba + ca - cb$
Сгруппируем подобные слагаемые. Учитывая, что умножение коммутативно (то есть $ba = ab$, $ca = ac$ и $cb = bc$), получаем:
$(ab - ba) + (bc - cb) + (ca - ac)$
Каждая из скобок в результате вычитания дает ноль:
$0 + 0 + 0 = 0$
Ответ: $0$

б) Рассмотрим выражение $a(b + c - bc) - b(c + a - ac) + c(b - a)$. Решение аналогично предыдущему пункту: сначала раскроем все скобки.
1. $a(b + c - bc) = ab + ac - abc$
2. $-b(c + a - ac) = -bc - ba + bac$. Так как $bac = abc$, то получаем $-bc - ba + abc$.
3. $c(b - a) = cb - ca$
Теперь сложим все полученные выражения:
$ab + ac - abc - bc - ba + abc + cb - ca$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(ab - ba) + (ac - ca) + (-bc + cb) + (-abc + abc)$
Как и в предыдущем случае, каждая группа слагаемых в сумме дает ноль:
$0 + 0 + 0 + 0 = 0$
Ответ: $0$

282. Доказываем. Пользуясь рисунком 11, докажите, что для $a > 0, b > 0, c > 0, d > 0$ верно равенство:

а) $a(b + c) = ab + ac$ (рис. 11, а);

б) $a(b + c + d) = ab + ac + ad$ (рис. 11, б).

Рис. 11

Данные равенства представляют собой распределительный закон умножения относительно сложения. Докажем их, используя геометрический смысл площади прямоугольника. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

а) Рассмотрим прямоугольник, изображенный на рисунке 11, а).

С одной стороны, это большой прямоугольник, одна сторона которого равна $a$, а другая сторона состоит из двух отрезков $b$ и $c$, то есть ее длина равна $b+c$. Площадь этого большого прямоугольника равна произведению его сторон: $S_{общ} = a(b+c)$.

С другой стороны, этот большой прямоугольник состоит из двух меньших прямоугольников.

• Первый прямоугольник (левый) имеет стороны $a$ и $b$. Его площадь равна $S_1 = ab$.
• Второй прямоугольник (правый) имеет стороны $a$ и $c$. Его площадь равна $S_2 = ac$.

Площадь большого прямоугольника равна сумме площадей двух меньших прямоугольников, из которых он состоит: $S_{общ} = S_1 + S_2$.

Приравнивая два выражения для общей площади, получаем: $a(b+c) = ab + ac$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $a(b+c) = ab + ac$ доказано, так как обе его части выражают площадь одного и того же прямоугольника.

б) Рассмотрим прямоугольник, изображенный на рисунке 11, б).

С одной стороны, это большой прямоугольник, одна сторона которого равна $a$, а другая сторона состоит из трех отрезков $b$, $c$ и $d$, то есть ее длина равна $b+c+d$. Площадь этого большого прямоугольника равна: $S_{общ} = a(b+c+d)$.

С другой стороны, этот большой прямоугольник состоит из трех меньших прямоугольников.

• Первый прямоугольник имеет стороны $a$ и $b$. Его площадь равна $S_1 = ab$.
• Второй прямоугольник имеет стороны $a$ и $c$. Его площадь равна $S_2 = ac$.
• Третий прямоугольник имеет стороны $a$ и $d$. Его площадь равна $S_3 = ad$.

Площадь большого прямоугольника равна сумме площадей трех меньших прямоугольников, из которых он состоит: $S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3$.

Приравнивая два выражения для общей площади, получаем: $a(b+c+d) = ab + ac + ad$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $a(b+c+d) = ab + ac + ad$ доказано, так как обе его части выражают площадь одного и того же прямоугольника.