Страница 92 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

312. а) Что называют целым выражением? Приведите примеры.

б) Является ли целым выражением: число; одночлен; многочлен?

в) Любое ли целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида?

г) Может ли целое выражение равняться нулевому многочлену? Приведите примеры.

а) Целым выражением называют алгебраическое выражение, которое составлено из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения. Также к этим действиям относится возведение в натуральную степень. Важной особенностью целого выражения является то, что оно не содержит операции деления на переменную.
Примеры целых выражений:
- Число: $7$, $-1.5$
- Одночлен: $5xy^2$
- Многочлен: $3a^2 - ab + 4b^2$
- Произведение многочленов: $(x - y)(x + y)$
- Выражение с делением на число (константу): $\frac{a+b}{4}$
Примером выражения, которое не является целым, служит $\frac{x+1}{y}$, так как оно содержит деление на переменную $y$.
Ответ: Целое выражение — это выражение, составленное из чисел и переменных с помощью операций сложения, вычитания и умножения, не содержащее деления на переменную. Примеры: $12$; $x$; $8ab^3$; $c^2 - d^2$; $(m+n)(m-n)$.

б) Да, все перечисленные понятия являются целыми выражениями.
- Число является целым выражением, так как оно не содержит переменных и, следовательно, деления на них.
- Одночлен (например, $3a^2b$) состоит из произведения чисел, переменных и их натуральных степеней, что полностью соответствует определению целого выражения.
- Многочлен (например, $x^2 + 2x + 1$) является суммой одночленов. Так как и одночлены, и операция сложения лежат в основе целых выражений, то и любой многочлен является целым выражением.
Ответ: Да, число, одночлен и многочлен являются целыми выражениями.

в) Да, любое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида. Поскольку целое выражение по определению состоит только из операций сложения, вычитания и умножения, всегда можно выполнить все действия (раскрыть скобки, используя распределительный закон умножения) и привести подобные слагаемые. В результате этих тождественных преобразований получится многочлен, который можно записать в стандартном виде.
Например, преобразуем целое выражение $(2x+y)y - 2xy$:
$(2x+y)y - 2xy = 2x \cdot y + y \cdot y - 2xy = 2xy + y^2 - 2xy = y^2$.
Результат $y^2$ — это многочлен стандартного вида.
Ответ: Да, любое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида путем тождественных преобразований.

г) Да, целое выражение может равняться нулевому многочлену. Это происходит, когда в результате тождественных преобразований (раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых) все его члены взаимно уничтожаются, и выражение становится равным нулю при любых значениях входящих в него переменных.
Примеры выражений, равных нулевому многочлену:
- $5x - 5x = 0$
- $(a-b)(a+b) - (a^2 - b^2) = (a^2 - b^2) - (a^2 - b^2) = 0$
- $c(d+e) - cd - ce = cd + ce - cd - ce = 0$
Ответ: Да, может. Примеры: $x-x$; $(y+2)(y-2) - y^2 + 4$.

313. Какие из данных выражений являются целыми:

а) $7 \left( 2 \frac{1}{2} - 5 \cdot 24 \right)$;

б) $7a^2bc$;

в) $3xy(2a+3b)$;

г) $(x-2)(3y+4) - \frac{2abc}{mn}$;

д) $\left( \frac{7}{8} a^2 - \frac{3}{5} ab^4 \right) \frac{7}{12} a - 8b^4$;

е) $2x(3-x)+4-8x?$;

Целым выражением называется алгебраическое выражение, которое составлено из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, а также возведения в натуральную степень. Важно, что целые выражения не содержат деления на переменную. Проанализируем каждое из данных выражений:

а) $7\left(2\frac{1}{2} - 5 \cdot 24\right)$

Данное выражение является числовым, так как не содержит переменных. Следовательно, оно не содержит и деления на переменную. Таким образом, это целое выражение.

Ответ: является целым выражением.

б) $7a^2bc$

Это выражение представляет собой одночлен — произведение числового коэффициента $7$ и переменных $a, b, c$ в натуральных степенях. В нём отсутствует деление на переменную, поэтому оно является целым.

Ответ: является целым выражением.

в) $3xy(2a + 3b)$

Для анализа раскроем скобки: $3xy(2a + 3b) = 3xy \cdot 2a + 3xy \cdot 3b = 6axy + 9bxy$. В результате мы получаем многочлен, который является суммой одночленов. Деление на переменную отсутствует. Следовательно, это целое выражение.

Ответ: является целым выражением.

г) $(x - 2)(3y + 4) - \frac{2abc}{mn}$

Это выражение содержит дробь $\frac{2abc}{mn}$, в знаменателе которой находятся переменные $m$ и $n$. Наличие деления на переменные означает, что выражение не является целым. Такие выражения называют дробно-рациональными.

Ответ: не является целым выражением.

д) $\left(\frac{7}{8}a^2 - \frac{3}{5}ab^4\right)\frac{7}{12}a - 8b^4$

Хотя в этом выражении присутствуют дроби, они являются числовыми коэффициентами. Деления на переменные нет. Раскроем скобки: $(\frac{7}{8}a^2 - \frac{3}{5}ab^4)\frac{7}{12}a - 8b^4 = \frac{49}{96}a^3 - \frac{21}{60}a^2b^4 - 8b^4 = \frac{49}{96}a^3 - \frac{7}{20}a^2b^4 - 8b^4$. Это многочлен, а любой многочлен является целым выражением.

Ответ: является целым выражением.

е) $2x(3 - x) + 4 - 8x$

Упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые: $2x(3 - x) + 4 - 8x = 6x - 2x^2 + 4 - 8x = -2x^2 - 2x + 4$. В результате получился многочлен (квадратный трёхчлен), который не содержит деления на переменную. Таким образом, это целое выражение.

Ответ: является целым выражением.

Итог: Целыми являются выражения под пунктами а), б), в), д), е).

314. Упростите выражение:

а) $2(x-1) + 3(2-x)$;

б) $2ab(3-2a) + 4b(3a-7a^2)$;

в) $7m(m-n) - 3n(n+m)$;

г) $(x-2y) \cdot 2xy - 28x^2y$;

д) $x(x+2y) - y(2x-1)$;

е) $x(x-2y) - y(5-2x)$;

ж) $x^2(x+2y) - y(2x^2+1)$;

з) $x(x^2-y^2) + y(xy-y^2)$;

и) $(x-y)^2(x+1) - (x-y)^2x$;

к) $(x+y)^2(x-1) - (x-y)^2x$.

а) Для упрощения выражения $2(x - 1) + 3(2 - x)$ сначала раскроем скобки, умножив множитель перед скобками на каждый член внутри них.
$2 \cdot x + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 + 3 \cdot (-x) = 2x - 2 + 6 - 3x$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(2x - 3x) + (-2 + 6) = -x + 4$
Ответ: $4 - x$.

б) Упростим выражение $2ab(3 - 2a) + 4b(3a - 7a^2)$. Раскроем скобки:
$(2ab \cdot 3 - 2ab \cdot 2a) + (4b \cdot 3a - 4b \cdot 7a^2) = 6ab - 4a^2b + 12ab - 28a^2b$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(6ab + 12ab) + (-4a^2b - 28a^2b) = 18ab - 32a^2b$
Ответ: $18ab - 32a^2b$.

в) Упростим выражение $7m(m - n) - 3n(n + m)$. Раскроем скобки, обращая внимание на знак "минус" перед вторым слагаемым:
$7m \cdot m - 7m \cdot n - (3n \cdot n + 3n \cdot m) = 7m^2 - 7mn - 3n^2 - 3mn$
Приведем подобные слагаемые:
$7m^2 - 3n^2 + (-7mn - 3mn) = 7m^2 - 3n^2 - 10mn$
Ответ: $7m^2 - 10mn - 3n^2$.

г) Упростим выражение $(x - 2y) \cdot 2xy - 28x^2y$. Сначала умножим многочлен $(x - 2y)$ на одночлен $2xy$:
$x \cdot 2xy - 2y \cdot 2xy - 28x^2y = 2x^2y - 4xy^2 - 28x^2y$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$(2x^2y - 28x^2y) - 4xy^2 = -26x^2y - 4xy^2$
Ответ: $-26x^2y - 4xy^2$.

д) Упростим выражение $x(x + 2y) - y(2x - 1)$. Раскроем скобки:
$x \cdot x + x \cdot 2y - (y \cdot 2x - y \cdot 1) = x^2 + 2xy - 2xy + y$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 + (2xy - 2xy) + y = x^2 + y$
Ответ: $x^2 + y$.

е) Упростим выражение $x(x - 2y) - y(5 - 2x)$. Раскроем скобки:
$x \cdot x - x \cdot 2y - (y \cdot 5 - y \cdot 2x) = x^2 - 2xy - 5y + 2xy$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 + (-2xy + 2xy) - 5y = x^2 - 5y$
Ответ: $x^2 - 5y$.

ж) Упростим выражение $x^2(x + 2y) - y(2x^2 + 1)$. Раскроем скобки:
$x^2 \cdot x + x^2 \cdot 2y - (y \cdot 2x^2 + y \cdot 1) = x^3 + 2x^2y - 2x^2y - y$
Приведем подобные слагаемые:
$x^3 + (2x^2y - 2x^2y) - y = x^3 - y$
Ответ: $x^3 - y$.

з) Упростим выражение $x(x^2 - y^2) + y(xy - y^2)$. Раскроем скобки:
$x \cdot x^2 - x \cdot y^2 + y \cdot xy - y \cdot y^2 = x^3 - xy^2 + xy^2 - y^3$
Приведем подобные слагаемые:
$x^3 + (-xy^2 + xy^2) - y^3 = x^3 - y^3$
Ответ: $x^3 - y^3$.

и) В выражении $(x - y)^2(x + 1) - (x - y)^2 x$ заметим общий множитель $(x - y)^2$. Вынесем его за скобки:
$(x - y)^2 \cdot ((x + 1) - x)$
Упростим выражение во вторых скобках:
$(x + 1) - x = x - x + 1 = 1$
Таким образом, выражение равно:
$(x - y)^2 \cdot 1 = (x - y)^2$
Раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$x^2 - 2xy + y^2$
Ответ: $x^2 - 2xy + y^2$.

к) Для упрощения выражения $(x + y)^2(x - 1) - (x - y)^2 x$ сначала воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности:
$(x^2 + 2xy + y^2)(x - 1) - (x^2 - 2xy + y^2)x$
Теперь раскроем скобки, перемножая многочлены:
$(x^3 + 2x^2y + xy^2 - x^2 - 2xy - y^2) - (x^3 - 2x^2y + xy^2)$
Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:
$x^3 + 2x^2y + xy^2 - x^2 - 2xy - y^2 - x^3 + 2x^2y - xy^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(x^3 - x^3) + (2x^2y + 2x^2y) + (xy^2 - xy^2) - x^2 - 2xy - y^2 = 4x^2y - x^2 - 2xy - y^2$
Ответ: $4x^2y - x^2 - 2xy - y^2$.