Страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

333. a) Что называют тождеством?

б) Является ли тождеством верное равенство между целыми выражениями?

в) Приведите примеры тождественно равных целых выражений.

г) Приведите примеры многочленов, тождественно равных нулю.

а) Тождеством называют равенство, которое является верным при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Выражения, соединенные знаком равенства в тождестве, называются тождественно равными.

Ответ: Равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

б) Да, является. Целые выражения (выражения, не содержащие деления на переменную) определены для любых значений переменных. Поэтому, если равенство между ними является верным (т.е. выполняется при подстановке любых чисел вместо переменных), то оно по определению является тождеством. Например, верное равенство $2(x+3) = 2x+6$ является тождеством, так как оно справедливо для любого значения $x$.

Ответ: Да, является.

в) Тождественно равные целые выражения — это выражения, значения которых равны при любых значениях входящих в них переменных. Вот несколько примеров пар тождественно равных целых выражений:
1. Выражения $a(b+c)$ и $ab+ac$. Соответствующее тождество: $a(b+c) = ab+ac$ (распределительный закон).
2. Выражения $(x-y)(x+y)$ и $x^2-y^2$. Соответствующее тождество: $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ (формула разности квадратов).
3. Выражения $(m+n)^2$ и $m^2+2mn+n^2$. Соответствующее тождество: $(m+n)^2 = m^2+2mn+n^2$ (формула квадрата суммы).

Ответ: Например, выражения $a(b+c)$ и $ab+ac$; выражения $(x-y)(x+y)$ и $x^2-y^2$.

г) Многочлен тождественно равен нулю, если в результате его упрощения (приведения подобных слагаемых) все его члены взаимно уничтожаются, и он обращается в 0. Это означает, что значение такого многочлена равно нулю при любых значениях переменных. Примеры таких многочленов:
1. $x - x$. После упрощения получаем 0.
2. $a^2 - b^2 - (a-b)(a+b)$. Так как по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$, то все выражение равно $a^2 - b^2 - (a^2-b^2) = 0$.
3. $7ab + 1 - 7ab - 1$. Попарное уничтожение слагаемых дает в результате 0.
4. $c(d-e) - cd + ce$. Раскрыв скобки, получим $cd-ce-cd+ce=0$.

Ответ: Например, многочлены $x-x$; $a^2 - b^2 - (a-b)(a+b)$; $7ab + 1 - 7ab - 1$.

334. Являются ли следующие выражения тождественно равными (объясните почему):

а) $(x+y)$ и $(y+x)$;

б) $c(3xy)$ и $3cxy$;

в) $(2a+7+a)$ и $(3a+7)$;

г) $x(3x-8)$ и $(3x^2-8x)$;

д) $(3m-2n)$ и $(m-2n+m)$;

е) $(2x-3)$ и $(3x+5)$;

ж) $(x+1)(x-1)$ и $x^2-1$;

з) $(x+2)(x-2)$ и $x^2-4$;

и) $(1+y)(1-y)$ и $1-y^2$;

к) $(3+y)(3-y)$ и $9-y^2$;

л) $(2x+1)(2x-1)$ и $4x^2-1$;

м) $(x+y)(x-y)$ и $x^2-y^2$?

а) Выражения $(x + y)$ и $(y + x)$ являются тождественно равными. Это следует из переместительного (коммутативного) закона сложения, который гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Для любых значений $x$ и $y$ будет выполняться равенство $x + y = y + x$. Ответ: Да, являются.

б) Выражения $c(3xy)$ и $3cxy$ являются тождественно равными. Это следует из сочетательного (ассоциативного) и переместительного (коммутативного) законов умножения. Мы можем перегруппировать и поменять местами множители: $c(3xy) = c \cdot 3 \cdot x \cdot y = 3 \cdot c \cdot x \cdot y = 3cxy$. Ответ: Да, являются.

в) Выражения $(2a + 7 + a)$ и $(3a + 7)$ являются тождественно равными. В первом выражении можно привести подобные слагаемые: $2a + a = 3a$. Таким образом, выражение $(2a + 7 + a)$ упрощается до $(3a + 7)$, что полностью совпадает со вторым выражением. Ответ: Да, являются.

г) Выражения $x(3x - 8)$ и $(3x^2 - 8x)$ являются тождественно равными. Раскроем скобки в первом выражении, используя распределительный (дистрибутивный) закон умножения: $x \cdot (3x) - x \cdot 8 = 3x^2 - 8x$. Полученное выражение идентично второму. Ответ: Да, являются.

д) Выражения $(3m - 2n)$ и $(m - 2n + m)$ не являются тождественно равными. Упростим второе выражение, приведя подобные слагаемые: $m + m = 2m$. Второе выражение равно $(2m - 2n)$. Так как $3m - 2n \neq 2m - 2n$ (если $m \neq 0$), выражения не являются тождественно равными. Ответ: Нет, не являются.

е) Выражения $(2x - 3)$ и $(3x + 5)$ не являются тождественно равными. Это два разных линейных выражения. Они равны только при одном конкретном значении $x$ (когда $2x - 3 = 3x + 5$, то есть $x = -8$), но не для всех возможных значений $x$. Например, при $x=0$ первое выражение равно $-3$, а второе $5$. Ответ: Нет, не являются.

ж) Выражения $(x + 1)(x - 1)$ и $x^2 - 1$ являются тождественно равными. Первое выражение представляет собой произведение суммы и разности двух чисел, которое по формуле разности квадратов равно разности их квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В данном случае $(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$. Ответ: Да, являются.

з) Выражения $(x + 2)(x - 2)$ и $x^2 - 4$ являются тождественно равными. Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=x$ и $b=2$. Получаем: $(x + 2)(x - 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$. Ответ: Да, являются.

и) Выражения $(1 + y)(1 - y)$ и $1 - y^2$ являются тождественно равными. Это еще один пример применения формулы разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Здесь $a=1$ и $b=y$, поэтому $(1 + y)(1 - y) = 1^2 - y^2 = 1 - y^2$. Ответ: Да, являются.

к) Выражения $(3 + y)(3 - y)$ и $9 - y^2$ являются тождественно равными. Используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ с $a=3$ и $b=y$, получаем: $(3 + y)(3 - y) = 3^2 - y^2 = 9 - y^2$. Ответ: Да, являются.

л) Выражения $(2x + 1)(2x - 1)$ и $4x^2 - 1$ являются тождественно равными. Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a=2x$ и $b=1$. Следовательно, $(2x + 1)(2x - 1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$. Ответ: Да, являются.

м) Выражения $(x + y)(x - y)$ и $x^2 - y^2$ являются тождественно равными. Это равенство является определением формулы разности квадратов: произведение суммы двух выражений на их разность равно разности квадратов этих выражений. $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$. Ответ: Да, являются.

335. Являются ли следующие выражения тождественно равными (объясните почему):

а) $2 + x$ и $x + 2$;

б) $2a + 5$ и $a - 1 + a + 6$;

в) $x^2 - x + 3$ и $3 - x + x^2$;

г) $2(3x - 1)$ и $6x - 2$;

д) $x + y - 2x + 3y$ и $4y - x$;

е) $2a - b3 + 3b$ и $2a$;

ж) $3x + 4x + 5x + 1$ и $12x + 1$;

з) $5x - 2y + x$ и $-2y + 6x$;

и) $x^2 + 2y$ и $2(x^2 + y) - x^2$;

к) $3x(x - y)$ и $3y(y - x)$;

л) $(x - y)y$ и $(x - y)x$;

м) $(x + y)x$ и $(x - y)x$?

а) Сравним выражения $2 + x$ и $x + 2$. Согласно переместительному (коммутативному) свойству сложения, от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($a + b = b + a$). Следовательно, $2 + x = x + 2$ для любых значений $x$.
Ответ: Да, являются тождественно равными.

б) Сравним выражения $2a + 5$ и $a - 1 + a + 6$. Упростим второе выражение, приведя подобные слагаемые: $a - 1 + a + 6 = (a + a) + (6 - 1) = 2a + 5$. После упрощения второе выражение стало идентичным первому.
Ответ: Да, являются тождественно равными.

в) Сравним выражения $x² - x + 3$ и $3 - x + x²$. Во втором выражении можно поменять местами слагаемые, используя переместительное свойство сложения: $3 - x + x² = x² - x + 3$. Выражения полностью совпадают.
Ответ: Да, являются тождественно равными.

г) Сравним выражения $2(3x - 1)$ и $6x - 2$. Упростим первое выражение, раскрыв скобки с помощью распределительного (дистрибутивного) свойства умножения: $2(3x - 1) = 2 \cdot 3x - 2 \cdot 1 = 6x - 2$. После упрощения первое выражение стало идентичным второму.
Ответ: Да, являются тождественно равными.

д) Сравним выражения $x + y - 2x + 3y$ и $4y - x$. Упростим первое выражение, приведя подобные слагаемые: $x + y - 2x + 3y = (x - 2x) + (y + 3y) = -x + 4y$. Поменяв слагаемые местами, получим $4y - x$, что полностью совпадает со вторым выражением.
Ответ: Да, являются тождественно равными.

е) Сравним выражения $2a - b3 + 3b$ и $2a$. Будем считать, что запись $b3$ означает $b \cdot 3$ или $3b$. Тогда упростим первое выражение: $2a - 3b + 3b = 2a + (-3b + 3b) = 2a + 0 = 2a$. Упрощенное первое выражение совпадает со вторым.
Ответ: Да, являются тождественно равными.

ж) Сравним выражения $3x + 4x + 5x + 1$ и $12x + 1$. Упростим первое выражение, сложив подобные слагаемые: $3x + 4x + 5x + 1 = (3+4+5)x + 1 = 12x + 1$. Упрощенное первое выражение полностью совпадает со вторым.
Ответ: Да, являются тождественно равными.

з) Сравним выражения $5x - 2y + x$ и $-2y + 6x$. Упростим первое выражение, приведя подобные слагаемые: $5x - 2y + x = (5x + x) - 2y = 6x - 2y$. Во втором выражении поменяем слагаемые местами: $-2y + 6x = 6x - 2y$. Выражения идентичны.
Ответ: Да, являются тождественно равными.

и) Сравним выражения $x² + 2y$ и $2(x² + y) - x²$. Упростим второе выражение. Сначала раскроем скобки: $2 \cdot x² + 2 \cdot y - x² = 2x² + 2y - x²$. Теперь приведем подобные слагаемые: $(2x² - x²) + 2y = x² + 2y$. Упрощенное второе выражение совпадает с первым.
Ответ: Да, являются тождественно равными.

к) Сравним выражения $3x(x - y)$ и $3y(y - x)$. Упростим оба выражения, раскрыв скобки:
Первое выражение: $3x(x - y) = 3x^2 - 3xy$.
Второе выражение: $3y(y - x) = 3y^2 - 3yx = 3y^2 - 3xy$.
Сравним результаты: $3x^2 - 3xy$ и $3y^2 - 3xy$. Эти выражения не равны в общем случае, так как $3x^2 \ne 3y^2$, если $x^2 \ne y^2$. Например, при $x=2, y=1$:
$3 \cdot 2(2-1) = 6(1) = 6$.
$3 \cdot 1(1-2) = 3(-1) = -3$.
Так как $6 \ne -3$, выражения не являются тождественно равными.
Ответ: Нет, не являются тождественно равными.

л) Сравним выражения $(x - y)y$ и $(x - y)x$. Упростим оба, раскрыв скобки:
Первое выражение: $(x - y)y = xy - y^2$.
Второе выражение: $(x - y)x = x^2 - xy$.
Выражения $xy - y^2$ и $x^2 - xy$ не равны друг другу для произвольных значений переменных. Например, при $x=2, y=1$:
$(2-1) \cdot 1 = 1$.
$(2-1) \cdot 2 = 2$.
Так как $1 \ne 2$, выражения не являются тождественно равными.
Ответ: Нет, не являются тождественно равными.

м) Сравним выражения $(x + y)x$ и $(x - y)x$. Упростим оба, раскрыв скобки:
Первое выражение: $(x + y)x = x^2 + xy$.
Второе выражение: $(x - y)x = x^2 - xy$.
Выражения $x^2 + xy$ и $x^2 - xy$ не равны, если $xy \ne -xy$, то есть если $2xy \ne 0$, что выполняется для любых $x \ne 0$ и $y \ne 0$. Например, при $x=1, y=1$:
$(1+1) \cdot 1 = 2$.
$(1-1) \cdot 1 = 0$.
Так как $2 \ne 0$, выражения не являются тождественно равными.
Ответ: Нет, не являются тождественно равными.

Доказываем (336–337).

336. Докажите тождество:

а) $a - b = -(b - a);$

б) $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2;$

в) $(a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2;$

г) $(a - b)(a - b) = a^2 - 2ab + b^2;$

д) $(m - n)(m^2 + mn + n^2) = m^3 - n^3;$

е) $(m + n)(m^2 - mn + n^2) = m^3 + n^3;$

ж) $(p + 1)(p + 1)(p + 1) = p^3 + 3p^2 + 3p + 1;$

з) $(q - 1)(q - 1)(q - 1) = q^3 - 3q^2 + 3q - 1.$

а) Для доказательства тождества $a - b = -(b - a)$ преобразуем его правую часть. Раскроем скобки в выражении $-(b - a)$:

$-(b - a) = -1 \cdot b - (-1) \cdot a = -b + a$

Используя переместительное (коммутативное) свойство сложения, получаем:

$-b + a = a - b$

Таким образом, правая часть тождества $-(b-a)$ после преобразования стала равна левой части $a-b$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ преобразуем его левую часть. Раскроем скобки, умножив каждый член первой скобки на каждый член второй (по правилу умножения многочленов):

$(x - y)(x + y) = x \cdot x + x \cdot y - y \cdot x - y \cdot y = x^2 + xy - yx - y^2$

Так как $xy$ и $-yx$ являются подобными слагаемыми с противоположными знаками, их сумма равна нулю ($xy - yx = 0$):

$x^2 + xy - yx - y^2 = x^2 + 0 - y^2 = x^2 - y^2$

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Это известная формула сокращенного умножения "разность квадратов". Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в) Для доказательства тождества $(a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$ преобразуем левую часть. Левая часть представляет собой произведение двух одинаковых скобок, что является квадратом суммы: $(a + b)^2$. Раскроем скобки:

$(a + b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ba + b^2$

Приведем подобные слагаемые $ab$ и $ba$:

$a^2 + (ab + ba) + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Это формула "квадрат суммы". Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

г) Для доказательства тождества $(a - b)(a - b) = a^2 - 2ab + b^2$ преобразуем левую часть. Левая часть является квадратом разности: $(a - b)^2$. Раскроем скобки:

$(a - b)(a - b) = a \cdot a + a \cdot (-b) - b \cdot a + (-b) \cdot (-b) = a^2 - ab - ba + b^2$

Приведем подобные слагаемые $-ab$ и $-ba$:

$a^2 - (ab + ba) + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Это формула "квадрат разности". Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

д) Для доказательства тождества $(m - n)(m^2 + mn + n^2) = m^3 - n^3$ преобразуем левую часть. Раскроем скобки, умножив многочлен $(m-n)$ на многочлен $(m^2 + mn + n^2)$:

$m \cdot (m^2 + mn + n^2) - n \cdot (m^2 + mn + n^2) = (m^3 + m^2n + mn^2) - (m^2n + mn^2 + n^3)$

Раскроем вторые скобки и приведем подобные слагаемые:

$m^3 + m^2n + mn^2 - m^2n - mn^2 - n^3 = m^3 + (m^2n - m^2n) + (mn^2 - mn^2) - n^3 = m^3 - n^3$

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Это формула "разность кубов". Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

е) Для доказательства тождества $(m + n)(m^2 - mn + n^2) = m^3 + n^3$ преобразуем левую часть. Раскроем скобки:

$m \cdot (m^2 - mn + n^2) + n \cdot (m^2 - mn + n^2) = (m^3 - m^2n + mn^2) + (m^2n - mn^2 + n^3)$

Приведем подобные слагаемые:

$m^3 - m^2n + m^2n + mn^2 - mn^2 + n^3 = m^3 + (-m^2n + m^2n) + (mn^2 - mn^2) + n^3 = m^3 + n^3$

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Это формула "сумма кубов". Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

ж) Для доказательства тождества $(p + 1)(p + 1)(p + 1) = p^3 + 3p^2 + 3p + 1$ преобразуем левую часть, которая является кубом суммы $(p+1)^3$. Сначала перемножим первые две скобки (что равносильно возведению в квадрат):

$(p + 1)(p + 1) = (p+1)^2 = p^2 + 2 \cdot p \cdot 1 + 1^2 = p^2 + 2p + 1$

Теперь умножим полученный результат на оставшуюся скобку $(p + 1)$:

$(p^2 + 2p + 1)(p + 1) = p \cdot (p^2 + 2p + 1) + 1 \cdot (p^2 + 2p + 1) = (p^3 + 2p^2 + p) + (p^2 + 2p + 1)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$p^3 + (2p^2 + p^2) + (p + 2p) + 1 = p^3 + 3p^2 + 3p + 1$

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Это формула "куб суммы". Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

з) Для доказательства тождества $(q - 1)(q - 1)(q - 1) = q^3 - 3q^2 + 3q - 1$ преобразуем левую часть, которая является кубом разности $(q-1)^3$. Сначала перемножим первые две скобки:

$(q - 1)(q - 1) = (q-1)^2 = q^2 - 2 \cdot q \cdot 1 + 1^2 = q^2 - 2q + 1$

Теперь умножим полученный результат на оставшуюся скобку $(q - 1)$:

$(q^2 - 2q + 1)(q - 1) = q \cdot (q^2 - 2q + 1) - 1 \cdot (q^2 - 2q + 1) = (q^3 - 2q^2 + q) - (q^2 - 2q + 1)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$q^3 - 2q^2 + q - q^2 + 2q - 1 = q^3 + (-2q^2 - q^2) + (q + 2q) - 1 = q^3 - 3q^2 + 3q - 1$

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Это формула "куб разности". Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

337. Докажите тождество:

a) $a(b - c) + b(c - a) + c(a - b) = 0$;

б) $ab(c - d) - cd(a - b) - ac(b - d) - bd(c - a) = 0$;

в) $(m - n)(2m + 3n)(m - 7) + 7(2m^2 + 2mn - 3n^2) = m(2m^2 + mn - 3n^2 + 7n)$;

г) $(a^3b - b^2)(a^2 - 2b)(a - 3b) + 3a^2b^2(a^3 - 2ab - b) + 2b^2(a^4 - ab + 3b^2) = a^3b(a^3 - b)$;

д) $(a^2 - 4a + 4)(a^2 + 4a + 4) - a^2(a^2 - 8) = 16$;

е) $(4a^2 + 4a + 1)(4a^2 - 4a + 1) - 8a^2(2a^2 - 1) = 1$;

ж) $(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1) - a^8 = -1$;

з) $(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)(a^4 + 16) - a^8 = -256$.

а) $a(b - c) + b(c - a) + c(a - b) = 0$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Раскроем скобки:

$a(b - c) + b(c - a) + c(a - b) = ab - ac + bc - ba + ca - cb$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(ab - ba) + (-ac + ca) + (bc - cb) = 0 + 0 + 0 = 0$

В результате преобразований левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $0 = 0$.

б) $ab(c - d) - cd(a - b) - ac(b - d) - bd(c - a) = 0$

Преобразуем левую часть тождества. Раскроем все скобки:

$ab(c - d) - cd(a - b) - ac(b - d) - bd(c - a) = (abc - abd) - (acd - bcd) - (abc - acd) - (bcd - abd)$

$= abc - abd - acd + bcd - abc + acd - bcd + abd$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(abc - abc) + (-abd + abd) + (-acd + acd) + (bcd - bcd) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $0 = 0$.

в) $(m - n)(2m + 3n)(m - 7) + 7(2m^2 + 2mn - 3n^2) = m(2m^2 + mn - 3n^2 + 7n)$

Преобразуем левую и правую части тождества по отдельности.

Левая часть:

Сначала перемножим первые две скобки: $(m - n)(2m + 3n) = 2m^2 + 3mn - 2mn - 3n^2 = 2m^2 + mn - 3n^2$.

Теперь умножим полученное выражение на $(m - 7)$:

$(2m^2 + mn - 3n^2)(m - 7) = m(2m^2 + mn - 3n^2) - 7(2m^2 + mn - 3n^2) = 2m^3 + m^2n - 3mn^2 - 14m^2 - 7mn + 21n^2$.

Раскроем скобки во втором слагаемом левой части: $7(2m^2 + 2mn - 3n^2) = 14m^2 + 14mn - 21n^2$.

Сложим все части:

$(2m^3 + m^2n - 3mn^2 - 14m^2 - 7mn + 21n^2) + (14m^2 + 14mn - 21n^2)$

$= 2m^3 + m^2n - 3mn^2 + (-14m^2 + 14m^2) + (-7mn + 14mn) + (21n^2 - 21n^2)$

$= 2m^3 + m^2n - 3mn^2 + 7mn$.

Правая часть:

Раскроем скобки: $m(2m^2 + mn - 3n^2 + 7n) = 2m^3 + m^2n - 3mn^2 + 7mn$.

Левая и правая части равны. Тождество доказано.

Ответ: $2m^3 + m^2n - 3mn^2 + 7mn = 2m^3 + m^2n - 3mn^2 + 7mn$.

г) $(a^3b - b^2)(a^2 - 2b)(a - 3b) + 3a^2b^2(a^3 - 2ab - b) + 2b^2(a^4 - ab + 3b^2) = a^3b(a^3 - b)$

Преобразуем левую часть тождества. Раскроем скобки в каждом слагаемом.

Первое слагаемое: $(a^3b - b^2)(a^2 - 2b)(a - 3b) = (a^5b - 2a^3b^2 - a^2b^2 + 2b^3)(a - 3b)$

$= a(a^5b - 2a^3b^2 - a^2b^2 + 2b^3) - 3b(a^5b - 2a^3b^2 - a^2b^2 + 2b^3)$

$= (a^6b - 2a^4b^2 - a^3b^2 + 2ab^3) - (3a^5b^2 - 6a^3b^3 - 3a^2b^3 + 6b^4)$

$= a^6b - 2a^4b^2 - a^3b^2 + 2ab^3 - 3a^5b^2 + 6a^3b^3 + 3a^2b^3 - 6b^4$.

Второе слагаемое: $3a^2b^2(a^3 - 2ab - b) = 3a^5b^2 - 6a^3b^3 - 3a^2b^3$.

Третье слагаемое: $2b^2(a^4 - ab + 3b^2) = 2a^4b^2 - 2ab^3 + 6b^4$.

Сложим все три полученных выражения:

$(a^6b - 3a^5b^2 + 6a^3b^3 + 3a^2b^3 - 2a^4b^2 - a^3b^2 + 2ab^3 - 6b^4) + (3a^5b^2 - 6a^3b^3 - 3a^2b^3) + (2a^4b^2 - 2ab^3 + 6b^4)$

Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:

$a^6b + (-3a^5b^2 + 3a^5b^2) + (-2a^4b^2 + 2a^4b^2) + (6a^3b^3 - 6a^3b^3) - a^3b^2 + (3a^2b^3 - 3a^2b^3) + (2ab^3 - 2ab^3) + (-6b^4 + 6b^4)$

$= a^6b - a^3b^2$.

Теперь преобразуем правую часть: $a^3b(a^3 - b) = a^6b - a^3b^2$.

Левая и правая части равны. Тождество доказано.

Ответ: $a^6b - a^3b^2 = a^6b - a^3b^2$.

д) $(a^2 - 4a + 4)(a^2 + 4a + 4) - a^2(a^2 - 8) = 16$

Преобразуем левую часть. Заметим, что выражения в скобках являются полными квадратами:

$a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$

$a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2$

Подставим их в исходное выражение:

$(a - 2)^2(a + 2)^2 - a^2(a^2 - 8) = ((a - 2)(a + 2))^2 - a^2(a^2 - 8)$

Используем формулу разности квадратов $(a - 2)(a + 2) = a^2 - 4$:

$(a^2 - 4)^2 - a^2(a^2 - 8)$

Раскроем скобки:

$(a^4 - 8a^2 + 16) - (a^4 - 8a^2) = a^4 - 8a^2 + 16 - a^4 + 8a^2 = 16$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $16 = 16$.

е) $(4a^2 + 4a + 1)(4a^2 - 4a + 1) - 8a^2(2a^2 - 1) = 1$

Преобразуем левую часть. Выражения в скобках являются полными квадратами:

$4a^2 + 4a + 1 = (2a + 1)^2$

$4a^2 - 4a + 1 = (2a - 1)^2$

Подставим их в исходное выражение:

$(2a + 1)^2(2a - 1)^2 - 8a^2(2a^2 - 1) = ((2a + 1)(2a - 1))^2 - 8a^2(2a^2 - 1)$

Используем формулу разности квадратов $(2a + 1)(2a - 1) = 4a^2 - 1$:

$(4a^2 - 1)^2 - 8a^2(2a^2 - 1)$

Раскроем скобки:

$(16a^4 - 8a^2 + 1) - (16a^4 - 8a^2) = 16a^4 - 8a^2 + 1 - 16a^4 + 8a^2 = 1$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $1 = 1$.

ж) $(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1) - a^8 = -1$

Преобразуем левую часть, последовательно применяя формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

$(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1$

$(a^2 - 1)(a^2 + 1) = (a^2)^2 - 1^2 = a^4 - 1$

$(a^4 - 1)(a^4 + 1) = (a^4)^2 - 1^2 = a^8 - 1$

Подставим результат в исходное выражение:

$(a^8 - 1) - a^8 = a^8 - 1 - a^8 = -1$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $-1 = -1$.

з) $(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)(a^4 + 16) - a^8 = -256$

Преобразуем левую часть, последовательно применяя формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

$(a - 2)(a + 2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$

$(a^2 - 4)(a^2 + 4) = (a^2)^2 - 4^2 = a^4 - 16$

$(a^4 - 16)(a^4 + 16) = (a^4)^2 - 16^2 = a^8 - 256$

Подставим результат в исходное выражение:

$(a^8 - 256) - a^8 = a^8 - 256 - a^8 = -256$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $-256 = -256$.