Страница 104 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

358. Доказываем. Докажите тождество:

а) $(a - b)^2 = (b - a)^2$;

б) $(-a - b)^2 = (a + b)^2$.

а) Чтобы доказать тождество $ (a - b)^2 = (b - a)^2 $, преобразуем правую часть равенства. Для этого в выражении, стоящем в скобках, вынесем за скобку множитель $-1$:
$ b - a = -1 \cdot (-b + a) = -(a - b) $
Теперь подставим полученное выражение обратно в правую часть исходного тождества:
$ (b - a)^2 = (-(a - b))^2 $
Квадрат любого выражения равен квадрату противоположного ему выражения, так как $ (-x)^2 = (-1)^2 \cdot x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2 $. Следовательно:
$ (-(a - b))^2 = (a - b)^2 $
Мы получили, что правая часть тождества равна его левой части.
Ответ: Тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество $ (-a - b)^2 = (a + b)^2 $, преобразуем левую часть равенства. В выражении, стоящем в скобках, вынесем за скобку множитель $-1$:
$ -a - b = -1 \cdot (a + b) = -(a + b) $
Подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:
$ (-a - b)^2 = (-(a + b))^2 $
Используя свойство, что $ (-x)^2 = x^2 $, получаем:
$ (-(a + b))^2 = (a + b)^2 $
Таким образом, левая часть тождества равна его правой части.
Ответ: Тождество доказано.

359. Вместо букв C и D подберите одночлены так, чтобы выполнялось равенство:

a) $(a - C)^2 = a^2 - 4a + 4;$

б) $(C - y)^2 = 4x^2 - D + y^2;$

в) $(C - D)^2 = 9m^2 - 12mn + 4n^2;$

г) $(C + 3q)^2 = D - 24pq + 9q^2.$

а) В данном равенстве $(a - C)^2 = a^2 - 4a + 4$ левая часть представляет собой квадрат разности. Раскроем скобки по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Получим: $(a - C)^2 = a^2 - 2aC + C^2$.
Теперь приравняем правую часть этого выражения к правой части исходного равенства:
$a^2 - 2aC + C^2 = a^2 - 4a + 4$.
Из этого равенства следует, что соответствующие одночлены должны быть равны:
$2aC = 4a$ и $C^2 = 4$.
Из обоих уравнений находим, что $C = 2$.
Проверка: $(a - 2)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = a^2 - 4a + 4$. Равенство выполняется.
Ответ: $C = 2$.

б) Рассмотрим равенство $(C - y)^2 = 4x^2 - D + y^2$. Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности: $(C - y)^2 = C^2 - 2Cy + y^2$.
Приравняем полученное выражение к правой части исходного равенства:
$C^2 - 2Cy + y^2 = 4x^2 - D + y^2$.
Сравнивая части равенства, видим, что $C^2$ должно быть равно $4x^2$, а $-2Cy$ должно быть равно $-D$.
Из $C^2 = 4x^2$ следует, что $C = 2x$ (или $C=-2x$, но для соответствия формуле квадрата разности обычно берут положительное значение, если нет иных указаний).
Подставим $C = 2x$ во второе соотношение: $-2(2x)y = -D$.
$-4xy = -D$, откуда $D = 4xy$.
Проверка: $(2x - y)^2 = (2x)^2 - 2(2x)y + y^2 = 4x^2 - 4xy + y^2$. Сравнивая с $4x^2 - D + y^2$, получаем $D = 4xy$. Равенство выполняется.
Ответ: $C = 2x$, $D = 4xy$.

в) В равенстве $(C - D)^2 = 9m^2 - 12mn + 4n^2$ правая часть является полным квадратом. Применим формулу $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.
Определим, квадратами каких выражений являются первый и последний члены трехчлена:
$9m^2 = (3m)^2$
$4n^2 = (2n)^2$
Проверим удвоенное произведение: $2 \cdot (3m) \cdot (2n) = 12mn$.
Таким образом, правая часть равна $(3m - 2n)^2$.
Исходное равенство принимает вид: $(C - D)^2 = (3m - 2n)^2$.
Отсюда, сравнивая выражения в скобках, получаем: $C = 3m$ и $D = 2n$.
(Возможен также вариант $C = 2n$ и $D = 3m$, если записать правую часть как $(2n - 3m)^2$, но стандартная запись соответствует первому варианту).
Ответ: $C = 3m$, $D = 2n$.

г) Дано равенство $(C + 3q)^2 = D - 24pq + 9q^2$. Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$(C + 3q)^2 = C^2 + 2 \cdot C \cdot 3q + (3q)^2 = C^2 + 6Cq + 9q^2$.
Приравняем полученное выражение к правой части исходного равенства:
$C^2 + 6Cq + 9q^2 = D - 24pq + 9q^2$.
Сократим одинаковые члены $9q^2$ в обеих частях:
$C^2 + 6Cq = D - 24pq$.
Это тождество должно выполняться для любых $p$ и $q$. Сгруппируем члены с переменными. Сравним члены, содержащие $q$:
$6Cq = -24pq$.
Разделив обе части на $6q$ (при $q \neq 0$), находим $C$:
$C = -4p$.
Теперь приравняем оставшиеся члены, которые не содержат $q$:
$C^2 = D$.
Подставим найденное значение $C$ в это равенство, чтобы найти $D$:
$D = (-4p)^2 = 16p^2$.
Проверка: $(-4p + 3q)^2 = (-4p)^2 + 2(-4p)(3q) + (3q)^2 = 16p^2 - 24pq + 9q^2$. Правая часть: $D - 24pq + 9q^2 = 16p^2 - 24pq + 9q^2$. Равенство выполняется.
Ответ: $C = -4p$, $D = 16p^2$.

360. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:

а) $(m + n)^2 + (m - n)^2$;

б) $2(a - 1)^2 + 3(a - 2)^2$;

в) $5(x - y)^2 + (x - 2y)^2$;

г) $4(m - 2n)^2 - 3(3m + n)^2$;

д) $3(2a - b)^2 - 5(a - 2b)^2$;

е) $4(3x + 4y)^2 - 7(2x - 3y)^2$;

ж) $2(p - 3q)^2 - 4(2p - q)^2 - (2q - 3p)(p + q)$;

з) $5(n - 5m)^2 - 6(2n - 3m)^2 - (3m - n)(7m - n)$;

и) $(2p - q)^2 - 2(2p - q)(p - q) + (p - q)^2$.

а) $(m + n)^2 + (m - n)^2$

Для преобразования выражения раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$

$(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$

Теперь сложим полученные многочлены:

$(m^2 + 2mn + n^2) + (m^2 - 2mn + n^2) = m^2 + 2mn + n^2 + m^2 - 2mn + n^2$

Приведем подобные члены:

$(m^2 + m^2) + (2mn - 2mn) + (n^2 + n^2) = 2m^2 + 0 + 2n^2 = 2m^2 + 2n^2$

Ответ: $2m^2 + 2n^2$

б) $2(a - 1)^2 + 3(a - 2)^2$

Сначала раскроем квадраты разности:

$(a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1$

$(a - 2)^2 = a^2 - 4a + 4$

Теперь подставим раскрытые скобки в исходное выражение и умножим на коэффициенты:

$2(a^2 - 2a + 1) + 3(a^2 - 4a + 4) = (2a^2 - 4a + 2) + (3a^2 - 12a + 12)$

Сложим многочлены и приведем подобные члены:

$2a^2 - 4a + 2 + 3a^2 - 12a + 12 = (2a^2 + 3a^2) + (-4a - 12a) + (2 + 12) = 5a^2 - 16a + 14$

Ответ: $5a^2 - 16a + 14$

в) $5(x - y)^2 + (x - 2y)^2$

Раскроем квадраты разности:

$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

$(x - 2y)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2y + (2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$

Подставим в исходное выражение:

$5(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 - 4xy + 4y^2) = 5x^2 - 10xy + 5y^2 + x^2 - 4xy + 4y^2$

Приведем подобные члены:

$(5x^2 + x^2) + (-10xy - 4xy) + (5y^2 + 4y^2) = 6x^2 - 14xy + 9y^2$

Ответ: $6x^2 - 14xy + 9y^2$

г) $4(m - 2n)^2 - 3(3m + n)^2$

Раскроем скобки с квадратами:

$(m - 2n)^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 2n + (2n)^2 = m^2 - 4mn + 4n^2$

$(3m + n)^2 = (3m)^2 + 2 \cdot 3m \cdot n + n^2 = 9m^2 + 6mn + n^2$

Подставим и умножим на коэффициенты:

$4(m^2 - 4mn + 4n^2) - 3(9m^2 + 6mn + n^2) = (4m^2 - 16mn + 16n^2) - (27m^2 + 18mn + 3n^2)$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки, и приведем подобные члены:

$4m^2 - 16mn + 16n^2 - 27m^2 - 18mn - 3n^2 = (4m^2 - 27m^2) + (-16mn - 18mn) + (16n^2 - 3n^2) = -23m^2 - 34mn + 13n^2$

Ответ: $-23m^2 - 34mn + 13n^2$

д) $3(2a - b)^2 - 5(a - 2b)^2$

Раскроем квадраты разности:

$(2a - b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot b + b^2 = 4a^2 - 4ab + b^2$

$(a - 2b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2b + (2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2$

Подставим в выражение и умножим на коэффициенты:

$3(4a^2 - 4ab + b^2) - 5(a^2 - 4ab + 4b^2) = (12a^2 - 12ab + 3b^2) - (5a^2 - 20ab + 20b^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$12a^2 - 12ab + 3b^2 - 5a^2 + 20ab - 20b^2 = (12a^2 - 5a^2) + (-12ab + 20ab) + (3b^2 - 20b^2) = 7a^2 + 8ab - 17b^2$

Ответ: $7a^2 + 8ab - 17b^2$

е) $4(3x + 4y)^2 - 7(2x - 3y)^2$

Раскроем квадраты:

$(3x + 4y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 4y + (4y)^2 = 9x^2 + 24xy + 16y^2$

$(2x - 3y)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2$

Подставим в выражение:

$4(9x^2 + 24xy + 16y^2) - 7(4x^2 - 12xy + 9y^2) = (36x^2 + 96xy + 64y^2) - (28x^2 - 84xy + 63y^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$36x^2 + 96xy + 64y^2 - 28x^2 + 84xy - 63y^2 = (36x^2 - 28x^2) + (96xy + 84xy) + (64y^2 - 63y^2) = 8x^2 + 180xy + y^2$

Ответ: $8x^2 + 180xy + y^2$

ж) $2(p - 3q)^2 - 4(2p - q)^2 - (2q - 3p)(p + q)$

Преобразуем каждое слагаемое по отдельности:

$2(p - 3q)^2 = 2(p^2 - 6pq + 9q^2) = 2p^2 - 12pq + 18q^2$

$-4(2p - q)^2 = -4(4p^2 - 4pq + q^2) = -16p^2 + 16pq - 4q^2$

$-(2q - 3p)(p + q) = -(2qp + 2q^2 - 3p^2 - 3pq) = -(2q^2 - pq - 3p^2) = -2q^2 + pq + 3p^2$

Теперь сложим полученные выражения:

$(2p^2 - 12pq + 18q^2) + (-16p^2 + 16pq - 4q^2) + (3p^2 + pq - 2q^2)$

Приведем подобные члены:

$(2p^2 - 16p^2 + 3p^2) + (-12pq + 16pq + pq) + (18q^2 - 4q^2 - 2q^2) = -11p^2 + 5pq + 12q^2$

Ответ: $-11p^2 + 5pq + 12q^2$

з) $5(n - 5m)^2 - 6(2n - 3m)^2 - (3m - n)(7m - n)$

Преобразуем каждое слагаемое:

$5(n - 5m)^2 = 5(n^2 - 10mn + 25m^2) = 5n^2 - 50mn + 125m^2$

$-6(2n - 3m)^2 = -6(4n^2 - 12mn + 9m^2) = -24n^2 + 72mn - 54m^2$

$-(3m - n)(7m - n) = -(21m^2 - 3mn - 7mn + n^2) = -(21m^2 - 10mn + n^2) = -21m^2 + 10mn - n^2$

Сложим полученные выражения и сгруппируем подобные члены:

$(125m^2 - 54m^2 - 21m^2) + (-50mn + 72mn + 10mn) + (5n^2 - 24n^2 - n^2)$

Приведем подобные члены:

$50m^2 + 32mn - 20n^2$

Ответ: $50m^2 + 32mn - 20n^2$

и) $(2p - q)^2 - 2(2p - q)(p - q) + (p - q)^2$

Это выражение является полным квадратом разности вида $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

В данном случае $a = (2p - q)$ и $b = (p - q)$.

Подставим эти значения в формулу $(a-b)^2$:

$((2p - q) - (p - q))^2 = (2p - q - p + q)^2 = p^2$

Ответ: $p^2$

361. Запишите в виде многочлена выражение:

а) $(x - 2y)^2;$

б) $(ab - c)^2;$

в) $(5xy - 2)^2.$

а) Для преобразования данного выражения в многочлен, воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a = x$ и $b = 2y$.
Подставим наши значения в формулу:
$(x - 2y)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot (2y) + (2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$.
Ответ: $x^2 - 4xy + 4y^2$

б) Аналогично предыдущему пункту, используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a = ab$ и $b = c$.
Применим формулу:
$(ab - c)^2 = (ab)^2 - 2 \cdot (ab) \cdot c + c^2 = a^2b^2 - 2abc + c^2$.
Ответ: $a^2b^2 - 2abc + c^2$

в) Снова применяем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В этом выражении $a = 5xy$ и $b = 2$.
Выполним подстановку и вычисления:
$(5xy - 2)^2 = (5xy)^2 - 2 \cdot (5xy) \cdot 2 + 2^2 = 25x^2y^2 - 20xy + 4$.
Ответ: $25x^2y^2 - 20xy + 4$

362. Выясните, является ли многочлен квадратом какого-либо двучлена:

а) $a^2 - 4ab + 4b^2;$

б) $x^2 - 4x + 4;$

в) $a^4 - 2a^2 + 1.$

а) Чтобы выяснить, является ли многочлен $a^2 - 4ab + 4b^2$ квадратом какого-либо двучлена, мы должны проверить, соответствует ли он формуле квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем случае, первый член $a^2$ — это квадрат $a$, то есть $x = a$.

Третий член $4b^2$ — это квадрат $2b$, то есть $y = 2b$.

Теперь проверим, равен ли средний член $-4ab$ удвоенному произведению $x$ и $y$ со знаком минус, то есть $-2xy$.

Вычисляем: $-2 \cdot a \cdot (2b) = -4ab$.

Поскольку средний член совпадает, данный многочлен является квадратом двучлена $(a - 2b)$.

$a^2 - 4ab + 4b^2 = (a)^2 - 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a - 2b)^2$.

Ответ: Да, является. Это квадрат двучлена $(a - 2b)$.

б) Рассмотрим многочлен $x^2 - 4x + 4$. Снова используем формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В этом выражении первый член $x^2$ — это квадрат $x$.

Третий член $4$ — это квадрат $2$.

Предположим, что $x$ из формулы равен $x$ из нашего многочлена, а $y$ из формулы равен $2$.

Проверим средний член. Он должен быть равен $-2xy$.

Подставляем наши значения: $-2 \cdot x \cdot 2 = -4x$.

Этот результат совпадает со средним членом исходного многочлена. Таким образом, многочлен является квадратом двучлена $(x - 2)$.

$x^2 - 4x + 4 = (x)^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + (2)^2 = (x - 2)^2$.

Ответ: Да, является. Это квадрат двучлена $(x - 2)$.

в) Проанализируем многочлен $a^4 - 2a^2 + 1$ по той же формуле квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Первый член $a^4$ можно представить как квадрат от $a^2$, то есть $(a^2)^2$. Значит, $x = a^2$.

Третий член $1$ является квадратом $1$, то есть $(1)^2$. Значит, $y = 1$.

Проверим средний член. Он должен быть равен $-2xy$.

Подставляем наши значения: $-2 \cdot a^2 \cdot 1 = -2a^2$.

Средний член совпадает с исходным. Следовательно, многочлен является квадратом двучлена $(a^2 - 1)$.

$a^4 - 2a^2 + 1 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 1 + (1)^2 = (a^2 - 1)^2$.

Ответ: Да, является. Это квадрат двучлена $(a^2 - 1)$.

363. Используя приближённое равенство $(1-x)^2 \approx 1-2x$, вычислите:

а) $0,98^2$;

б) $0,999^2$;

в) $0,998^2$;

г) $0,997^2$.

Замечание. Приближённое значение числа отличается от точного значения на величину $x^2$, которая будет мала при значениях $x$, близких к нулю.

Например:

$0,99^2 = (1 - 0,01)^2 \approx 1 - 2 \cdot 0,01 = 0,98$.

Для решения всех пунктов задачи воспользуемся приближенным равенством $(1-x)^2 \approx 1 - 2x$, которое справедливо для малых значений $x$.

а) Чтобы вычислить $0,98^2$, представим основание степени $0,98$ в виде разности $1 - x$.
$0,98 = 1 - 0,02$.
В данном случае $x = 0,02$.
Подставляем это значение в формулу приближенного вычисления:
$0,98^2 = (1 - 0,02)^2 \approx 1 - 2 \cdot 0,02 = 1 - 0,04 = 0,96$.
Ответ: $0,96$.

б) Представим $0,999$ в виде разности $1 - x$.
$0,999 = 1 - 0,001$.
Здесь $x = 0,001$.
Применяем формулу приближенного вычисления:
$0,999^2 = (1 - 0,001)^2 \approx 1 - 2 \cdot 0,001 = 1 - 0,002 = 0,998$.
Ответ: $0,998$.

в) Представим $0,998$ в виде разности $1 - x$.
$0,998 = 1 - 0,002$.
В этом случае $x = 0,002$.
Используем ту же формулу приближенного вычисления:
$0,998^2 = (1 - 0,002)^2 \approx 1 - 2 \cdot 0,002 = 1 - 0,004 = 0,996$.
Ответ: $0,996$.

г) Представим $0,9997$ в виде разности $1 - x$.
$0,9997 = 1 - 0,0003$.
Здесь $x = 0,0003$.
Применяем формулу приближенного вычисления:
$0,9997^2 = (1 - 0,0003)^2 \approx 1 - 2 \cdot 0,0003 = 1 - 0,0006 = 0,9994$.
Ответ: $0,9994$.