Страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

370. а) $4x^2 + 4x + 5$;

б) $9x^2 + 6x + 7$;

в) $16x^2 + 8x - 1$;

г) $25x^2 + 20x + 3$;

д) $4x^2 + 4x + 3$;

е) $9x^2 + 18x + 4$;

ж) $2x^2 + 4x + 5$;

з) $5x^2 + 20x + 1$;

и) $3x^2 - 12x + 16$;

к) $6x^2 - 24x + 1$.

а)

Рассмотрим выражение $4x^2 + 4x + 5$. Для выделения полного квадрата воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Представим первые два слагаемых в нужном виде: $4x^2+4x+5 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 5$.

Для получения полного квадрата не хватает слагаемого $1^2=1$. Добавим и вычтем его:

$( (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 ) - 1^2 + 5$.

Сгруппируем слагаемые в скобках в полный квадрат и упростим выражение:

$(2x+1)^2 - 1 + 5 = (2x+1)^2 + 4$.

Ответ: $(2x+1)^2 + 4$.

б)

Рассмотрим выражение $9x^2 + 6x + 7$. Для выделения полного квадрата воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Представим первые два слагаемых в нужном виде: $9x^2+6x+7 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 7$.

Для полного квадрата не хватает слагаемого $1^2=1$. Добавим и вычтем его:

$( (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 ) - 1^2 + 7$.

Сгруппируем слагаемые в скобках в полный квадрат и упростим выражение:

$(3x+1)^2 - 1 + 7 = (3x+1)^2 + 6$.

Ответ: $(3x+1)^2 + 6$.

в)

Рассмотрим выражение $16x^2 + 8x - 1$. Для выделения полного квадрата воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Представим первые два слагаемых в нужном виде: $16x^2+8x-1 = (4x)^2 + 2 \cdot (4x) \cdot 1 - 1$.

Для полного квадрата не хватает слагаемого $1^2=1$. Добавим и вычтем его:

$( (4x)^2 + 2 \cdot (4x) \cdot 1 + 1^2 ) - 1^2 - 1$.

Сгруппируем слагаемые в скобках в полный квадрат и упростим выражение:

$(4x+1)^2 - 1 - 1 = (4x+1)^2 - 2$.

Ответ: $(4x+1)^2 - 2$.

г)

Рассмотрим выражение $25x^2 + 20x + 3$. Для выделения полного квадрата воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Представим первые два слагаемых в нужном виде: $25x^2+20x+3 = (5x)^2 + 2 \cdot (5x) \cdot 2 + 3$.

Для полного квадрата не хватает слагаемого $2^2=4$. Добавим и вычтем его:

$( (5x)^2 + 2 \cdot (5x) \cdot 2 + 2^2 ) - 2^2 + 3$.

Сгруппируем слагаемые в скобках в полный квадрат и упростим выражение:

$(5x+2)^2 - 4 + 3 = (5x+2)^2 - 1$.

Ответ: $(5x+2)^2 - 1$.

д)

Рассмотрим выражение $4x^2 + 4x + 3$. Для выделения полного квадрата воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Представим первые два слагаемых в нужном виде: $4x^2+4x+3 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 3$.

Для полного квадрата не хватает слагаемого $1^2=1$. Добавим и вычтем его:

$( (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 ) - 1^2 + 3$.

Сгруппируем слагаемые в скобках в полный квадрат и упростим выражение:

$(2x+1)^2 - 1 + 3 = (2x+1)^2 + 2$.

Ответ: $(2x+1)^2 + 2$.

е)

Рассмотрим выражение $9x^2 + 18x + 4$. Для выделения полного квадрата воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Представим первые два слагаемых в нужном виде: $9x^2+18x+4 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 3 + 4$.

Для полного квадрата не хватает слагаемого $3^2=9$. Добавим и вычтем его:

$( (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 3 + 3^2 ) - 3^2 + 4$.

Сгруппируем слагаемые в скобках в полный квадрат и упростим выражение:

$(3x+3)^2 - 9 + 4 = (3x+3)^2 - 5$.

Также можно вынести общий множитель 3 из скобки: $(3(x+1))^2 - 5 = 9(x+1)^2 - 5$.

Ответ: $9(x+1)^2 - 5$.

ж)

Рассмотрим выражение $2x^2 + 4x + 5$. Для выделения полного квадрата вынесем за скобки коэффициент при $x^2$, то есть 2, из первых двух слагаемых.

$2x^2 + 4x + 5 = 2(x^2 + 2x) + 5$.

Теперь выделим полный квадрат в скобках. Для выражения $x^2 + 2x$ не хватает слагаемого $1^2=1$. Добавим и вычтем его внутри скобок:

$2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 5 = 2((x + 1)^2 - 1) + 5$.

Раскроем внешние скобки и приведём подобные слагаемые:

$2(x + 1)^2 - 2 \cdot 1 + 5 = 2(x+1)^2 + 3$.

Ответ: $2(x+1)^2 + 3$.

з)

Рассмотрим выражение $5x^2 + 20x + 1$. Вынесем за скобки коэффициент 5 из первых двух слагаемых.

$5x^2 + 20x + 1 = 5(x^2 + 4x) + 1$.

Выделим полный квадрат в скобках. Для выражения $x^2 + 4x$ не хватает слагаемого $2^2=4$. Добавим и вычтем его внутри скобок:

$5(x^2 + 4x + 4 - 4) + 1 = 5((x + 2)^2 - 4) + 1$.

Раскроем внешние скобки и приведём подобные слагаемые:

$5(x + 2)^2 - 5 \cdot 4 + 1 = 5(x+2)^2 - 20 + 1 = 5(x+2)^2 - 19$.

Ответ: $5(x+2)^2 - 19$.

и)

Рассмотрим выражение $3x^2 - 12x + 16$. Вынесем за скобки коэффициент 3 из первых двух слагаемых.

$3x^2 - 12x + 16 = 3(x^2 - 4x) + 16$.

Выделим полный квадрат в скобках, используя формулу квадрата разности. Для выражения $x^2 - 4x$ не хватает слагаемого $2^2=4$. Добавим и вычтем его внутри скобок:

$3(x^2 - 4x + 4 - 4) + 16 = 3((x - 2)^2 - 4) + 16$.

Раскроем внешние скобки и приведём подобные слагаемые:

$3(x - 2)^2 - 3 \cdot 4 + 16 = 3(x-2)^2 - 12 + 16 = 3(x-2)^2 + 4$.

Ответ: $3(x-2)^2 + 4$.

к)

Рассмотрим выражение $6x^2 - 24x + 1$. Вынесем за скобки коэффициент 6 из первых двух слагаемых.

$6x^2 - 24x + 1 = 6(x^2 - 4x) + 1$.

Выделим полный квадрат в скобках. Для выражения $x^2 - 4x$ не хватает слагаемого $2^2=4$. Добавим и вычтем его внутри скобок:

$6(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1 = 6((x - 2)^2 - 4) + 1$.

Раскроем внешние скобки и приведём подобные слагаемые:

$6(x - 2)^2 - 6 \cdot 4 + 1 = 6(x-2)^2 - 24 + 1 = 6(x-2)^2 - 23$.

Ответ: $6(x-2)^2 - 23$.

Доказываем (371–373):

371. Докажите, что для любого числа x верно неравенство:

а) $x^2 + 2x + 1 \ge 0;$

б) $x^2 + 4x + 4 \ge 0;$

в) $x^2 - 6x + 9 \ge 0;$

г) $x^2 - 8x + 16 \ge 0.$

Чтобы доказать неравенство $x^2 + 2x + 1 \ge 0$, заметим, что выражение в левой части является полным квадратом. Воспользуемся формулой сокращенного умножения "квадрат суммы": $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В нашем случае $a=x$ и $b=1$. Проверим, соответствует ли этому средний член выражения: $2ab = 2 \cdot x \cdot 1 = 2x$. Соответствует.
Следовательно, мы можем свернуть левую часть неравенства: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.
Теперь исходное неравенство можно переписать в виде: $(x+1)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа (в данном случае, числа $x+1$) всегда является неотрицательной величиной, то есть большим или равным нулю. Это свойство выполняется для любого значения $x$.
Таким образом, неравенство верно для любого числа $x$.
Ответ: Неравенство доказано.

Докажем неравенство $x^2 + 4x + 4 \ge 0$. Левая часть этого неравенства также является полным квадратом. Применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$ и $b=2$. Проверяем средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 2 = 4x$.
Значит, выражение $x^2 + 4x + 4$ можно представить как $(x+2)^2$.
Неравенство принимает вид: $(x+2)^2 \ge 0$.
Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, это неравенство справедливо для любого значения $x$.
Ответ: Неравенство доказано.

Докажем неравенство $x^2 - 6x + 9 \ge 0$. В этом случае левая часть представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$ и $b=3$. Проверяем средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 3 = 6x$. Знак "минус" перед ним соответствует формуле.
Следовательно, $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.
Исходное неравенство можно переписать как $(x-3)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю, поэтому данное неравенство верно для любого $x$.
Ответ: Неравенство доказано.

Докажем неравенство $x^2 - 8x + 16 \ge 0$. Левая часть является полным квадратом разности. Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном выражении $a=x$ и $b=4$. Проверяем средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 4 = 8x$.
Таким образом, $x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$.
Неравенство принимает вид: $(x-4)^2 \ge 0$.
Это неравенство верно для любого действительного числа $x$, так как квадрат любого числа всегда является неотрицательной величиной (больше или равен нулю).
Ответ: Неравенство доказано.

372. Докажите, что для любого числа $x$ верно неравенство:

a) $x^2 + 2x + 2 > 0;$

б) $x^2 + 4x + 5 > 0;$

в) $x^2 - 6x + 11 > 0;$

г) $x^2 - 8x + 17 > 0.$

а) Чтобы доказать неравенство $x^2+2x+2 > 0$, преобразуем его левую часть, выделив полный квадрат. Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
$x^2+2x+2 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 + 2 = (x+1)^2 - 1 + 2 = (x+1)^2 + 1$.
Выражение $(x+1)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(x+1)^2 \ge 0$ для любого $x$.
Следовательно, наименьшее значение выражения $(x+1)^2 + 1$ равно $0 + 1 = 1$.
Таким образом, $(x+1)^2 + 1 \ge 1$, а так как $1 > 0$, то и $x^2+2x+2 > 0$ для любого числа $x$, что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Докажем неравенство $x^2+4x+5 > 0$, выделив полный квадрат в левой части.
$x^2+4x+5 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + 5 = (x+2)^2 - 4 + 5 = (x+2)^2 + 1$.
Так как $(x+2)^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то наименьшее значение выражения $(x+2)^2 + 1$ достигается при $x=-2$ и равно $0+1=1$.
Поскольку $(x+2)^2 + 1 \ge 1$ и $1 > 0$, то неравенство $x^2+4x+5 > 0$ верно для любого $x$.
Ответ: Неравенство доказано.

в) Докажем неравенство $x^2-6x+11 > 0$. Для этого выделим полный квадрат, используя формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
$x^2-6x+11 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 11 = (x-3)^2 - 9 + 11 = (x-3)^2 + 2$.
Выражение $(x-3)^2$ всегда неотрицательно: $(x-3)^2 \ge 0$ для любого $x$.
Значит, наименьшее значение выражения $(x-3)^2 + 2$ равно $0 + 2 = 2$.
Так как $(x-3)^2+2 \ge 2$ и $2 > 0$, то неравенство $x^2-6x+11 > 0$ справедливо для любого $x$.
Ответ: Неравенство доказано.

г) Докажем неравенство $x^2-8x+17 > 0$. Снова выделим полный квадрат в левой части.
$x^2-8x+17 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) - 4^2 + 17 = (x-4)^2 - 16 + 17 = (x-4)^2 + 1$.
Поскольку квадрат любого числа не может быть отрицательным, $(x-4)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.
Следовательно, наименьшее значение выражения $(x-4)^2+1$ равно $0+1=1$.
Так как $(x-4)^2+1 \ge 1$ и $1 > 0$, то неравенство $x^2-8x+17 > 0$ верно для любого числа $x$.
Ответ: Неравенство доказано.

373. Докажите, что для любых чисел x и y верно неравенство:

а) $x^2 + y^2 - 8x + 4y + 20 \ge 0;$

б) $x^2 + y^2 + 12x - 6y + 45 \ge 0;$

в) $x^2 + y^2 - 6x + 10y + 34 \ge 0;$

г) $x^2 + y^2 + 10x - 10y + 50 \ge 0.$

а) Для доказательства неравенства $x^2 + y^2 - 8x + 4y + 20 \ge 0$ преобразуем его левую часть, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - 8x) + (y^2 + 4y) + 20$.
Выделим полный квадрат для $x$: $x^2 - 8x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4$. Для полного квадрата $(x-4)^2$ не хватает $4^2=16$. Добавим и вычтем 16: $(x^2 - 8x + 16) - 16 = (x - 4)^2 - 16$.
Выделим полный квадрат для $y$: $y^2 + 4y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 2$. Для полного квадрата $(y+2)^2$ не хватает $2^2=4$. Добавим и вычтем 4: $(y^2 + 4y + 4) - 4 = (y + 2)^2 - 4$.
Подставим обратно в выражение: $(x - 4)^2 - 16 + (y + 2)^2 - 4 + 20 = (x - 4)^2 + (y + 2)^2 + 0 = (x - 4)^2 + (y + 2)^2$.
Таким образом, исходное неравенство эквивалентно неравенству $(x - 4)^2 + (y + 2)^2 \ge 0$.
Это неравенство верно для любых чисел $x$ и $y$, поскольку квадрат любого числа является неотрицательным ($ (x - 4)^2 \ge 0 $ и $ (y + 2)^2 \ge 0 $), и их сумма также неотрицательна.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Для доказательства неравенства $x^2 + y^2 + 12x - 6y + 45 \ge 0$ преобразуем его левую часть, выделив полные квадраты.
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 + 12x) + (y^2 - 6y) + 45$.
Выделим полные квадраты: $(x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2) - 6^2 + (y^2 - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 45$
$= (x + 6)^2 - 36 + (y - 3)^2 - 9 + 45$
$= (x + 6)^2 + (y - 3)^2 + 0 = (x + 6)^2 + (y - 3)^2$.
Исходное неравенство эквивалентно неравенству $(x + 6)^2 + (y - 3)^2 \ge 0$.
Это неравенство верно, так как является суммой квадратов двух выражений, а квадрат любого числа всегда неотрицателен.
Ответ: Неравенство доказано.

в) Для доказательства неравенства $x^2 + y^2 - 6x + 10y + 34 \ge 0$ преобразуем его левую часть, выделив полные квадраты.
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - 6x) + (y^2 + 10y) + 34$.
Выделим полные квадраты: $(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + (y^2 + 2 \cdot y \cdot 5 + 5^2) - 5^2 + 34$
$= (x - 3)^2 - 9 + (y + 5)^2 - 25 + 34$
$= (x - 3)^2 + (y + 5)^2 + 0 = (x - 3)^2 + (y + 5)^2$.
Исходное неравенство эквивалентно неравенству $(x - 3)^2 + (y + 5)^2 \ge 0$.
Это неравенство верно, так как является суммой двух неотрицательных слагаемых.
Ответ: Неравенство доказано.

г) Для доказательства неравенства $x^2 + y^2 + 10x - 10y + 50 \ge 0$ преобразуем его левую часть, выделив полные квадраты.
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 + 10x) + (y^2 - 10y) + 50$.
Выделим полные квадраты: $(x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - 5^2 + (y^2 - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^2) - 5^2 + 50$
$= (x + 5)^2 - 25 + (y - 5)^2 - 25 + 50$
$= (x + 5)^2 + (y - 5)^2 + 0 = (x + 5)^2 + (y - 5)^2$.
Исходное неравенство эквивалентно неравенству $(x + 5)^2 + (y - 5)^2 \ge 0$.
Это неравенство верно, так как является суммой квадратов двух выражений, а квадрат любого числа всегда неотрицателен.
Ответ: Неравенство доказано.

374. Запишите и прочитайте формулу разности квадратов.

Формула разности квадратов является одной из основных формул сокращённого умножения в алгебре. Она описывает, как можно разложить на множители разность, в которой уменьшаемое и вычитаемое являются квадратами некоторых чисел или выражений.

Запись формулы
Математически формула разности квадратов для двух выражений a и b записывается так:
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Чтение формулы
Словесная формулировка этого тождества звучит следующим образом:
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму.

Доказательство формулы
Чтобы доказать справедливость этой формулы, достаточно раскрыть скобки в правой части равенства, выполнив умножение многочлена на многочлен (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго):
$(a - b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b$
Приводим подобные слагаемые. Учитывая, что $a \cdot b$ и $b \cdot a$ — это одно и то же ($ab = ba$), они взаимно уничтожаются:
$a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2$
В результате мы получили выражение, идентичное левой части исходной формулы: $a^2 - b^2$. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Формула разности квадратов имеет вид $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ и читается как "разность квадратов двух выражений равна произведению их разности на их сумму".

375. Заполните пропуски, применив формулу разности квадратов:

а) $(x-y) \cdot (x+y)=\ldots;$

б) $m^2-n^2=\ldots$

а) Чтобы заполнить пропуск в выражении $(x - y)(x + y) = \ldots$, используется формула сокращенного умножения, известная как "разность квадратов". Формула гласит, что произведение разности двух выражений на их сумму равно разности квадратов этих выражений. Общий вид формулы: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
В данном примере роль $a$ играет $x$, а роль $b$ играет $y$. Применяя формулу, мы преобразуем произведение скобок в разность квадратов:
$(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Ответ: $x^2 - y^2$

б) В выражении $m^2 - n^2 = \ldots$ требуется выполнить обратное действие — разложить разность квадратов на множители. Для этого применяется та же формула, но в обратном порядке: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В этом случае выражение $m^2 - n^2$ уже является разностью квадратов, где $a^2 = m^2$ (следовательно, $a = m$) и $b^2 = n^2$ (следовательно, $b = n$). Подставив $m$ и $n$ в правую часть формулы, получаем разложение на множители:
$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$.
Ответ: $(m - n)(m + n)$