Страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

418. Запишите выражение в виде степени двучлена:

а) $a^2 + 2ab + b^2;$

б) $a^2 - 2ab + b^2;$

в) $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3;$

г) $a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3.$

а) Данное выражение $a^2 + 2ab + b^2$ является полным квадратом суммы. Мы используем формулу сокращенного умножения для квадрата суммы двух чисел: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В нашем случае $x=a$ и $y=b$. Таким образом, выражение сворачивается в квадрат двучлена $(a+b)$.
Ответ: $(a+b)^2$.

б) Выражение $a^2 - 2ab + b^2$ представляет собой полный квадрат разности. Применим формулу сокращенного умножения для квадрата разности двух чисел: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь $x=a$ и $y=b$. Следовательно, выражение равно квадрату двучлена $(a-b)$.
Ответ: $(a-b)^2$.

в) Выражение $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ соответствует формуле куба суммы двух чисел: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$. В данном случае $x=a$ и $y=b$. Поэтому выражение можно записать в виде куба двучлена $(a+b)$.
Ответ: $(a+b)^3$.

г) Рассмотрим выражение $a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$. Попробуем представить его в виде куба суммы, используя формулу $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.
Первый член выражения — $a^3$, что соответствует $x^3$, значит, можно предположить, что $x=a$.
Последний член выражения — $8b^3$, что равно $(2b)^3$. Это соответствует $y^3$, значит, можно предположить, что $y=2b$.
Теперь проверим, соответствуют ли средние члены формуле с нашими $x=a$ и $y=2b$:

• Второй член должен быть $3x^2y = 3 \cdot a^2 \cdot (2b) = 6a^2b$. Это совпадает со вторым членом исходного выражения.
• Третий член должен быть $3xy^2 = 3 \cdot a \cdot (2b)^2 = 3 \cdot a \cdot 4b^2 = 12ab^2$. Это совпадает с третьим членом исходного выражения.

Так как все члены совпадают, исходное выражение является кубом двучлена $(a+2b)$.
Ответ: $(a+2b)^3$.

419. Выясните, является ли многочлен кубом какого-либо двучлена:

а) $8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3$;

б) $a^3 + 3a^2 + 3a + 1$;

в) $27 + 27b + 9b^2 + b^3$.

а) Чтобы определить, является ли многочлен $8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3$ кубом двучлена, воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Предположим, что наш многочлен является кубом двучлена. Тогда первый член $8x^3$ должен быть кубом первого слагаемого двучлена ($a^3$), а последний член $y^3$ – кубом второго слагаемого ($b^3$).

Находим $a$ и $b$:

• $a^3 = 8x^3 \implies a = \sqrt[3]{8x^3} = 2x$
• $b^3 = y^3 \implies b = \sqrt[3]{y^3} = y$

Таким образом, предполагаемый двучлен – это $(2x+y)$.

Теперь проверим, соответствуют ли остальные члены многочлена ($12x^2y$ и $6xy^2$) членам из формулы $3a^2b$ и $3ab^2$:

• Утроенное произведение квадрата первого слагаемого на второе: $3a^2b = 3 \cdot (2x)^2 \cdot y = 3 \cdot 4x^2 \cdot y = 12x^2y$. Этот член совпадает со вторым членом исходного многочлена.
• Утроенное произведение первого слагаемого на квадрат второго: $3ab^2 = 3 \cdot (2x) \cdot y^2 = 6xy^2$. Этот член совпадает с третьим членом исходного многочлена.

Так как все члены многочлена соответствуют разложению по формуле куба суммы для двучлена $(2x+y)$, данный многочлен является его кубом.

$8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 = (2x+y)^3$

Ответ: да, является кубом двучлена $(2x+y)$.

б) Рассмотрим многочлен $a^3 + 3a^2 + 3a + 1$. Снова применим формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Определим предполагаемые слагаемые двучлена, $x$ и $y$.

• Первый член многочлена $a^3$ соответствует $x^3$, значит $x = \sqrt[3]{a^3} = a$.
• Последний член многочлена $1$ соответствует $y^3$, значит $y = \sqrt[3]{1} = 1$.

Предполагаемый двучлен – это $(a+1)$.

Проверим средние члены многочлена:

• $3x^2y = 3 \cdot a^2 \cdot 1 = 3a^2$. Совпадает со вторым членом.
• $3xy^2 = 3 \cdot a \cdot 1^2 = 3a$. Совпадает с третьим членом.

Все члены многочлена совпадают с разложением куба суммы двучлена $(a+1)$.

$a^3 + 3a^2 + 3a + 1 = (a+1)^3$

Ответ: да, является кубом двучлена $(a+1)$.

в) Рассмотрим многочлен $27 + 27b + 9b^2 + b^3$. Для удобства можно переписать его в порядке убывания степеней переменной $b$: $b^3 + 9b^2 + 27b + 27$.

Используем ту же формулу куба суммы $(a+x)^3 = a^3 + 3a^2x + 3ax^2 + x^3$.

Определим предполагаемые слагаемые двучлена, работая с исходным видом многочлена $27 + 27b + 9b^2 + b^3$.

• Пусть $a^3 = 27$, тогда $a = \sqrt[3]{27} = 3$.
• Пусть $x^3 = b^3$, тогда $x = \sqrt[3]{b^3} = b$.

Предполагаемый двучлен – это $(3+b)$.

Проверим, совпадают ли средние члены с формулой:

• $3a^2x = 3 \cdot 3^2 \cdot b = 3 \cdot 9 \cdot b = 27b$. Совпадает со вторым членом.
• $3ax^2 = 3 \cdot 3 \cdot b^2 = 9b^2$. Совпадает с третьим членом.

Многочлен полностью соответствует разложению куба суммы двучлена $(3+b)$.

$27 + 27b + 9b^2 + b^3 = (3+b)^3$

Ответ: да, является кубом двучлена $(3+b)$.

420. Упростите выражение двумя способами:

а) $(x+3)^3-(x+2)^3;$

б) $(x+2)^3-(x+1)^3.$

а) Упростим выражение $(x + 3)^3 - (x + 2)^3$ двумя способами.

Способ 1: Использование формулы куба суммы

Этот способ заключается в раскрытии каждого куба с помощью формулы куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ и последующем приведении подобных слагаемых.

1. Раскроем скобки для $(x+3)^3$:

$(x+3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

2. Раскроем скобки для $(x+2)^3$:

$(x+2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

3. Вычтем второе выражение из первого:

$(x^3 + 9x^2 + 27x + 27) - (x^3 + 6x^2 + 12x + 8) = x^3 + 9x^2 + 27x + 27 - x^3 - 6x^2 - 12x - 8$

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^3 - x^3) + (9x^2 - 6x^2) + (27x - 12x) + (27 - 8) = 3x^2 + 15x + 19$

Способ 2: Использование формулы разности кубов

Этот способ заключается в применении формулы разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

1. Обозначим $a = x+3$ и $b = x+2$.

2. Найдем первый множитель $(a-b)$:

$a - b = (x+3) - (x+2) = x+3-x-2 = 1$

3. Найдем компоненты второго множителя $(a^2 + ab + b^2)$:

$a^2 = (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$

$ab = (x+3)(x+2) = x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6$

$b^2 = (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$

4. Сложим полученные выражения, чтобы найти второй множитель:

$a^2 + ab + b^2 = (x^2 + 6x + 9) + (x^2 + 5x + 6) + (x^2 + 4x + 4)$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + x^2 + x^2) + (6x + 5x + 4x) + (9 + 6 + 4) = 3x^2 + 15x + 19$

5. Перемножим первый и второй множители:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = 1 \cdot (3x^2 + 15x + 19) = 3x^2 + 15x + 19$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $3x^2 + 15x + 19$

б) Упростим выражение $(x + 2)^3 - (x + 1)^3$ двумя способами.

Способ 1: Использование формулы куба суммы

Раскроем каждый куб по формуле $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

1. Раскроем скобки для $(x+2)^3$:

$(x+2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

2. Раскроем скобки для $(x+1)^3$:

$(x+1)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

3. Вычтем второе выражение из первого:

$(x^3 + 6x^2 + 12x + 8) - (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 - x^3 - 3x^2 - 3x - 1$

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^3 - x^3) + (6x^2 - 3x^2) + (12x - 3x) + (8 - 1) = 3x^2 + 9x + 7$

Способ 2: Использование формулы разности кубов

Применим формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

1. Обозначим $a = x+2$ и $b = x+1$.

2. Найдем первый множитель $(a-b)$:

$a - b = (x+2) - (x+1) = x+2-x-1 = 1$

3. Найдем компоненты второго множителя $(a^2 + ab + b^2)$:

$a^2 = (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$

$ab = (x+2)(x+1) = x^2 + x + 2x + 2 = x^2 + 3x + 2$

$b^2 = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$

4. Сложим полученные выражения, чтобы найти второй множитель:

$a^2 + ab + b^2 = (x^2 + 4x + 4) + (x^2 + 3x + 2) + (x^2 + 2x + 1)$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + x^2 + x^2) + (4x + 3x + 2x) + (4 + 2 + 1) = 3x^2 + 9x + 7$

5. Перемножим первый и второй множители:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = 1 \cdot (3x^2 + 9x + 7) = 3x^2 + 9x + 7$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $3x^2 + 9x + 7$

421. Запишите и прочитайте формулу куба разности.

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Запишите
Формула куба разности для двух выражений $a$ и $b$ выглядит следующим образом:$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
Ответ: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Прочитайте
Эта формула читается так: куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, минус куб второго выражения.
Ответ: Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, минус куб второго выражения.

422. Заполните пропуски, применив формулу куба разности:

а) $(x-y)^3 = ...$;

б) $m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3 = ....$

а) Чтобы заполнить пропуск в выражении $(x-y)^3 = ...$, необходимо применить формулу сокращенного умножения, которая называется "куб разности".

Формула куба разности имеет следующий вид: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

В данном выражении переменная $x$ соответствует $a$, а переменная $y$ соответствует $b$. Подставим $x$ и $y$ в формулу:

$(x - y)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot y + 3 \cdot x \cdot y^2 - y^3$

В результате раскрытия скобок получаем многочлен: $x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

Ответ: $x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

б) В этом задании необходимо выполнить обратное действие: представить многочлен $m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3$ в виде куба двучлена.

Для этого снова воспользуемся формулой куба разности, но в обратном порядке: $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a - b)^3$.

Сравним заданный многочлен $m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3$ с левой частью формулы. Определим, чему равны $a$ и $b$.

Первый член многочлена $m^3$ соответствует $a^3$, из чего следует, что $a = m$.

Последний член многочлена $-n^3$ соответствует $-b^3$, из чего следует, что $b = n$.

Теперь необходимо проверить, соответствуют ли второй и третий члены многочлена формуле при найденных $a$ и $b$.

Второй член по формуле: $-3a^2b$. Подставляем $a=m$ и $b=n$, получаем $-3m^2n$. Это совпадает со вторым членом заданного многочлена.

Третий член по формуле: $3ab^2$. Подставляем $a=m$ и $b=n$, получаем $3mn^2$. Это совпадает с третьим членом заданного многочлена.

Так как все члены многочлена полностью соответствуют развернутой формуле куба разности, его можно "свернуть" в $(m - n)^3$.

Ответ: $(m - n)^3$.

423. Запишите:

а) разность $a$ и $b$;

б) квадрат разности $a$ и $b$;

в) разность квадратов $a$ и $b$;

г) куб разности $a$ и $b$;

д) разность кубов $a$ и $b$.

а) разность a и b;

Разность двух чисел $a$ и $b$ — это результат вычитания одного числа из другого. В данном случае это означает вычесть $b$ из $a$.

Ответ: $a - b$

б) квадрат разности a и b;

Сначала находим разность чисел $a$ и $b$, что равно $a - b$. Затем полученный результат возводим в квадрат, то есть во вторую степень. Это записывается как $(a - b)^2$.

Ответ: $(a - b)^2$

в) разность квадратов a и b;

Здесь необходимо сначала найти квадраты каждого из чисел: квадрат числа $a$ — это $a^2$, а квадрат числа $b$ — это $b^2$. Затем находим их разность, вычитая квадрат второго числа из квадрата первого.

Ответ: $a^2 - b^2$

г) куб разности a и b;

Аналогично пункту б), сначала находим разность чисел $a$ и $b$, что равно $a - b$. Затем полученное выражение возводим в куб, то есть в третью степень.

Ответ: $(a - b)^3$

д) разность кубов a и b.

По аналогии с пунктом в), сначала находим кубы каждого из чисел: куб числа $a$ — это $a^3$, а куб числа $b$ — это $b^3$. После этого находим их разность.

Ответ: $a^3 - b^3$

Запишите выражение в виде многочлена (424–425):

424. а) $(x-y)^3$; б) $(x-1)^3$; в) $(x-2)^3$; г) $(x-3)^3$.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой сокращенного умножения, известной как "куб разности":

$ (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $

Применим эту формулу к каждому из выражений.

а)

Для выражения $ (x - y)^3 $, где $ a = x $ и $ b = y $.
Подставляем в формулу:
$ (x - y)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot y + 3 \cdot x \cdot y^2 - y^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 $
Ответ: $ x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 $

б)

Для выражения $ (x - 1)^3 $, где $ a = x $ и $ b = 1 $.
Подставляем в формулу:
$ (x - 1)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 - 1^3 $
Упрощаем выражение:
$ x^3 - 3x^2 + 3x - 1 $
Ответ: $ x^3 - 3x^2 + 3x - 1 $

в)

Для выражения $ (x - 2)^3 $, где $ a = x $ и $ b = 2 $.
Подставляем в формулу:
$ (x - 2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 $
Упрощаем выражение:
$ x^3 - 6x^2 + 3x \cdot 4 - 8 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 $
Ответ: $ x^3 - 6x^2 + 12x - 8 $

г)

Для выражения $ (x - 3)^3 $, где $ a = x $ и $ b = 3 $.
Подставляем в формулу:
$ (x - 3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 $
Упрощаем выражение:
$ x^3 - 9x^2 + 3x \cdot 9 - 27 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27 $
Ответ: $ x^3 - 9x^2 + 27x - 27 $

425. а) $(a+b)^3$;

б) $(a-b)^3$;

В) $(a+2)^3$;

Г) $(a-2)^3$;

Д) $(a+3)^3$;

е) $(a-3)^3$;

Ж) $(a+4)^3$;

З) $(a-4)^3$;

И) $(2a+b)^3$;

К) $(a-2b)^3$;

Л) $(3a+2b)^3$;

М) $(2a-3b)^3$.

а) Для раскрытия скобок используется формула куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.
В данном случае $x = a$ и $y = b$, поэтому выражение является самой формулой.
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Ответ: $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

б) Для раскрытия скобок используется формула куба разности: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
В данном случае $x = a$ и $y = b$, поэтому выражение является самой формулой.
$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
Ответ: $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

в) Используем формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$, где $x=a$ и $y=2$.
$(a + 2)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 2 + 3 \cdot a \cdot 2^2 + 2^3 = a^3 + 6a^2 + 3a \cdot 4 + 8 = a^3 + 6a^2 + 12a + 8$.
Ответ: $a^3 + 6a^2 + 12a + 8$.

г) Используем формулу куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$, где $x=a$ и $y=2$.
$(a - 2)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 2 + 3 \cdot a \cdot 2^2 - 2^3 = a^3 - 6a^2 + 3a \cdot 4 - 8 = a^3 - 6a^2 + 12a - 8$.
Ответ: $a^3 - 6a^2 + 12a - 8$.

д) Используем формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$, где $x=a$ и $y=3$.
$(a + 3)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 3 + 3 \cdot a \cdot 3^2 + 3^3 = a^3 + 9a^2 + 3a \cdot 9 + 27 = a^3 + 9a^2 + 27a + 27$.
Ответ: $a^3 + 9a^2 + 27a + 27$.

е) Используем формулу куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$, где $x=a$ и $y=3$.
$(a - 3)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 3 + 3 \cdot a \cdot 3^2 - 3^3 = a^3 - 9a^2 + 3a \cdot 9 - 27 = a^3 - 9a^2 + 27a - 27$.
Ответ: $a^3 - 9a^2 + 27a - 27$.

ж) Используем формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$, где $x=a$ и $y=4$.
$(a + 4)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 4 + 3 \cdot a \cdot 4^2 + 4^3 = a^3 + 12a^2 + 3a \cdot 16 + 64 = a^3 + 12a^2 + 48a + 64$.
Ответ: $a^3 + 12a^2 + 48a + 64$.

з) Используем формулу куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$, где $x=a$ и $y=4$.
$(a - 4)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 4 + 3 \cdot a \cdot 4^2 - 4^3 = a^3 - 12a^2 + 3a \cdot 16 - 64 = a^3 - 12a^2 + 48a - 64$.
Ответ: $a^3 - 12a^2 + 48a - 64$.

и) Используем формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$, где $x=2a$ и $y=b$.
$(2a + b)^3 = (2a)^3 + 3 \cdot (2a)^2 \cdot b + 3 \cdot (2a) \cdot b^2 + b^3 = 8a^3 + 3 \cdot 4a^2 \cdot b + 6ab^2 + b^3 = 8a^3 + 12a^2b + 6ab^2 + b^3$.
Ответ: $8a^3 + 12a^2b + 6ab^2 + b^3$.

к) Используем формулу куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$, где $x=a$ и $y=2b$.
$(a - 2b)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot (2b) + 3 \cdot a \cdot (2b)^2 - (2b)^3 = a^3 - 6a^2b + 3a \cdot 4b^2 - 8b^3 = a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3$.
Ответ: $a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3$.

л) Используем формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$, где $x=3a$ и $y=2b$.
$(3a + 2b)^3 = (3a)^3 + 3 \cdot (3a)^2 \cdot (2b) + 3 \cdot (3a) \cdot (2b)^2 + (2b)^3 = 27a^3 + 3 \cdot 9a^2 \cdot 2b + 9a \cdot 4b^2 + 8b^3 = 27a^3 + 54a^2b + 36ab^2 + 8b^3$.
Ответ: $27a^3 + 54a^2b + 36ab^2 + 8b^3$.

м) Используем формулу куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$, где $x=2a$ и $y=3b$.
$(2a - 3b)^3 = (2a)^3 - 3 \cdot (2a)^2 \cdot (3b) + 3 \cdot (2a) \cdot (3b)^2 - (3b)^3 = 8a^3 - 3 \cdot 4a^2 \cdot 3b + 6a \cdot 9b^2 - 27b^3 = 8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3$.
Ответ: $8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3$.