Страница 115 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

426. Запишите выражение в виде степени двучлена:

а) $a^2 - 2ab + b^2;$
б) $a^2 + 4a + 4;$
в) $a^2 + 6a + 9;$
г) $a^2 - 10a + 25;$
д) $a^3 + 3a^2 + 3a + 1;$
е) $a^3 - 3a^2 + 3a - 1;$
ж) $a^3 + 6a^2 + 12a + 8;$
з) $a^3 - 6a^2 + 12a - 8.$

а) Данное выражение $a^2 - 2ab + b^2$ является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В нашем случае $x = a$ и $y = b$. Следовательно, $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
Ответ: $(a - b)^2$.

б) Данное выражение $a^2 + 4a + 4$ является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Представим выражение в виде $a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2$. Здесь $x = a$ и $y = 2$. Следовательно, $a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2$.
Ответ: $(a + 2)^2$.

в) Данное выражение $a^2 + 6a + 9$ является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Представим выражение в виде $a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2$. Здесь $x = a$ и $y = 3$. Следовательно, $a^2 + 6a + 9 = (a + 3)^2$.
Ответ: $(a + 3)^2$.

г) Данное выражение $a^2 - 10a + 25$ является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Представим выражение в виде $a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2$. Здесь $x = a$ и $y = 5$. Следовательно, $a^2 - 10a + 25 = (a - 5)^2$.
Ответ: $(a - 5)^2$.

д) Данное выражение $a^3 + 3a^2 + 3a + 1$ соответствует формуле куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$. Представим выражение в виде $a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 1 + 3 \cdot a \cdot 1^2 + 1^3$. Здесь $x = a$ и $y = 1$. Следовательно, $a^3 + 3a^2 + 3a + 1 = (a + 1)^3$.
Ответ: $(a + 1)^3$.

е) Данное выражение $a^3 - 3a^2 + 3a - 1$ соответствует формуле куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$. Представим выражение в виде $a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 1 + 3 \cdot a \cdot 1^2 - 1^3$. Здесь $x = a$ и $y = 1$. Следовательно, $a^3 - 3a^2 + 3a - 1 = (a - 1)^3$.
Ответ: $(a - 1)^3$.

ж) Данное выражение $a^3 + 6a^2 + 12a + 8$ соответствует формуле куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$. В данном выражении $a^3$ это куб $a$, а $8$ это куб $2$. Проверим, соответствуют ли остальные члены формуле при $x = a$ и $y = 2$. $3x^2y = 3 \cdot a^2 \cdot 2 = 6a^2$. $3xy^2 = 3 \cdot a \cdot 2^2 = 3 \cdot a \cdot 4 = 12a$. Все члены совпадают: $a^3 + 6a^2 + 12a + 8 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 2 + 3 \cdot a \cdot 2^2 + 2^3$. Следовательно, $a^3 + 6a^2 + 12a + 8 = (a + 2)^3$.
Ответ: $(a + 2)^3$.

з) Данное выражение $a^3 - 6a^2 + 12a - 8$ соответствует формуле куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$. В данном выражении $a^3$ это куб $a$, а $8$ это куб $2$. Проверим, соответствуют ли остальные члены формуле при $x = a$ и $y = 2$. $-3x^2y = -3 \cdot a^2 \cdot 2 = -6a^2$. $+3xy^2 = +3 \cdot a \cdot 2^2 = 3 \cdot a \cdot 4 = 12a$. Все члены совпадают: $a^3 - 6a^2 + 12a - 8 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 2 + 3 \cdot a \cdot 2^2 - 2^3$. Следовательно, $a^3 - 6a^2 + 12a - 8 = (a - 2)^3$.
Ответ: $(a - 2)^3$.

427. Выясните, является ли многочлен кубом какого-либо двучлена:

а) $1 - 3x + 3x^2 - x^3$;

б) $a^3 - 6a^2 + 12a - 8$;

в) $8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3$.

Чтобы выяснить, является ли многочлен кубом какого-либо двучлена, необходимо проверить, соответствует ли он одной из формул сокращенного умножения:

• Куб суммы: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
• Куб разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

а) $1 - 3x + 3x^2 - x^3$

Данный многочлен состоит из четырех членов, знаки которых чередуются (+, -, +, -), что соответствует формуле куба разности $(a - b)^3$.

Предположим, что $a^3 = 1$ и $b^3 = x^3$. Тогда $a = \sqrt[3]{1} = 1$ и $b = \sqrt[3]{x^3} = x$.

Проверим, соответствуют ли остальные члены многочлена этой формуле, подставив $a=1$ и $b=x$:

• Первый член: $a^3 = 1^3 = 1$. Совпадает.
• Второй член: $-3a^2b = -3 \cdot 1^2 \cdot x = -3x$. Совпадает.
• Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot 1 \cdot x^2 = 3x^2$. Совпадает.
• Четвертый член: $-b^3 = -x^3$. Совпадает.

Так как все члены совпадают, данный многочлен является полным кубом разности двучлена $(1 - x)$.

$1 - 3x + 3x^2 - x^3 = (1 - x)^3$.

Ответ: да, является кубом двучлена $(1 - x)$.

б) $a^3 - 6a^2 + 12a - 8$

Этот многочлен также имеет четыре члена с чередующимися знаками, что указывает на формулу куба разности. Обозначим искомый двучлен как $(A - B)$, чтобы не путать с переменной $a$. Формула: $(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$.

Предположим, что $A^3 = a^3$ и $B^3 = 8$. Тогда $A = a$ и $B = \sqrt[3]{8} = 2$.

Проверим остальные члены, подставив $A=a$ и $B=2$:

• Первый член: $A^3 = a^3$. Совпадает.
• Второй член: $-3A^2B = -3 \cdot a^2 \cdot 2 = -6a^2$. Совпадает.
• Третий член: $3AB^2 = 3 \cdot a \cdot 2^2 = 3 \cdot a \cdot 4 = 12a$. Совпадает.
• Четвертый член: $-B^3 = -2^3 = -8$. Совпадает.

Все члены многочлена соответствуют разложению куба разности $(a - 2)$.

$a^3 - 6a^2 + 12a - 8 = (a - 2)^3$.

Ответ: да, является кубом двучлена $(a - 2)$.

в) $8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3$

Снова видим четыре члена с чередующимися знаками, что соответствует формуле куба разности $(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$.

Предположим, что $A^3 = 8a^3$ и $B^3 = 27b^3$. Тогда $A = \sqrt[3]{8a^3} = 2a$ и $B = \sqrt[3]{27b^3} = 3b$.

Проверим остальные члены, подставив $A=2a$ и $B=3b$:

• Первый член: $A^3 = (2a)^3 = 8a^3$. Совпадает.
• Второй член: $-3A^2B = -3 \cdot (2a)^2 \cdot (3b) = -3 \cdot 4a^2 \cdot 3b = -36a^2b$. Совпадает.
• Третий член: $3AB^2 = 3 \cdot (2a) \cdot (3b)^2 = 3 \cdot 2a \cdot 9b^2 = 54ab^2$. Совпадает.
• Четвертый член: $-B^3 = -(3b)^3 = -27b^3$. Совпадает.

Таким образом, многочлен является кубом разности двучлена $(2a - 3b)$.

$8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3 = (2a - 3b)^3$.

Ответ: да, является кубом двучлена $(2a - 3b)$.

428. Упростите выражение двумя способами:

а) $(x - 1)^3 - (x + 1)^3$;

б) $(x + 2)^3 + (x - 2)^3$.

а) $(x-1)^3 - (x+1)^3$

Способ 1: Раскрытие скобок по формулам куба разности и куба суммы.

Используем формулы:
куб разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
куб суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Раскроем каждую скобку:

$(x-1)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 - 1^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

$(x+1)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

Теперь выполним вычитание:

$(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x^3 - 3x^2 - 3x - 1$

Приведем подобные члены:

$(x^3 - x^3) + (-3x^2 - 3x^2) + (3x - 3x) + (-1 - 1) = -6x^2 - 2$

Способ 2: Применение формулы разности кубов.

Используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

В данном случае $a = x-1$ и $b = x+1$.

Подставим в формулу:

$((x-1) - (x+1)) \cdot ((x-1)^2 + (x-1)(x+1) + (x+1)^2)$

Упростим первую скобку:

$(x-1) - (x+1) = x - 1 - x - 1 = -2$

Упростим вторую скобку:

$(x^2 - 2x + 1) + (x^2 - 1) + (x^2 + 2x + 1) = x^2 - 2x + 1 + x^2 - 1 + x^2 + 2x + 1 = 3x^2 + 1$

Теперь перемножим результаты:

$-2 \cdot (3x^2 + 1) = -6x^2 - 2$

Ответ: $-6x^2 - 2$

б) $(x+2)^3 + (x-2)^3$

Способ 1: Раскрытие скобок по формулам куба суммы и куба разности.

Используем те же формулы, что и в пункте а).

Раскроем каждую скобку:

$(x+2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

$(x-2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

Теперь выполним сложение:

$(x^3 + 6x^2 + 12x + 8) + (x^3 - 6x^2 + 12x - 8)$

Приведем подобные члены:

$(x^3 + x^3) + (6x^2 - 6x^2) + (12x + 12x) + (8 - 8) = 2x^3 + 24x$

Способ 2: Применение формулы суммы кубов.

Используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

В данном случае $a = x+2$ и $b = x-2$.

Подставим в формулу:

$((x+2) + (x-2)) \cdot ((x+2)^2 - (x+2)(x-2) + (x-2)^2)$

Упростим первую скобку:

$(x+2) + (x-2) = x + 2 + x - 2 = 2x$

Упростим вторую скобку:

$(x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 4) + (x^2 - 4x + 4) = x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4 + x^2 - 4x + 4 = x^2 + 12$

Теперь перемножим результаты:

$2x \cdot (x^2 + 12) = 2x^3 + 24x$

Ответ: $2x^3 + 24x$

429. Как получить формулу куба разности из формулы куба суммы?

Чтобы получить формулу куба разности из формулы куба суммы, необходимо в формуле куба суммы заменить одно из слагаемых на противоположное ему по знаку. Этот метод основан на том, что любое вычитание можно представить в виде сложения с отрицательным числом.

1. Начнем с известной формулы сокращенного умножения для куба суммы двух выражений a и b:
$ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $

2. Теперь рассмотрим выражение для куба разности $ (a-b)^3 $. Мы можем представить разность $ a-b $ как сумму $ a + (-b) $. Тогда куб разности запишется в следующем виде:
$ (a-b)^3 = (a + (-b))^3 $

3. Мы получили выражение, которое представляет собой куб суммы двух слагаемых: a и -b. Теперь мы можем применить к нему исходную формулу куба суммы, подставив в нее -b вместо b:
$ (a + (-b))^3 = a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3 $

4. Осталось упростить полученное выражение, используя правила работы со степенями отрицательных чисел:
- $ (-b) = -b $
- $ (-b)^2 = (-1)^2 \cdot b^2 = b^2 $ (показатель степени четный)
- $ (-b)^3 = (-1)^3 \cdot b^3 = -b^3 $ (показатель степени нечетный)

Подставим упрощенные части обратно в выражение:
$ a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $

Таким образом, мы получили искомую формулу куба разности:
$ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $

Ответ: Для получения формулы куба разности из формулы куба суммы $ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $, необходимо в этой формуле везде заменить слагаемое b на -b. После подстановки $ (a+(-b))^3 = a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3 $ и последующего упрощения получается формула куба разности: $ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $.