Номер 429, страница 115 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.8. Куб разности. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 429, страница 115.

Условие.

429. Как получить формулу куба разности из формулы куба суммы?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Чтобы получить формулу куба разности из формулы куба суммы, необходимо в формуле куба суммы заменить одно из слагаемых на противоположное ему по знаку. Этот метод основан на том, что любое вычитание можно представить в виде сложения с отрицательным числом.

1. Начнем с известной формулы сокращенного умножения для куба суммы двух выражений a и b:
$ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $

2. Теперь рассмотрим выражение для куба разности $ (a-b)^3 $. Мы можем представить разность $ a-b $ как сумму $ a + (-b) $. Тогда куб разности запишется в следующем виде:
$ (a-b)^3 = (a + (-b))^3 $

3. Мы получили выражение, которое представляет собой куб суммы двух слагаемых: a и -b. Теперь мы можем применить к нему исходную формулу куба суммы, подставив в нее -b вместо b:
$ (a + (-b))^3 = a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3 $

4. Осталось упростить полученное выражение, используя правила работы со степенями отрицательных чисел:
- $ (-b) = -b $
- $ (-b)^2 = (-1)^2 \cdot b^2 = b^2 $ (показатель степени четный)
- $ (-b)^3 = (-1)^3 \cdot b^3 = -b^3 $ (показатель степени нечетный)

Подставим упрощенные части обратно в выражение:
$ a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $

Таким образом, мы получили искомую формулу куба разности:
$ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $

Ответ: Для получения формулы куба разности из формулы куба суммы $ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $, необходимо в этой формуле везде заменить слагаемое b на -b. После подстановки $ (a+(-b))^3 = a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3 $ и последующего упрощения получается формула куба разности: $ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $.