Номер 432, страница 116 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.9. Применение формул сокращённого умножения. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 432, страница 116.

Условие.

432. Для чего применяются формулы сокращённого умножения?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Формулы сокращённого умножения — это тождества, которые позволяют в некоторых часто встречающихся случаях выполнять умножение многочленов или их разложение на множители по готовому шаблону, что значительно упрощает и ускоряет вычисления. Они являются одним из базовых инструментов в алгебре.

Вот основные формулы:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
• Разность квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$
• Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
• Куб разности: $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
• Сумма кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
• Разность кубов: $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

Формулы сокращённого умножения применяются для следующих целей:

Для упрощения выражений (раскрытия скобок)

Основное применение — это быстрое преобразование произведения многочленов в их сумму, то есть раскрытие скобок. Это позволяет избежать долгого почленного умножения.

Пример: Раскрыть скобки в выражении $(3x+5)^2$.
Вместо того чтобы умножать $(3x+5)(3x+5)$, можно сразу применить формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=3x$ и $b=5$.
$(3x+5)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 5 + 5^2 = 9x^2 + 30x + 25$.

Ответ: Формулы применяются для быстрого раскрытия скобок и приведения выражений к многочлену стандартного вида.

Для разложения многочленов на множители

Это обратная операция, когда многочлен представляется в виде произведения более простых выражений (множителей). Разложение на множители — ключевой шаг для сокращения дробей, решения уравнений и упрощения сложных конструкций.

Пример: Разложить на множители выражение $49y^2 - 100z^2$.
Это выражение соответствует формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a^2 = 49y^2$ (то есть $a=7y$) и $b^2 = 100z^2$ (то есть $b=10z$).
$49y^2 - 100z^2 = (7y - 10z)(7y + 10z)$.

Ответ: Формулы используются для представления многочленов в виде произведения, что необходимо для дальнейших алгебраических преобразований.

Для рационализации вычислений

Формулы помогают быстро и удобно выполнять арифметические вычисления, особенно при возведении в квадрат чисел, близких к "круглым", или при умножении определенных пар чисел.

Пример 1: Вычислить $98^2$.
Представим $98$ как $(100-2)$ и применим формулу квадрата разности:
$98^2 = (100-2)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 2 + 2^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604$.

Пример 2: Вычислить $47 \cdot 53$.
Представим числа как $(50-3)$ и $(50+3)$ и применим формулу разности квадратов:
$47 \cdot 53 = (50-3)(50+3) = 50^2 - 3^2 = 2500 - 9 = 2491$.

Ответ: Формулы сокращённого умножения позволяют упрощать арифметические расчёты, сводя их к более простым операциям.

Для решения уравнений

Разложение на множители — один из главных методов решения уравнений. Если уравнение можно представить в виде $A \cdot B \cdot C = 0$, то оно распадается на несколько более простых уравнений: $A=0$, $B=0$, $C=0$.

Пример: Решить уравнение $x^3 - 9x = 0$.
Сначала вынесем общий множитель $x$: $x(x^2 - 9) = 0$.
Затем применим к выражению в скобках формулу разности квадратов: $x(x-3)(x+3) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Следовательно, корни уравнения: $x_1=0$, $x_2=3$, $x_3=-3$.

Ответ: Формулы применяются для факторизации уравнений, что позволяет легко найти их корни.

Для упрощения и сокращения алгебраических дробей

Чтобы сократить дробь, нужно разложить её числитель и знаменатель на множители и затем разделить на общие множители.

Пример: Сократить дробь $\frac{a^2+6a+9}{a^2-9}$.
Числитель сворачивается по формуле квадрата суммы: $a^2+6a+9 = (a+3)^2 = (a+3)(a+3)$.
Знаменатель раскладывается по формуле разности квадратов: $a^2-9 = (a-3)(a+3)$.
Получаем: $\frac{(a+3)(a+3)}{(a-3)(a+3)}$. Сокращаем общий множитель $(a+3)$:
$\frac{a+3}{a-3}$ (при условии, что $a \neq -3$).

Ответ: Формулы позволяют сокращать алгебраические дроби путем разложения числителя и знаменателя на множители.