Номер 439, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.9. Применение формул сокращённого умножения. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 439, страница 117.

Условие.

439. a) $4(1 - a)^2 + 3(a + 1)^2;$

б) $3(m - 2)^2 + 5(m + 1);$

в) $(a - b)^2 - (a + b)^2;$

г) $(a + b)^2 - (a - b)^2;$

д) $2(x - 1)^2 - 3(x + 1)^2;$

е) $4(a - 2b)^2 - 9(2a - b)^2;$

ж) $3(2 - 3m)^2 - 3(2 - 3m)(3m + 2);$

з) $2(1 - 5x)^2 - 2(5x + 1)(1 - 5x).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

a) $4(1-a)^2 + 3(a+1)^2$

Для решения раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(1-a)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot a + a^2 = 1 - 2a + a^2$

$(a+1)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = a^2 + 2a + 1$

Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:

$4(1 - 2a + a^2) + 3(a^2 + 2a + 1)$

Теперь умножим каждый член в скобках на коэффициент перед скобками:

$4 \cdot 1 - 4 \cdot 2a + 4 \cdot a^2 + 3 \cdot a^2 + 3 \cdot 2a + 3 \cdot 1 = 4 - 8a + 4a^2 + 3a^2 + 6a + 3$

Приведем подобные слагаемые:

$(4a^2 + 3a^2) + (-8a + 6a) + (4 + 3) = 7a^2 - 2a + 7$

Ответ: $7a^2 - 2a + 7$.

---

б) $3(m-2)^2 + 5(m+1)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы.

$(m-2)^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 2 + 2^2 = m^2 - 4m + 4$

$(m+1)^2 = m^2 + 2 \cdot m \cdot 1 + 1^2 = m^2 + 2m + 1$

Подставим в исходное выражение:

$3(m^2 - 4m + 4) + 5(m^2 + 2m + 1)$

Распределим коэффициенты:

$3m^2 - 12m + 12 + 5m^2 + 10m + 5$

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$(3m^2 + 5m^2) + (-12m + 10m) + (12 + 5) = 8m^2 - 2m + 17$

Ответ: $8m^2 - 2m + 17$.

---

в) $(a-b)^2 - (a+b)^2$

Можно решить задачу двумя способами.

Способ 1: Раскрыть квадраты по формулам сокращенного умножения.

$(a^2 - 2ab + b^2) - (a^2 + 2ab + b^2) = a^2 - 2ab + b^2 - a^2 - 2ab - b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (-2ab - 2ab) + (b^2 - b^2) = -4ab$

Способ 2: Применить формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = a-b$ и $y = a+b$.

$((a-b) - (a+b))((a-b) + (a+b)) = (a-b-a-b)(a-b+a+b) = (-2b)(2a) = -4ab$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $-4ab$.

---

г) $(a+b)^2 - (a-b)^2$

Это выражение является классической формулой, но мы выведем результат. Как и в предыдущем примере, можно использовать два способа.

Способ 1: Раскрытие скобок.

$(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (2ab + 2ab) + (b^2 - b^2) = 4ab$

Способ 2: Применение формулы разности квадратов.

$((a+b) - (a-b))((a+b) + (a-b)) = (a+b-a+b)(a+b+a-b) = (2b)(2a) = 4ab$

Ответ: $4ab$.

---

д) $2(x-1)^2 - 3(x+1)^2$

Раскроем скобки с помощью формул квадрата разности и квадрата суммы.

$2(x^2 - 2x + 1) - 3(x^2 + 2x + 1)$

Умножим на коэффициенты перед скобками:

$2x^2 - 4x + 2 - (3x^2 + 6x + 3) = 2x^2 - 4x + 2 - 3x^2 - 6x - 3$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 - 3x^2) + (-4x - 6x) + (2 - 3) = -x^2 - 10x - 1$

Ответ: $-x^2 - 10x - 1$.

---

е) $4(a-2b)^2 - 9(2a-b)^2$

Раскроем квадраты двучленов.

$(a-2b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2$

$(2a-b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot b + b^2 = 4a^2 - 4ab + b^2$

Подставим в исходное выражение:

$4(a^2 - 4ab + 4b^2) - 9(4a^2 - 4ab + b^2)$

Распределим коэффициенты 4 и -9:

$4a^2 - 16ab + 16b^2 - 36a^2 + 36ab - 9b^2$

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$(4a^2 - 36a^2) + (-16ab + 36ab) + (16b^2 - 9b^2) = -32a^2 + 20ab + 7b^2$

Ответ: $-32a^2 + 20ab + 7b^2$.

---

ж) $3(2-3m)^2 - 3(2-3m)(3m+2)$

Заметим, что в обоих членах выражения есть общий множитель $3(2-3m)$. Вынесем его за скобки.

$3(2-3m) \cdot [(2-3m) - (3m+2)]$

Упростим выражение во вторых скобках:

$3(2-3m) \cdot (2 - 3m - 3m - 2) = 3(2-3m) \cdot (-6m)$

Перемножим оставшиеся множители:

$-18m(2-3m) = -18m \cdot 2 - 18m \cdot (-3m) = -36m + 54m^2$

Запишем в стандартном виде:

$54m^2 - 36m$

Ответ: $54m^2 - 36m$.

---

з) $2(1-5x)^2 - 2(5x+1)(1-5x)$

Как и в предыдущем примере, вынесем общий множитель $2(1-5x)$ за скобки.

$2(1-5x) \cdot [(1-5x) - (5x+1)]$

Упростим выражение во вторых скобках:

$2(1-5x) \cdot (1 - 5x - 5x - 1) = 2(1-5x) \cdot (-10x)$

Перемножим:

$-20x(1-5x) = -20x \cdot 1 - 20x \cdot (-5x) = -20x + 100x^2$

Запишем в стандартном виде:

$100x^2 - 20x$

Ответ: $100x^2 - 20x$.