Номер 440, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.9. Применение формул сокращённого умножения. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 440, страница 117.

Условие.

Доказываем. Докажите тождество (440–442):

440. а) $a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = (a + b)^3$;

б) $a^3 - 3ab(a - b) - b^3 = (a - b)^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы доказать тождество $a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = (a + b)^3$, преобразуем его правую часть, используя формулу куба суммы: $(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$.

Запишем правую часть тождества:

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Теперь сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить $a^3+b^3$:

$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a^3 + b^3) + (3a^2b + 3ab^2)$.

Во второй группе слагаемых вынесем общий множитель $3ab$ за скобки:

$3a^2b + 3ab^2 = 3ab(a + b)$.

Подставим полученное выражение обратно:

$(a^3 + b^3) + 3ab(a + b) = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$.

В результате преобразования мы получили выражение, в точности совпадающее с левой частью исходного равенства. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = (a + b)^3$ доказано.

б) Чтобы доказать тождество $a^3 - 3ab(a - b) - b^3 = (a - b)^3$, преобразуем его правую часть, используя формулу куба разности: $(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$.

Запишем правую часть тождества:

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Теперь сгруппируем слагаемые так, чтобы привести выражение к виду левой части.

$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a^3 - b^3) + (-3a^2b + 3ab^2)$.

Во второй группе слагаемых вынесем общий множитель $-3ab$ за скобки:

$-3a^2b + 3ab^2 = -3ab(a - b)$.

Подставим полученное выражение обратно:

$(a^3 - b^3) - 3ab(a - b)$.

Переставим слагаемые, чтобы получить точное совпадение с левой частью исходного равенства:

$a^3 - 3ab(a - b) - b^3$.

В результате преобразования мы получили выражение, в точности совпадающее с левой частью исходного равенства. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $a^3 - 3ab(a - b) - b^3 = (a - b)^3$ доказано.