Страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

439. a) $4(1 - a)^2 + 3(a + 1)^2;$

б) $3(m - 2)^2 + 5(m + 1);$

в) $(a - b)^2 - (a + b)^2;$

г) $(a + b)^2 - (a - b)^2;$

д) $2(x - 1)^2 - 3(x + 1)^2;$

е) $4(a - 2b)^2 - 9(2a - b)^2;$

ж) $3(2 - 3m)^2 - 3(2 - 3m)(3m + 2);$

з) $2(1 - 5x)^2 - 2(5x + 1)(1 - 5x).$

a) $4(1-a)^2 + 3(a+1)^2$

Для решения раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(1-a)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot a + a^2 = 1 - 2a + a^2$

$(a+1)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = a^2 + 2a + 1$

Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:

$4(1 - 2a + a^2) + 3(a^2 + 2a + 1)$

Теперь умножим каждый член в скобках на коэффициент перед скобками:

$4 \cdot 1 - 4 \cdot 2a + 4 \cdot a^2 + 3 \cdot a^2 + 3 \cdot 2a + 3 \cdot 1 = 4 - 8a + 4a^2 + 3a^2 + 6a + 3$

Приведем подобные слагаемые:

$(4a^2 + 3a^2) + (-8a + 6a) + (4 + 3) = 7a^2 - 2a + 7$

Ответ: $7a^2 - 2a + 7$.

б) $3(m-2)^2 + 5(m+1)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы.

$(m-2)^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 2 + 2^2 = m^2 - 4m + 4$

$(m+1)^2 = m^2 + 2 \cdot m \cdot 1 + 1^2 = m^2 + 2m + 1$

Подставим в исходное выражение:

$3(m^2 - 4m + 4) + 5(m^2 + 2m + 1)$

Распределим коэффициенты:

$3m^2 - 12m + 12 + 5m^2 + 10m + 5$

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$(3m^2 + 5m^2) + (-12m + 10m) + (12 + 5) = 8m^2 - 2m + 17$

Ответ: $8m^2 - 2m + 17$.

в) $(a-b)^2 - (a+b)^2$

Можно решить задачу двумя способами.

Способ 1: Раскрыть квадраты по формулам сокращенного умножения.

$(a^2 - 2ab + b^2) - (a^2 + 2ab + b^2) = a^2 - 2ab + b^2 - a^2 - 2ab - b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (-2ab - 2ab) + (b^2 - b^2) = -4ab$

Способ 2: Применить формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = a-b$ и $y = a+b$.

$((a-b) - (a+b))((a-b) + (a+b)) = (a-b-a-b)(a-b+a+b) = (-2b)(2a) = -4ab$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $-4ab$.

г) $(a+b)^2 - (a-b)^2$

Это выражение является классической формулой, но мы выведем результат. Как и в предыдущем примере, можно использовать два способа.

Способ 1: Раскрытие скобок.

$(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (2ab + 2ab) + (b^2 - b^2) = 4ab$

Способ 2: Применение формулы разности квадратов.

$((a+b) - (a-b))((a+b) + (a-b)) = (a+b-a+b)(a+b+a-b) = (2b)(2a) = 4ab$

Ответ: $4ab$.

д) $2(x-1)^2 - 3(x+1)^2$

Раскроем скобки с помощью формул квадрата разности и квадрата суммы.

$2(x^2 - 2x + 1) - 3(x^2 + 2x + 1)$

Умножим на коэффициенты перед скобками:

$2x^2 - 4x + 2 - (3x^2 + 6x + 3) = 2x^2 - 4x + 2 - 3x^2 - 6x - 3$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 - 3x^2) + (-4x - 6x) + (2 - 3) = -x^2 - 10x - 1$

Ответ: $-x^2 - 10x - 1$.

е) $4(a-2b)^2 - 9(2a-b)^2$

Раскроем квадраты двучленов.

$(a-2b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2$

$(2a-b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot b + b^2 = 4a^2 - 4ab + b^2$

Подставим в исходное выражение:

$4(a^2 - 4ab + 4b^2) - 9(4a^2 - 4ab + b^2)$

Распределим коэффициенты 4 и -9:

$4a^2 - 16ab + 16b^2 - 36a^2 + 36ab - 9b^2$

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$(4a^2 - 36a^2) + (-16ab + 36ab) + (16b^2 - 9b^2) = -32a^2 + 20ab + 7b^2$

Ответ: $-32a^2 + 20ab + 7b^2$.

ж) $3(2-3m)^2 - 3(2-3m)(3m+2)$

Заметим, что в обоих членах выражения есть общий множитель $3(2-3m)$. Вынесем его за скобки.

$3(2-3m) \cdot [(2-3m) - (3m+2)]$

Упростим выражение во вторых скобках:

$3(2-3m) \cdot (2 - 3m - 3m - 2) = 3(2-3m) \cdot (-6m)$

Перемножим оставшиеся множители:

$-18m(2-3m) = -18m \cdot 2 - 18m \cdot (-3m) = -36m + 54m^2$

Запишем в стандартном виде:

$54m^2 - 36m$

Ответ: $54m^2 - 36m$.

з) $2(1-5x)^2 - 2(5x+1)(1-5x)$

Как и в предыдущем примере, вынесем общий множитель $2(1-5x)$ за скобки.

$2(1-5x) \cdot [(1-5x) - (5x+1)]$

Упростим выражение во вторых скобках:

$2(1-5x) \cdot (1 - 5x - 5x - 1) = 2(1-5x) \cdot (-10x)$

Перемножим:

$-20x(1-5x) = -20x \cdot 1 - 20x \cdot (-5x) = -20x + 100x^2$

Запишем в стандартном виде:

$100x^2 - 20x$

Ответ: $100x^2 - 20x$.

Доказываем. Докажите тождество (440–442):

440. а) $a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = (a + b)^3$;

б) $a^3 - 3ab(a - b) - b^3 = (a - b)^3$.

а) Чтобы доказать тождество $a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = (a + b)^3$, преобразуем его правую часть, используя формулу куба суммы: $(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$.

Запишем правую часть тождества:

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Теперь сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить $a^3+b^3$:

$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a^3 + b^3) + (3a^2b + 3ab^2)$.

Во второй группе слагаемых вынесем общий множитель $3ab$ за скобки:

$3a^2b + 3ab^2 = 3ab(a + b)$.

Подставим полученное выражение обратно:

$(a^3 + b^3) + 3ab(a + b) = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$.

В результате преобразования мы получили выражение, в точности совпадающее с левой частью исходного равенства. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = (a + b)^3$ доказано.

б) Чтобы доказать тождество $a^3 - 3ab(a - b) - b^3 = (a - b)^3$, преобразуем его правую часть, используя формулу куба разности: $(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$.

Запишем правую часть тождества:

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Теперь сгруппируем слагаемые так, чтобы привести выражение к виду левой части.

$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a^3 - b^3) + (-3a^2b + 3ab^2)$.

Во второй группе слагаемых вынесем общий множитель $-3ab$ за скобки:

$-3a^2b + 3ab^2 = -3ab(a - b)$.

Подставим полученное выражение обратно:

$(a^3 - b^3) - 3ab(a - b)$.

Переставим слагаемые, чтобы получить точное совпадение с левой частью исходного равенства:

$a^3 - 3ab(a - b) - b^3$.

В результате преобразования мы получили выражение, в точности совпадающее с левой частью исходного равенства. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $a^3 - 3ab(a - b) - b^3 = (a - b)^3$ доказано.

441. а) $(1 + x^6)(1 - x^3)(x^3 + 1) = 1 - x^{12};$

б) $(m - n)(m^2 + n^2)(n + m) = m^4 - n^4.$

а) Для доказательства данного тождества необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой. Мы будем использовать формулу сокращенного умножения — разность квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Рассмотрим левую часть равенства: $(1 + x^6)(1 - x^3)(x^3 + 1)$.

С помощью переместительного свойства умножения сгруппируем множители следующим образом:

$(1 + x^6) \cdot [(1 - x^3)(x^3 + 1)]$

Применим формулу разности квадратов к выражению в квадратных скобках, где $a=1$ и $b=x^3$:

$(1 - x^3)(1 + x^3) = 1^2 - (x^3)^2 = 1 - x^{3 \cdot 2} = 1 - x^6$.

Теперь подставим полученный результат обратно в наше выражение:

$(1 + x^6)(1 - x^6)$

Снова видим формулу разности квадратов, но теперь $a=1$ и $b=x^6$:

$(1 + x^6)(1 - x^6) = 1^2 - (x^6)^2 = 1 - x^{6 \cdot 2} = 1 - x^{12}$.

Результат преобразования левой части $(1 - x^{12})$ совпадает с правой частью тождества. Следовательно, тождество верно.

Ответ: тождество доказано.

б) Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, используя те же методы, что и в предыдущем пункте.

Рассмотрим левую часть равенства: $(m - n)(m^2 + n^2)(n + m)$.

Используя переместительное свойство умножения, сгруппируем первый и третий множители. Учтем, что $(n+m) = (m+n)$:

$[(m - n)(m + n)](m^2 + n^2)$

Применим формулу разности квадратов к выражению в квадратных скобках, где $a=m$ и $b=n$:

$(m - n)(m + n) = m^2 - n^2$.

Подставим полученный результат обратно в наше выражение:

$(m^2 - n^2)(m^2 + n^2)$

Снова применяем формулу разности квадратов, где на этот раз $a=m^2$ и $b=n^2$:

$(m^2 - n^2)(m^2 + n^2) = (m^2)^2 - (n^2)^2 = m^{2 \cdot 2} - n^{2 \cdot 2} = m^4 - n^4$.

Результат преобразования левой части $(m^4 - n^4)$ совпадает с правой частью тождества. Следовательно, тождество верно.

Ответ: тождество доказано.

442. a) $(m^2 + 1)(n^2 + 1) = (mn - 1)^2 + (n + m)^2;$
б) $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (bc + ad)^2.$

а)

Чтобы доказать тождество $(m^2 + 1)(n^2 + 1) = (mn - 1)^2 + (n + m)^2$, необходимо показать, что его левая и правая части равны при любых значениях $m$ и $n$. Для этого преобразуем обе части уравнения.

1. Раскроем скобки в левой части (ЛЧ):
$(m^2 + 1)(n^2 + 1) = m^2 \cdot n^2 + m^2 \cdot 1 + 1 \cdot n^2 + 1 \cdot 1 = m^2n^2 + m^2 + n^2 + 1$.

2. Раскроем скобки в правой части (ПЧ), используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрат суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(mn - 1)^2 + (n + m)^2 = ((mn)^2 - 2 \cdot mn \cdot 1 + 1^2) + (n^2 + 2nm + m^2)$
$= (m^2n^2 - 2mn + 1) + (n^2 + 2mn + m^2)$.

3. Упростим полученное выражение для правой части, приведя подобные слагаемые. Члены $-2mn$ и $+2mn$ взаимно уничтожаются.
$m^2n^2 - 2mn + 1 + n^2 + 2mn + m^2 = m^2n^2 + m^2 + n^2 + 1$.

4. Сравним результаты преобразований:
ЛЧ: $m^2n^2 + m^2 + n^2 + 1$
ПЧ: $m^2n^2 + m^2 + n^2 + 1$
Левая и правая части тождественно равны.

Ответ: Тождество $(m^2 + 1)(n^2 + 1) = (mn - 1)^2 + (n + m)^2$ доказано.

б)

Чтобы доказать тождество $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (bc + ad)^2$ (тождество Брахмагупты-Фибоначчи), выполним преобразования левой и правой частей.

1. Раскроем скобки в левой части (ЛЧ):
$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$.

2. Раскроем скобки в правой части (ПЧ), используя те же формулы квадрата разности и квадрата суммы:
$(ac - bd)^2 + (bc + ad)^2 = ((ac)^2 - 2(ac)(bd) + (bd)^2) + ((bc)^2 + 2(bc)(ad) + (ad)^2)$
$= (a^2c^2 - 2abcd + b^2d^2) + (b^2c^2 + 2abcd + a^2d^2)$.

3. Упростим выражение для правой части. Члены $-2abcd$ и $+2abcd$ взаимно уничтожаются.
$a^2c^2 - 2abcd + b^2d^2 + b^2c^2 + 2abcd + a^2d^2 = a^2c^2 + b^2d^2 + b^2c^2 + a^2d^2$.

4. Сравним результаты. Перегруппируем слагаемые в правой части для наглядности:
ЛЧ: $a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$
ПЧ: $a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$
Левая и правая части тождественно равны.

Ответ: Тождество $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (bc + ad)^2$ доказано.

443. Запишите выражение в виде степени двучлена:

а) $(a + b)^2 - 4ab;$

б) $(a - b)^2 + 4ab;$

в) $(x + 2y)^2 - 8xy;$

г) $(x - 3y)^2 + 12xy.$

а) Для того чтобы записать выражение $(a + b)^2 - 4ab$ в виде степени двучлена, необходимо сначала раскрыть скобки, применив формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
$(a + b)^2 - 4ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 4ab$.
Далее, приведем подобные слагаемые:
$a^2 + 2ab - 4ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Полученное выражение является формулой квадрата разности $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$.
Таким образом, $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
Ответ: $(a - b)^2$.

б) Чтобы записать выражение $(a - b)^2 + 4ab$ в виде степени двучлена, раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$(a - b)^2 + 4ab = (a^2 - 2ab + b^2) + 4ab$.
Теперь приведем подобные слагаемые:
$a^2 - 2ab + 4ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Это выражение соответствует формуле квадрата суммы $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.
Следовательно, $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.
Ответ: $(a + b)^2$.

в) Рассмотрим выражение $(x + 2y)^2 - 8xy$. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=2y$.
$(x + 2y)^2 - 8xy = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 2y + (2y)^2) - 8xy = (x^2 + 4xy + 4y^2) - 8xy$.
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 + 4xy - 8xy + 4y^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$.
Полученное выражение можно свернуть по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=2y$.
$x^2 - 4xy + 4y^2 = (x)^2 - 2 \cdot x \cdot (2y) + (2y)^2 = (x - 2y)^2$.
Ответ: $(x - 2y)^2$.

г) Рассмотрим выражение $(x - 3y)^2 + 12xy$. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=3y$.
$(x - 3y)^2 + 12xy = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3y + (3y)^2) + 12xy = (x^2 - 6xy + 9y^2) + 12xy$.
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 6xy + 12xy + 9y^2 = x^2 + 6xy + 9y^2$.
Полученное выражение можно свернуть по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=3y$.
$x^2 + 6xy + 9y^2 = (x)^2 + 2 \cdot x \cdot (3y) + (3y)^2 = (x + 3y)^2$.
Ответ: $(x + 3y)^2$.

Доказываем (444–445).

444. Докажите, что:

a) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел является нечётным числом;

б) разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится на 4;

в) разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится на 8.

а)

Пусть даны два последовательных натуральных числа: $n$ и $n+1$, где $n \in \mathbb{N}$.

Рассмотрим разность их квадратов. По определению, мы вычитаем из квадрата большего числа квадрат меньшего: $$(n+1)^2 - n^2$$

Для упрощения этого выражения можно использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $$(n+1)^2 - n^2 = ((n+1) - n)((n+1) + n)$$

Выполним вычисления в скобках: $$(1) \cdot (2n + 1) = 2n + 1$$

Выражение $2n + 1$ является общей формулой для любого нечётного числа, так как для любого натурального $n$ произведение $2n$ является чётным числом, а прибавление единицы к чётному числу всегда даёт в результате нечётное число.

Таким образом, разность квадратов двух последовательных натуральных чисел является нечётным числом.

Ответ: Доказано.

б)

Пусть даны два последовательных чётных числа. Любое чётное число можно представить в виде $2k$, где $k \in \mathbb{N}$. Тогда два последовательных чётных числа можно записать как $2k$ и $2k+2$.

Найдём разность их квадратов: $$(2k+2)^2 - (2k)^2$$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $$(2k+2)^2 - (2k)^2 = ((2k+2) - 2k)((2k+2) + 2k) = (2)(4k+2)$$

Раскроем скобки и вынесем общий множитель 4: $$8k + 4 = 4(2k + 1)$$

Поскольку полученное выражение представляет собой произведение, где один из множителей равен 4, то всё выражение делится на 4 нацело.

Следовательно, разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится на 4.

Ответ: Доказано.

в)

Пусть даны два последовательных нечётных числа. Любое нечётное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \ge 0$). Тогда два последовательных нечётных числа можно записать как $2k+1$ и $(2k+1)+2 = 2k+3$.

Рассмотрим разность их квадратов: $$(2k+3)^2 - (2k+1)^2$$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $$(2k+3)^2 - (2k+1)^2 = ((2k+3) - (2k+1))((2k+3) + (2k+1))$$

Упростим выражение в каждой скобке: $$(2k+3 - 2k - 1)(2k+3 + 2k + 1) = (2)(4k+4)$$

Из второй скобки можно вынести множитель 4: $$2 \cdot (4(k+1)) = 8(k+1)$$

Так как выражение является произведением числа 8 и целого числа $(k+1)$, оно всегда делится на 8 без остатка.

Следовательно, разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится на 8.

Ответ: Доказано.

445. Докажите, что:

а) если к произведению двух целых последовательных чисел прибавить большее из них, то получится квадрат большего числа; $n(n+1) + (n+1) = (n+1)^2$

б) сумма квадрата разности двух чисел и их учетверённого произведения равна квадрату суммы этих чисел; $(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2$

в) разность квадрата суммы двух чисел и их учетверённого произведения равна квадрату разности этих чисел. $(a+b)^2 - 4ab = (a-b)^2$

а) Обозначим два последовательных целых числа как $n$ и $n+1$. Большее из этих чисел — $n+1$.
Их произведение равно $n \cdot (n+1)$.
Прибавим к произведению большее из чисел: $n(n+1) + (n+1)$.
Преобразуем полученное выражение, вынеся общий множитель $(n+1)$ за скобки:
$n(n+1) + (n+1) = (n+1)(n+1) = (n+1)^2$.
В результате мы получили квадрат большего числа $(n+1)$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

б) Обозначим два произвольных числа как $a$ и $b$.
Квадрат их разности равен $(a-b)^2$.
Их учетверённое произведение равно $4ab$.
Сумма квадрата разности и учетверённого произведения записывается как: $(a-b)^2 + 4ab$.
Квадрат суммы этих чисел равен $(a+b)^2$.
Нам необходимо доказать тождество: $(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2$.
Преобразуем левую часть равенства, используя формулу сокращенного умножения (квадрат разности):
$(a-b)^2 + 4ab = (a^2 - 2ab + b^2) + 4ab$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 - 2ab + 4ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Полученное выражение $a^2 + 2ab + b^2$ является формулой квадрата суммы $(a+b)^2$.
Таким образом, левая часть тождества равна правой: $(a+b)^2 = (a+b)^2$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

в) Обозначим два произвольных числа как $a$ и $b$.
Квадрат их суммы равен $(a+b)^2$.
Их учетверённое произведение равно $4ab$.
Разность квадрата суммы и учетверённого произведения записывается как: $(a+b)^2 - 4ab$.
Квадрат разности этих чисел равен $(a-b)^2$.
Нам необходимо доказать тождество: $(a+b)^2 - 4ab = (a-b)^2$.
Преобразуем левую часть равенства, используя формулу сокращенного умножения (квадрат суммы):
$(a+b)^2 - 4ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 4ab$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + 2ab - 4ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Полученное выражение $a^2 - 2ab + b^2$ является формулой квадрата разности $(a-b)^2$.
Таким образом, левая часть тождества равна правой: $(a-b)^2 = (a-b)^2$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

446. Вычислите:

а) $(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1);$

б) $\frac{(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) + 1}{2^{64}},$

в) $\frac{(3 + 2)(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})(3^{32} + 2^{32}) + 2^{64}}{3^{64}}.$

а) Для вычисления данного произведения воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Обозначим искомое выражение как $P$:
$P = (2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$
Домножим и разделим выражение на $(2 - 1)$. Так как $2 - 1 = 1$, значение выражения не изменится.
$P = (2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$
Теперь последовательно применяем формулу разности квадратов, "сворачивая" выражение:
$(2 - 1)(2 + 1) = 2^2 - 1$
Выражение принимает вид:
$P = (2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$
Далее:
$(2^2 - 1)(2^2 + 1) = (2^2)^2 - 1^2 = 2^4 - 1$
$P = (2^4 - 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$
Продолжая по аналогии:
$(2^4 - 1)(2^4 + 1) = 2^8 - 1$
$(2^8 - 1)(2^8 + 1) = 2^{16} - 1$
$(2^{16} - 1)(2^{16} + 1) = 2^{32} - 1$
И, наконец:
$(2^{32} - 1)(2^{32} + 1) = (2^{32})^2 - 1^2 = 2^{64} - 1$
Таким образом, исходное выражение равно $2^{64} - 1$.
Ответ: $2^{64} - 1$.

б) Рассмотрим выражение: $\frac{(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) + 1}{2^{64}}$.
Произведение в числителе нам уже знакомо из пункта а). Мы вычислили, что:
$(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) = 2^{64} - 1$.
Подставим этот результат в числитель дроби:
Числитель = $(2^{64} - 1) + 1 = 2^{64}$.
Теперь вся дробь принимает вид:
$\frac{2^{64}}{2^{64}} = 1$.
Ответ: $1$.

в) Рассмотрим выражение: $\frac{(3 + 2)(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})(3^{32} + 2^{32}) + 2^{64}}{3^{64}}$.
Для упрощения числителя используем тот же приём, что и в пункте а), с формулой разности квадратов.
Рассмотрим произведение в числителе: $P' = (3 + 2)(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})(3^{32} + 2^{32})$.
Домножим его на $(3 - 2) = 1$:
$P' = (3 - 2)(3 + 2)(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)...(3^{32} + 2^{32})$.
Последовательно применяем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(3 - 2)(3 + 2) = 3^2 - 2^2$.
$P' = (3^2 - 2^2)(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)...(3^{32} + 2^{32})$.
$(3^2 - 2^2)(3^2 + 2^2) = (3^2)^2 - (2^2)^2 = 3^4 - 2^4$.
Продолжая этот процесс, на последнем шаге мы получим:
$(3^{32} - 2^{32})(3^{32} + 2^{32}) = (3^{32})^2 - (2^{32})^2 = 3^{64} - 2^{64}$.
Итак, всё произведение равно $3^{64} - 2^{64}$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение в числитель:
Числитель = $(3^{64} - 2^{64}) + 2^{64} = 3^{64}$.
Таким образом, вся дробь равна:
$\frac{3^{64}}{3^{64}} = 1$.
Ответ: $1$.

447. Доказываем. Задача Ибн Сины. Если число, будучи разделено на 9, даёт остаток 1 или 8, то квадрат этого числа, делённый на 9, даёт остаток 1. Докажите.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим последовательно два случая, указанные в условии задачи.

Случай 1: Число при делении на 9 даёт в остатке 1.

Пусть $N$ — это число, которое удовлетворяет данному условию. По определению деления с остатком, его можно представить в виде: $N = 9k + 1$, где $k$ — некоторое целое число (неполное частное).

Найдём квадрат этого числа, возведя обе части равенства в квадрат: $N^2 = (9k + 1)^2$

Используя формулу сокращённого умножения для квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, раскроем скобки: $N^2 = (9k)^2 + 2 \cdot (9k) \cdot 1 + 1^2 = 81k^2 + 18k + 1$

Теперь преобразуем полученное выражение, вынеся общий множитель 9 за скобки у первых двух слагаемых: $N^2 = 9 \cdot (9k^2) + 9 \cdot (2k) + 1 = 9(9k^2 + 2k) + 1$

Обозначим выражение в скобках $m = 9k^2 + 2k$. Поскольку $k$ является целым числом, то и $m$ будет целым числом. Тогда выражение для $N^2$ можно записать как: $N^2 = 9m + 1$

Данная запись показывает, что при делении $N^2$ на 9 частное будет равно $m$, а остаток — 1. Первая часть утверждения доказана.

Случай 2: Число при делении на 9 даёт в остатке 8.

Пусть теперь число $N$ при делении на 9 даёт в остатке 8. Его можно представить в виде: $N = 9k + 8$, где $k$ — некоторое целое число.

Возведём это число в квадрат: $N^2 = (9k + 8)^2$

Раскроем скобки по формуле квадрата суммы: $N^2 = (9k)^2 + 2 \cdot (9k) \cdot 8 + 8^2 = 81k^2 + 144k + 64$

Чтобы найти остаток от деления $N^2$ на 9, преобразуем это выражение. Заметим, что слагаемые $81k^2$ и $144k$ делятся на 9 нацело (так как $81 = 9 \cdot 9$ и $144 = 9 \cdot 16$). Представим число 64 в виде суммы произведения на 9 и остатка: $64 = 63 + 1 = 9 \cdot 7 + 1$.

Подставим это в выражение для $N^2$: $N^2 = 81k^2 + 144k + (9 \cdot 7 + 1)$

Сгруппируем все слагаемые, кратные 9, и вынесем общий множитель 9 за скобки: $N^2 = (81k^2 + 144k + 63) + 1 = 9(9k^2 + 16k + 7) + 1$

Обозначим выражение в скобках $p = 9k^2 + 16k + 7$. Поскольку $k$ является целым числом, $p$ также будет целым числом. Тогда: $N^2 = 9p + 1$

Эта запись означает, что при делении $N^2$ на 9 также получается остаток 1.

Таким образом, мы доказали утверждение для обоих возможных случаев. Следовательно, если число при делении на 9 даёт остаток 1 или 8, то его квадрат при делении на 9 всегда будет давать остаток 1.

Ответ: Утверждение доказано.