Страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

467. Придумайте примеры на применение формул сокращённого умножения при вычислениях.

Формулы сокращенного умножения позволяют значительно упростить многие арифметические вычисления, сводя их к более простым операциям. Ниже приведены примеры, демонстрирующие применение этих формул на практике.

1. Применение формулы разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Эта формула удобна как для прямого вычисления разности квадратов, так и для умножения чисел, равноудаленных от некоторого "круглого" числа.

Пример 1.1: Вычислить $75^2 - 25^2$.

Решение: Вместо того чтобы возводить каждое число в квадрат по отдельности, что может быть трудоемко, применим формулу разности квадратов. Это позволяет заменить два возведения в степень и одно вычитание на одно вычитание, одно сложение и одно умножение, которое в данном случае будет очень простым.

$75^2 - 25^2 = (75 - 25)(75 + 25) = 50 \cdot 100 = 5000$.

Ответ: $5000$.

Пример 1.2: Вычислить произведение $98 \cdot 102$.

Решение: Заметим, что множители можно представить в виде $(100 - 2)$ и $(100 + 2)$. Это позволяет применить формулу разности квадратов в обратном порядке: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

$98 \cdot 102 = (100 - 2)(100 + 2) = 100^2 - 2^2 = 10000 - 4 = 9996$.

Ответ: $9996$.

2. Применение формулы квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Эта формула эффективна для возведения в квадрат чисел, которые можно легко представить в виде суммы "круглого" числа и небольшого слагаемого.

Пример 2.1: Вычислить $51^2$.

Решение: Представим число $51$ как сумму $50 + 1$. Теперь применим формулу квадрата суммы.

$51^2 = (50 + 1)^2 = 50^2 + 2 \cdot 50 \cdot 1 + 1^2 = 2500 + 100 + 1 = 2601$.

Ответ: $2601$.

3. Применение формулы квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Аналогично квадрату суммы, эта формула удобна для возведения в квадрат чисел, которые можно представить как разность "круглого" числа и небольшого вычитаемого.

Пример 3.1: Вычислить $49^2$.

Решение: Представим число $49$ как разность $50 - 1$ и применим формулу квадрата разности.

$49^2 = (50 - 1)^2 = 50^2 - 2 \cdot 50 \cdot 1 + 1^2 = 2500 - 100 + 1 = 2401$.

Ответ: $2401$.

4. Комбинированное применение формул

Часто формулы сокращенного умножения можно комбинировать для решения более сложных вычислительных задач, например, при упрощении дробей.

Пример 4.1: Упростить и вычислить выражение $\frac{76^2 - 24^2}{58^2 - 42^2}$.

Решение: Применим формулу разности квадратов к числителю и знаменателю дроби отдельно.

Числитель: $76^2 - 24^2 = (76 - 24)(76 + 24) = 52 \cdot 100$.

Знаменатель: $58^2 - 42^2 = (58 - 42)(58 + 42) = 16 \cdot 100$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь и сократим ее:

$\frac{52 \cdot 100}{16 \cdot 100} = \frac{52}{16} = \frac{13 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{13}{4} = 3,25$.

Ответ: $3,25$.

468. Преобразуйте данное целое выражение в произведение многочленов:

a) $(2m + n)(6m + 2n) - (m - 3n)(8n + 16m)$;

б) $(x - 1)(4x - 6y) + (x + 1)(18y - 12x)$;

в) $(2a + 1)(5a - 15) + (30 - 10a)(a - 2)$;

г) $2a(a + 2)^2 - 3b(a + 2)$;

д) $(x - 2)^2(x - 3) + (x - 2)(x - 3)^2$;

е) $3m(m + 2n) - 2n(m + 2n)^2$;

ж) $(p + 3q)^2(p - q) - (p + 3q)(p - q)^2$.

а) $(2m + n)(6m + 2n) - (m - 3n)(8n + 16m)$

Для преобразования выражения в произведение, найдем общие множители. Сначала вынесем числовые множители из некоторых скобок:

$6m + 2n = 2(3m + n)$

$8n + 16m = 8(n + 2m) = 8(2m + n)$

Подставим эти выражения в исходное:

$(2m + n) \cdot 2(3m + n) - (m - 3n) \cdot 8(2m + n)$

Теперь мы видим общий множитель $(2m + n)$, а также общий числовой множитель 2. Вынесем $2(2m + n)$ за скобки:

$2(2m + n) \cdot [(3m + n) - 4(m - 3n)]$

Упростим выражение внутри квадратных скобок:

$3m + n - 4m + 12n = -m + 13n = 13n - m$

В результате получаем:

$2(2m + n)(13n - m)$

Ответ: $2(2m + n)(13n - m)$.

б) $(x - 1)(4x - 6y) + (x + 1)(18y - 12x)$

Вынесем общие множители из скобок:

$4x - 6y = 2(2x - 3y)$

$18y - 12x = 6(3y - 2x) = -6(2x - 3y)$

Подставим преобразованные выражения:

$(x - 1) \cdot 2(2x - 3y) + (x + 1) \cdot [-6(2x - 3y)]$

$2(x - 1)(2x - 3y) - 6(x + 1)(2x - 3y)$

Теперь вынесем общий множитель $2(2x - 3y)$ за скобки:

$2(2x - 3y) \cdot [(x - 1) - 3(x + 1)]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$x - 1 - 3x - 3 = -2x - 4 = -2(x + 2)$

Подставим обратно и перемножим числовые коэффициенты:

$2(2x - 3y) \cdot [-2(x + 2)] = -4(2x - 3y)(x + 2)$

Ответ: $-4(2x - 3y)(x + 2)$.

в) $(2a + 1)(5a - 15) + (30 - 10a)(a - 2)$

Вынесем общие множители из скобок:

$5a - 15 = 5(a - 3)$

$30 - 10a = 10(3 - a) = -10(a - 3)$

Подставим преобразованные выражения:

$(2a + 1) \cdot 5(a - 3) + [-10(a - 3)](a - 2)$

$5(2a + 1)(a - 3) - 10(a - 3)(a - 2)$

Вынесем общий множитель $5(a - 3)$ за скобки:

$5(a - 3) \cdot [(2a + 1) - 2(a - 2)]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$2a + 1 - 2a + 4 = 5$

Подставим обратно и перемножим коэффициенты:

$5(a - 3) \cdot 5 = 25(a - 3)$

Ответ: $25(a - 3)$.

г) $2a(a + 2)^2 - 3b(a + 2)$

В этом выражении есть общий множитель $(a + 2)$. Вынесем его за скобки:

$(a + 2) \cdot [2a(a + 2) - 3b]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$2a^2 + 4a - 3b$

Дальнейшее разложение на множители невозможно.

Ответ: $(a + 2)(2a^2 + 4a - 3b)$.

д) $(x - 2)^2(x - 3) + (x - 2)(x - 3)^2$

Здесь общими множителями являются $(x - 2)$ и $(x - 3)$. Вынесем их произведение $(x - 2)(x - 3)$ за скобки:

$(x - 2)(x - 3) \cdot [(x - 2) + (x - 3)]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$x - 2 + x - 3 = 2x - 5$

В итоге получаем произведение трех множителей.

Ответ: $(x - 2)(x - 3)(2x - 5)$.

е) $3m(m + 2n) - 2n(m + 2n)^2$

Общим множителем является $(m + 2n)$. Вынесем его за скобки:

$(m + 2n) \cdot [3m - 2n(m + 2n)]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$3m - 2n \cdot m - 2n \cdot 2n = 3m - 2mn - 4n^2$

Полученный многочлен не раскладывается на более простые множители.

Ответ: $(m + 2n)(3m - 2mn - 4n^2)$.

ж) $(p + 3q)^2(p - q) - (p + 3q)(p - q)^2$

Общими множителями являются $(p + 3q)$ и $(p - q)$. Вынесем их произведение $(p + 3q)(p - q)$ за скобки:

$(p + 3q)(p - q) \cdot [(p + 3q) - (p - q)]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$p + 3q - p + q = 4q$

Подставим обратно и запишем одночлен в начале выражения.

Ответ: $4q(p + 3q)(p - q)$.

469. Разложите выражение на множители, используя формулы сокращённого умножения:

а) $(a + b)^2 - c^2$;

б) $(a - b)^2 - c^2$;

в) $(x - y)^2 - (x + y)^2$;

г) $(a + b)^2 - (x + y)^2$;

д) $(2x - y)^2 - (3x - 2y)^2$;

е) $(m^2 - 4n)^2 - (m^2 - 2n)^2$;

ж) $(a + b)^2 + 2(a + b) + 1;

з) $(x - 2y)^2 + 4(x - 2y) + 4$;

и) $9a^2 - 6a(a + 1) + (a + 1)^2$;

к) $16m^2 - 8m(3 - m) + (3 - m)^2$.

а) Данное выражение представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
В нашем случае $A = (a + b)$ и $B = c$.
Подставим эти значения в формулу:
$(a + b)^2 - c^2 = ((a + b) - c)((a + b) + c) = (a + b - c)(a + b + c)$.
Ответ: $(a + b - c)(a + b + c)$.

б) Это выражение также является разностью квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Здесь $A = (a - b)$ и $B = c$.
Подставляем в формулу:
$(a - b)^2 - c^2 = ((a - b) - c)((a - b) + c) = (a - b - c)(a - b + c)$.
Ответ: $(a - b - c)(a - b + c)$.

в) Используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
В данном случае $A = (x - y)$ и $B = (x + y)$.
$(x - y)^2 - (x + y)^2 = ((x - y) - (x + y))((x - y) + (x + y))$.
Упростим выражения в каждой из скобок:
$(x - y - x - y)(x - y + x + y) = (-2y)(2x) = -4xy$.
Ответ: $-4xy$.

г) Применяем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = (a + b)$ и $B = (x + y)$.
$(a + b)^2 - (x + y)^2 = ((a + b) - (x + y))((a + b) + (x + y))$.
Раскроем внутренние скобки:
$(a + b - x - y)(a + b + x + y)$.
Ответ: $(a + b - x - y)(a + b + x + y)$.

д) Снова используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Здесь $A = (2x - y)$ и $B = (3x - 2y)$.
$((2x - y) - (3x - 2y))((2x - y) + (3x - 2y))$.
Упростим каждое выражение в скобках:
$(2x - y - 3x + 2y)(2x - y + 3x - 2y) = (-x + y)(5x - 3y) = (y - x)(5x - 3y)$.
Ответ: $(y - x)(5x - 3y)$.

е) Это разность квадратов, где $A = (m^2 - 4n)$ и $B = (m^2 - 2n)$.
Применяем формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:
$((m^2 - 4n) - (m^2 - 2n))((m^2 - 4n) + (m^2 - 2n))$.
Упрощаем выражения в скобках:
$(m^2 - 4n - m^2 + 2n)(m^2 - 4n + m^2 - 2n) = (-2n)(2m^2 - 6n)$.
Вынесем общий множитель 2 из второй скобки:
$-2n \cdot 2(m^2 - 3n) = -4n(m^2 - 3n)$.
Ответ: $-4n(m^2 - 3n)$.

ж) Выражение имеет вид $A^2 + 2AB + B^2$, что соответствует формуле квадрата суммы $(A + B)^2$.
Сделаем замену: пусть $A = (a + b)$. Тогда выражение примет вид $A^2 + 2A + 1$.
Это можно записать как $A^2 + 2 \cdot A \cdot 1 + 1^2$, что является квадратом суммы $(A + 1)^2$.
Теперь вернемся к исходным переменным, подставив $A = (a + b)$:
$((a + b) + 1)^2 = (a + b + 1)^2$.
Ответ: $(a + b + 1)^2$.

з) Данное выражение похоже на формулу квадрата суммы $A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2$.
Пусть $A = (x - 2y)$. Выражение преобразуется к виду $A^2 + 4A + 4$.
Заметим, что $4 = 2^2$ и $4A = 2 \cdot A \cdot 2$. Таким образом, мы имеем $A^2 + 2 \cdot A \cdot 2 + 2^2$, что является полным квадратом $(A + 2)^2$.
Подставим обратно $A = (x - 2y)$:
$((x - 2y) + 2)^2 = (x - 2y + 2)^2$.
Ответ: $(x - 2y + 2)^2$.

и) Выражение соответствует формуле квадрата разности $A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2$.
Определим $A$ и $B$. Первый член $9a^2 = (3a)^2$, поэтому можно предположить, что $A = 3a$.
Последний член $(a + 1)^2$, поэтому $B = (a + 1)$.
Проверим средний член: $-2AB = -2 \cdot (3a) \cdot (a + 1) = -6a(a + 1)$. Это совпадает со средним членом в исходном выражении.
Следовательно, выражение можно свернуть в квадрат разности:
$(A - B)^2 = (3a - (a + 1))^2$.
Упростим выражение в скобках:
$(3a - a - 1)^2 = (2a - 1)^2$.
Ответ: $(2a - 1)^2$.

к) Данное выражение имеет структуру, схожую с квадратом разности $A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2$.
Рассмотрим члены выражения. Первый член $16m^2 = (4m)^2$, что позволяет нам предположить $A = 4m$.
Последний член — это $(3 - m)^2$, так что $B = (3 - m)$.
Теперь проверим, соответствует ли средний член $-2AB$:
$-2AB = -2 \cdot (4m) \cdot (3 - m) = -8m(3 - m)$.
Это в точности совпадает со средним членом в исходном выражении.
Следовательно, мы можем применить формулу квадрата разности:
$(A - B)^2 = (4m - (3 - m))^2$.
Раскроем скобки внутри и упростим:
$(4m - 3 + m)^2 = (5m - 3)^2$.
Ответ: $(5m - 3)^2$.

Представьте целое выражение в виде произведения многочленов (470—471):

470. а) $2a + 2b + ax + bx;$

б) $ax - ay + 3x - 3y;$

в) $m^2 - mn + am - an;$

г) $5a + 5b - ax - bx;$

д) $ax - ya + x - y;$

е) $m^2 - mn - 2n + 2m;$

ж) $a^3 + 5a^2 + 5a + 25;$

з) $x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 9x.$

а) Для выражения $2a + 2b + ax + bx$ применим метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два: $(2a + 2b) + (ax + bx)$. Вынесем общий множитель из каждой группы: $2(a + b) + x(a + b)$. Теперь мы видим общий множитель $(a + b)$, который тоже можно вынести за скобки: $(a + b)(2 + x)$.
Ответ: $(a + b)(2 + x)$

б) В выражении $ax - ay + 3x - 3y$ сгруппируем слагаемые: $(ax - ay) + (3x - 3y)$. Вынесем общий множитель из каждой группы: $a(x - y) + 3(x - y)$. Общий множитель $(x - y)$ выносим за скобки: $(x - y)(a + 3)$.
Ответ: $(x - y)(a + 3)$

в) Для выражения $m^2 - mn + am - an$ сгруппируем слагаемые: $(m^2 - mn) + (am - an)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $m(m - n) + a(m - n)$. Вынесем общий множитель $(m - n)$: $(m - n)(m + a)$.
Ответ: $(m - n)(m + a)$

г) В выражении $5a + 5b - ax - bx$ сгруппируем слагаемые: $(5a + 5b) + (-ax - bx)$. Вынесем общие множители: $5(a + b) - x(a + b)$. Вынесем за скобки общий множитель $(a + b)$: $(a + b)(5 - x)$.
Ответ: $(a + b)(5 - x)$

д) В выражении $ax - ya + x - y$ для удобства изменим порядок слагаемых: $ax + x - ya - y$. Сгруппируем их: $(ax + x) + (-ya - y)$. Вынесем общие множители: $x(a + 1) - y(a + 1)$. Общий множитель $(a + 1)$ вынесем за скобки: $(a + 1)(x - y)$.
Ответ: $(a + 1)(x - y)$

е) В выражении $m^2 - mn - 2n + 2m$ изменим порядок слагаемых для удобства группировки: $m^2 + 2m - mn - 2n$. Сгруппируем их: $(m^2 + 2m) + (-mn - 2n)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $m(m + 2) - n(m + 2)$. Вынесем общий множитель $(m + 2)$: $(m + 2)(m - n)$.
Ответ: $(m + 2)(m - n)$

ж) Для выражения $a^3 + 5a^2 + 5a + 25$ сгруппируем слагаемые: $(a^3 + 5a^2) + (5a + 25)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $a^2(a + 5) + 5(a + 5)$. Вынесем общий множитель $(a + 5)$: $(a + 5)(a^2 + 5)$.
Ответ: $(a + 5)(a^2 + 5)$

з) В выражении $x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 9x$ сначала вынесем общий для всех слагаемых множитель $x$: $x(x^3 - 3x^2 + 3x - 9)$. Теперь разложим на множители выражение в скобках, используя метод группировки: $(x^3 - 3x^2) + (3x - 9)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $x^2(x - 3) + 3(x - 3)$. Общий множитель $(x - 3)$ выносим за скобки: $(x - 3)(x^2 + 3)$. Возвращая множитель $x$, получаем итоговое произведение: $x(x - 3)(x^2 + 3)$.
Ответ: $x(x - 3)(x^2 + 3)$

471. a) $86x - 43y + 2ax - ay;$

б) $10by - 25bx - 6ay + 15ax;$

В) $x^2 + xy - xz - yz;$

Г) $m^4 + 2 - m - 2m^3;$

Д) $5a^2 - 5ab + 5b^2 - 5ab;$

е) $y - y^2 - y^3 + y^4;$

Ж) $b^3 + b^2c - b^2d - bcd;$

З) $x^2y - z^2x + y^2x - yz^2.$

а) Для разложения многочлена $86x - 43y + 2ax - ay$ на множители используем метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(86x - 43y) + (2ax - ay)$
Вынесем общий множитель из каждой скобки. В первой скобке это $43$, во второй $a$:
$43(2x - y) + a(2x - y)$
Теперь мы видим общий множитель $(2x - y)$, который также можно вынести за скобки:
$(2x - y)(43 + a)$
Ответ: $(2x - y)(43 + a)$

б) Разложим многочлен $10by - 25bx - 6ay + 15ax$ на множители. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(10by - 25bx) + (-6ay + 15ax)$
Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой $5b$, из второй $-3a$ (выносим с минусом, чтобы получить одинаковые выражения в скобках):
$5b(2y - 5x) - 3a(2y - 5x)$
Вынесем общий множитель $(2y - 5x)$:
$(2y - 5x)(5b - 3a)$
Ответ: $(2y - 5x)(5b - 3a)$

в) Разложим многочлен $x^2 + xy - xz - yz$ на множители. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(x^2 + xy) + (-xz - yz)$
Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой $x$, из второй $-z$:
$x(x + y) - z(x + y)$
Вынесем общий множитель $(x + y)$:
$(x + y)(x - z)$
Ответ: $(x + y)(x - z)$

г) Разложим многочлен $m^4 + 2 - m - 2m^3$. Для удобства переставим слагаемые в порядке убывания степеней переменной $m$:
$m^4 - 2m^3 - m + 2$
Сгруппируем члены: $(m^4 - 2m^3) + (-m + 2)$.
Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой $m^3$, из второй $-1$:
$m^3(m - 2) - 1(m - 2)$
Вынесем общий множитель $(m - 2)$:
$(m - 2)(m^3 - 1)$
Выражение $m^3 - 1$ является разностью кубов и может быть разложено дальше по формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$(m - 2)(m - 1)(m^2 + m + 1)$
Ответ: $(m - 2)(m - 1)(m^2 + m + 1)$

д) В многочлене $5a^2 - 5ab + 5b^2 - 5ab$ есть подобные слагаемые. Сначала приведем их:
$5a^2 - 10ab + 5b^2$
Теперь вынесем общий числовой множитель $5$ за скобки:
$5(a^2 - 2ab + b^2)$
Выражение в скобках представляет собой формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
Таким образом, получаем:
$5(a - b)^2$
Ответ: $5(a - b)^2$

е) Разложим многочлен $y - y^2 - y^3 + y^4$ на множители. Переставим слагаемые для удобства: $y^4 - y^3 - y^2 + y$. Сгруппируем их попарно:
$(y^4 - y^3) + (-y^2 + y)$
Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой $y^3$, из второй $-y$:
$y^3(y - 1) - y(y - 1)$
Вынесем общий множитель $(y - 1)$:
$(y - 1)(y^3 - y)$
Из второго множителя $(y^3 - y)$ можно вынести $y$:
$(y - 1)y(y^2 - 1)$
Выражение $y^2 - 1$ является разностью квадратов и раскладывается как $(y - 1)(y + 1)$.
Окончательно получаем:
$y(y - 1)(y - 1)(y + 1) = y(y - 1)^2(y + 1)$
Ответ: $y(y - 1)^2(y + 1)$

ж) В многочлене $b^3 + b^2c - b^2d - bcd$ все члены содержат общий множитель $b$. Вынесем его за скобки:
$b(b^2 + bc - bd - cd)$
Теперь разложим на множители выражение в скобках методом группировки:
$b((b^2 + bc) + (-bd - cd))$
Вынесем общие множители из каждой внутренней группы:
$b(b(b + c) - d(b + c))$
Вынесем общий множитель $(b + c)$:
$b((b + c)(b - d))$
Ответ: $b(b + c)(b - d)$

з) Разложим многочлен $x^2y - z^2x + y^2x - yz^2$ на множители. Перегруппируем слагаемые: сгруппируем члены с переменной $x$ и члены с переменной $y$. Удобнее сгруппировать следующим образом: $(x^2y + y^2x)$ и $(-z^2x - yz^2)$.
$(x^2y + y^2x) + (-z^2x - yz^2)$
Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой $xy$, из второй $-z^2$:
$xy(x + y) - z^2(x + y)$
Вынесем общий множитель $(x+y)$:
$(x + y)(xy - z^2)$
Ответ: $(x + y)(xy - z^2)$

472. Разложите многочлен на множители, предварительно представив один из его членов в виде суммы:

а) $x^2 - 3x + 2;$

б) $a^2 - 5a + 4;$

в) $a^2 - 6a + 5;$

г) $x^2 - 3x - 4;$

д) $m^2 - 3mn + 2n^2;$

е) $m^2 - 7mn + 6n^2.$

а) $x^2 - 3x + 2$

Для разложения многочлена на множители представим средний член $-3x$ в виде суммы двух слагаемых. Подберем два числа, сумма которых равна $-3$, а произведение равно $2$. Это числа $-1$ и $-2$. Таким образом, $-3x = -x - 2x$.

$x^2 - 3x + 2 = x^2 - x - 2x + 2$

Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(x^2 - x) + (-2x + 2) = x(x - 1) - 2(x - 1)$

Вынесем общий множитель $(x - 1)$:

$(x - 1)(x - 2)$

Ответ: $(x - 1)(x - 2)$.

б) $a^2 - 5a + 4$

Представим член $-5a$ в виде суммы. Нам нужны два числа, которые в сумме дают $-5$, а в произведении $4$. Это числа $-1$ и $-4$. Итак, $-5a = -a - 4a$.

$a^2 - 5a + 4 = a^2 - a - 4a + 4$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$(a^2 - a) + (-4a + 4) = a(a - 1) - 4(a - 1)$

Вынесем за скобки общий множитель $(a - 1)$:

$(a - 1)(a - 4)$

Ответ: $(a - 1)(a - 4)$.

в) $a^2 - 6a + 5$

Представим $-6a$ в виде суммы. Нужны два числа с суммой $-6$ и произведением $5$. Это $-1$ и $-5$. Значит, $-6a = -a - 5a$.

$a^2 - 6a + 5 = a^2 - a - 5a + 5$

Выполним группировку:

$(a^2 - a) + (-5a + 5) = a(a - 1) - 5(a - 1)$

Вынесем общий множитель $(a - 1)$:

$(a - 1)(a - 5)$

Ответ: $(a - 1)(a - 5)$.

г) $x^2 - 3x - 4$

Представим $-3x$ в виде суммы. Ищем два числа, сумма которых равна $-3$, а произведение $-4$. Это числа $1$ и $-4$. Таким образом, $-3x = x - 4x$.

$x^2 - 3x - 4 = x^2 + x - 4x - 4$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$(x^2 + x) + (-4x - 4) = x(x + 1) - 4(x + 1)$

Вынесем общий множитель $(x + 1)$:

$(x + 1)(x - 4)$

Ответ: $(x + 1)(x - 4)$.

д) $m^2 - 3mn + 2n^2$

Представим средний член $-3mn$ в виде суммы. Коэффициенты при $mn$ должны в сумме давать $-3$, а в произведении $2$. Это $-1$ и $-2$. Итак, $-3mn = -mn - 2mn$.

$m^2 - 3mn + 2n^2 = m^2 - mn - 2mn + 2n^2$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$(m^2 - mn) + (-2mn + 2n^2) = m(m - n) - 2n(m - n)$

Вынесем общий множитель $(m - n)$:

$(m - n)(m - 2n)$

Ответ: $(m - n)(m - 2n)$.

е) $m^2 - 7mn + 6n^2$

Представим член $-7mn$ в виде суммы. Ищем два числа с суммой $-7$ и произведением $6$. Это числа $-1$ и $-6$. Таким образом, $-7mn = -mn - 6mn$.

$m^2 - 7mn + 6n^2 = m^2 - mn - 6mn + 6n^2$

Выполним группировку и вынесем общие множители:

$(m^2 - mn) + (-6mn + 6n^2) = m(m - n) - 6n(m - n)$

Вынесем общий множитель $(m - n)$:

$(m - n)(m - 6n)$

Ответ: $(m - n)(m - 6n)$.

473. Разложите многочлен на множители, предварительно выделив полный квадрат:

а) $a^2 + 8a + 15;$

б) $x^4 + 4b^4;$

в) $x^2 - 2xy - 3y^2;$

г) $m^2 + 7m + 10;$

д) $p^2 - 5p + 6;$

е) $3m^2 + 27m + 54;$

ж) $x^2 + x - 12;$

з) $a^2 + 6a + 8;$

и) $x^2 - x - 12.$

а) $a^2 + 8a + 15$
Для выделения полного квадрата из выражения $a^2 + 8a$ воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В нашем случае $x=a$, а $2xy = 8a$, откуда $2y=8$ и $y=4$.
Следовательно, для полного квадрата нам не хватает слагаемого $y^2 = 4^2 = 16$. Добавим и вычтем 16:
$a^2 + 8a + 15 = (a^2 + 8a + 16) - 16 + 15$
Группируем слагаемые и упрощаем:
$(a+4)^2 - 1$
Теперь применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = (a+4)$ и $B=1$:
$(a+4)^2 - 1^2 = ((a+4)-1)((a+4)+1) = (a+3)(a+5)$
Ответ: $(a+3)(a+5)$

б) $x^4 + 4b^4$
Представим слагаемые в виде квадратов: $(x^2)^2 + (2b^2)^2$.
Чтобы получить полный квадрат суммы, нам нужен удвоенный член $2 \cdot x^2 \cdot 2b^2 = 4x^2b^2$. Добавим и вычтем этот член:
$x^4 + 4b^4 = (x^4 + 4x^2b^2 + 4b^4) - 4x^2b^2$
Сгруппируем первые три слагаемых в полный квадрат:
$(x^2 + 2b^2)^2 - (2xb)^2$
Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = (x^2 + 2b^2)$ и $B=2xb$:
$((x^2 + 2b^2) - 2xb)((x^2 + 2b^2) + 2xb)$
Запишем в стандартном виде:
$(x^2 - 2xb + 2b^2)(x^2 + 2xb + 2b^2)$
Ответ: $(x^2 - 2xb + 2b^2)(x^2 + 2xb + 2b^2)$

в) $x^2 - 2xy - 3y^2$
Рассмотрим первые два слагаемых $x^2 - 2xy$. Это начало формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$, $b=y$. Добавим и вычтем $y^2$:
$x^2 - 2xy - 3y^2 = (x^2 - 2xy + y^2) - y^2 - 3y^2$
Группируем и упрощаем:
$(x-y)^2 - 4y^2$
Теперь это разность квадратов $(x-y)^2 - (2y)^2$. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:
$((x-y) - 2y)((x-y) + 2y)$
Упростим:
$(x - 3y)(x + y)$
Ответ: $(x - 3y)(x + y)$

г) $m^2 + 7m + 10$
Для выделения полного квадрата из $m^2 + 7m$, определим второй член. $2b=7$, значит $b = \frac{7}{2}$. Нам нужно слагаемое $b^2 = (\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$.
Добавим и вычтем $\frac{49}{4}$:
$m^2 + 7m + 10 = (m^2 + 7m + \frac{49}{4}) - \frac{49}{4} + 10$
Группируем и упрощаем:
$(m + \frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4} + \frac{40}{4} = (m + \frac{7}{2})^2 - \frac{9}{4}$
Применяем формулу разности квадратов, где $A = (m + \frac{7}{2})$ и $B = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$:
$((m + \frac{7}{2}) - \frac{3}{2})((m + \frac{7}{2}) + \frac{3}{2})$
Упрощаем:
$(m + \frac{4}{2})(m + \frac{10}{2}) = (m+2)(m+5)$
Ответ: $(m+2)(m+5)$

д) $p^2 - 5p + 6$
Выделяем полный квадрат из $p^2 - 5p$. $2b=5$, значит $b = \frac{5}{2}$. Нам нужно слагаемое $b^2 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$.
Добавляем и вычитаем $\frac{25}{4}$:
$p^2 - 5p + 6 = (p^2 - 5p + \frac{25}{4}) - \frac{25}{4} + 6$
Группируем и упрощаем:
$(p - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + \frac{24}{4} = (p - \frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}$
Применяем формулу разности квадратов:
$((p - \frac{5}{2}) - \frac{1}{2})((p - \frac{5}{2}) + \frac{1}{2})$
Упрощаем:
$(p - \frac{6}{2})(p - \frac{4}{2}) = (p-3)(p-2)$
Ответ: $(p-2)(p-3)$

е) $3m^2 + 27m + 54$
Сначала вынесем общий множитель 3 за скобки:
$3(m^2 + 9m + 18)$
Теперь выделим полный квадрат в выражении $m^2 + 9m + 18$. Для $m^2+9m$ второй член $b = \frac{9}{2}$, а $b^2 = \frac{81}{4}$.
$3((m^2 + 9m + \frac{81}{4}) - \frac{81}{4} + 18) = 3((m + \frac{9}{2})^2 - \frac{81}{4} + \frac{72}{4})$
Упрощаем:
$3((m + \frac{9}{2})^2 - \frac{9}{4})$
Применяем формулу разности квадратов:
$3((m + \frac{9}{2} - \frac{3}{2})(m + \frac{9}{2} + \frac{3}{2}))$
$3(m + \frac{6}{2})(m + \frac{12}{2}) = 3(m+3)(m+6)$
Ответ: $3(m+3)(m+6)$

ж) $x^2 + x - 12$
Выделяем полный квадрат из $x^2 + x$. Второй член $b = \frac{1}{2}$, $b^2 = \frac{1}{4}$.
$x^2 + x - 12 = (x^2 + x + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} - 12$
$(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - \frac{48}{4} = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{49}{4}$
Применяем формулу разности квадратов:
$((x + \frac{1}{2}) - \frac{7}{2})((x + \frac{1}{2}) + \frac{7}{2})$
$(x - \frac{6}{2})(x + \frac{8}{2}) = (x-3)(x+4)$
Ответ: $(x-3)(x+4)$

з) $a^2 + 6a + 8$
Выделяем полный квадрат из $a^2 + 6a$. Второй член $b = \frac{6}{2} = 3$, $b^2=9$.
$a^2 + 6a + 8 = (a^2 + 6a + 9) - 9 + 8$
$(a+3)^2 - 1$
Применяем формулу разности квадратов:
$(a+3-1)(a+3+1) = (a+2)(a+4)$
Ответ: $(a+2)(a+4)$

и) $x^2 - x - 12$
Выделяем полный квадрат из $x^2 - x$. Второй член $b = \frac{1}{2}$, $b^2 = \frac{1}{4}$.
$x^2 - x - 12 = (x^2 - x + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} - 12$
$(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - \frac{48}{4} = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{49}{4}$
Применяем формулу разности квадратов:
$((x - \frac{1}{2}) - \frac{7}{2})((x - \frac{1}{2}) + \frac{7}{2})$
$(x - \frac{8}{2})(x + \frac{6}{2}) = (x-4)(x+3)$
Ответ: $(x-4)(x+3)$

474. Верно ли выполнено разложение многочлена на множители:

а) $a^3 - 8 + 6a^2 - 12a = (a^2 + 8a + 4)(a - 2);

б) $x^2 + 2xy + y^2 - xc - yc = (x + y - c)(x + y)?

а) Чтобы проверить, верно ли выполнено разложение $a^3 - 8 + 6a^2 - 12a = (a^2 + 8a + 4)(a - 2)$, преобразуем левую часть равенства, разложив ее на множители.
Сгруппируем слагаемые:
$a^3 - 8 + 6a^2 - 12a = (a^3 - 8) + (6a^2 - 12a)$
Первую группу $(a^3 - 8)$ разложим по формуле разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:
$a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$
Во второй группе $(6a^2 - 12a)$ вынесем за скобки общий множитель $6a$:
$6a^2 - 12a = 6a(a - 2)$
Теперь подставим полученные выражения обратно:
$(a - 2)(a^2 + 2a + 4) + 6a(a - 2)$
Вынесем общий множитель $(a - 2)$ за скобки:
$(a - 2)((a^2 + 2a + 4) + 6a)$
Приведем подобные слагаемые во второй скобке:
$(a - 2)(a^2 + 8a + 4)$
Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства. Следовательно, разложение выполнено верно.
Ответ: верно.

б) Чтобы проверить, верно ли выполнено разложение $x^2 + 2xy + y^2 - xc - yc = (x + y - c)(x + y)$, преобразуем левую часть равенства.
Сгруппируем слагаемые:
$x^2 + 2xy + y^2 - xc - yc = (x^2 + 2xy + y^2) - (xc + yc)$
Первая группа $(x^2 + 2xy + y^2)$ является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$
Во второй группе $-(xc + yc)$ вынесем за скобки общий множитель $-c$:
$-(xc + yc) = -c(x + y)$
Подставим полученные выражения обратно:
$(x + y)^2 - c(x + y)$
Вынесем общий множитель $(x + y)$ за скобки:
$(x + y)((x + y) - c) = (x + y)(x + y - c)$
Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства (с точностью до перестановки множителей). Следовательно, разложение выполнено верно.
Ответ: верно.

475. Разложите на множители многочлен:

a) $ab + cb + ad + cd;$

б) $a^2 - 2ab + b^2 - c^2;$

В) $a^4 - 16b^4;$

Г) $a^2 + 2ab + ac + b^2 + bc;$

Д) $9y^2 - 6y + 1 - x^2;$

е) $x^4 + 4x^2 - y^2 + 6y - 5.$

а) $ab + cb + ad + cd$
Для разложения на множители сгруппируем слагаемые: $(ab + cb) + (ad + cd)$.
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $b$, а во второй — общий множитель $d$: $b(a + c) + d(a + c)$.
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a + c)$: $(a + c)(b + d)$.
Ответ: $(a + c)(b + d)$

б) $a^2 - 2ab + b^2 - c^2$
Сгруппируем первые три слагаемых. Они представляют собой формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$(a^2 - 2ab + b^2) - c^2 = (a - b)^2 - c^2$.
Получившееся выражение является разностью квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Применим эту формулу:
$(a - b)^2 - c^2 = ((a - b) - c)((a - b) + c)$.
Раскроем внутренние скобки и получим окончательный результат: $(a - b - c)(a - b + c)$.
Ответ: $(a - b - c)(a - b + c)$

в) $a^4 - 16b^4$
Данное выражение является разностью квадратов, так как $a^4 = (a^2)^2$ и $16b^4 = (4b^2)^2$.
Получаем: $(a^2)^2 - (4b^2)^2$.
Применяем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $(a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2)$.
Обратим внимание, что первый множитель $(a^2 - 4b^2)$ также является разностью квадратов: $a^2 - (2b)^2$.
Разложим его: $(a - 2b)(a + 2b)$.
Таким образом, окончательное разложение имеет вид: $(a - 2b)(a + 2b)(a^2 + 4b^2)$.
Ответ: $(a - 2b)(a + 2b)(a^2 + 4b^2)$

г) $a^2 + 2ab + ac + b^2 + bc$
Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить известные формулы: $(a^2 + 2ab + b^2) + (ac + bc)$.
Первая группа слагаемых представляет собой квадрат суммы: $(a + b)^2$.
Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $c$: $c(a + b)$.
Выражение принимает вид: $(a + b)^2 + c(a + b)$.
Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки: $(a + b)((a + b) + c)$.
Упростим выражение в правых скобках: $(a + b)(a + b + c)$.
Ответ: $(a + b)(a + b + c)$

д) $9y^2 - 6y + 1 - x^2$
Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют формулу квадрата разности: $(9y^2 - 6y + 1) - x^2$.
Так как $9y^2 - 6y + 1 = (3y)^2 - 2 \cdot 3y \cdot 1 + 1^2 = (3y - 1)^2$.
Выражение принимает вид разности квадратов: $(3y - 1)^2 - x^2$.
Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$: $((3y - 1) - x)((3y - 1) + x)$.
Раскроем внутренние скобки: $(3y - 1 - x)(3y - 1 + x)$.
Ответ: $(3y - x - 1)(3y + x - 1)$

е) $x^4 + 4x^2 - y^2 + 6y - 5$
Для разложения этого многочлена применим метод выделения полного квадрата.
Представим свободный член $-5$ в виде суммы $+4 - 9$: $x^4 + 4x^2 + 4 - 9 - y^2 + 6y$.
Теперь сгруппируем слагаемые: $(x^4 + 4x^2 + 4) - (y^2 - 6y + 9)$.
Первая скобка представляет собой полный квадрат: $x^4 + 4x^2 + 4 = (x^2 + 2)^2$.
Вторая скобка также является полным квадратом: $y^2 - 6y + 9 = (y - 3)^2$.
Получаем выражение в виде разности квадратов: $(x^2 + 2)^2 - (y - 3)^2$.
Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$: $((x^2 + 2) - (y - 3))((x^2 + 2) + (y - 3))$.
Раскроем внутренние скобки и упростим: $(x^2 + 2 - y + 3)(x^2 + 2 + y - 3) = (x^2 - y + 5)(x^2 + y - 1)$.
Ответ: $(x^2 - y + 5)(x^2 + y - 1)$