Номер 467, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.10. Разложение многочлена на множители. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 467, страница 123.

Условие.

467. Придумайте примеры на применение формул сокращённого умножения при вычислениях.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Формулы сокращенного умножения позволяют значительно упростить многие арифметические вычисления, сводя их к более простым операциям. Ниже приведены примеры, демонстрирующие применение этих формул на практике.

1. Применение формулы разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Эта формула удобна как для прямого вычисления разности квадратов, так и для умножения чисел, равноудаленных от некоторого "круглого" числа.

Пример 1.1: Вычислить $75^2 - 25^2$.

Решение: Вместо того чтобы возводить каждое число в квадрат по отдельности, что может быть трудоемко, применим формулу разности квадратов. Это позволяет заменить два возведения в степень и одно вычитание на одно вычитание, одно сложение и одно умножение, которое в данном случае будет очень простым.

$75^2 - 25^2 = (75 - 25)(75 + 25) = 50 \cdot 100 = 5000$.

Ответ: $5000$.

Пример 1.2: Вычислить произведение $98 \cdot 102$.

Решение: Заметим, что множители можно представить в виде $(100 - 2)$ и $(100 + 2)$. Это позволяет применить формулу разности квадратов в обратном порядке: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

$98 \cdot 102 = (100 - 2)(100 + 2) = 100^2 - 2^2 = 10000 - 4 = 9996$.

Ответ: $9996$.

2. Применение формулы квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Эта формула эффективна для возведения в квадрат чисел, которые можно легко представить в виде суммы "круглого" числа и небольшого слагаемого.

Пример 2.1: Вычислить $51^2$.

Решение: Представим число $51$ как сумму $50 + 1$. Теперь применим формулу квадрата суммы.

$51^2 = (50 + 1)^2 = 50^2 + 2 \cdot 50 \cdot 1 + 1^2 = 2500 + 100 + 1 = 2601$.

Ответ: $2601$.

3. Применение формулы квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Аналогично квадрату суммы, эта формула удобна для возведения в квадрат чисел, которые можно представить как разность "круглого" числа и небольшого вычитаемого.

Пример 3.1: Вычислить $49^2$.

Решение: Представим число $49$ как разность $50 - 1$ и применим формулу квадрата разности.

$49^2 = (50 - 1)^2 = 50^2 - 2 \cdot 50 \cdot 1 + 1^2 = 2500 - 100 + 1 = 2401$.

Ответ: $2401$.

4. Комбинированное применение формул

Часто формулы сокращенного умножения можно комбинировать для решения более сложных вычислительных задач, например, при упрощении дробей.

Пример 4.1: Упростить и вычислить выражение $\frac{76^2 - 24^2}{58^2 - 42^2}$.

Решение: Применим формулу разности квадратов к числителю и знаменателю дроби отдельно.

Числитель: $76^2 - 24^2 = (76 - 24)(76 + 24) = 52 \cdot 100$.

Знаменатель: $58^2 - 42^2 = (58 - 42)(58 + 42) = 16 \cdot 100$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь и сократим ее:

$\frac{52 \cdot 100}{16 \cdot 100} = \frac{52}{16} = \frac{13 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{13}{4} = 3,25$.

Ответ: $3,25$.