Номер 465, страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.10. Разложение многочлена на множители. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 465, страница 122.

Условие.

465. а) $a^3 - 27$;

б) $27 + 8x^3$;

В) $8m^3 - n^3$;

г) $1 + y^6$;

д) $x^9 - 125$;

е) $64a^3 + b^6$;

ж) $\frac{1}{8} - m^{12}$;

з) $\frac{8}{27} + n^3$;

И) $0,125 - 27x^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Для разложения на множители выражения $a^3 - 27$ используем формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
Представим выражение в виде разности кубов: $a^3 - 27 = a^3 - 3^3$.
В данном случае $A = a$ и $B = 3$.
Подставляем значения в формулу: $a^3 - 3^3 = (a - 3)(a^2 + a \cdot 3 + 3^2) = (a - 3)(a^2 + 3a + 9)$.
Ответ: $(a - 3)(a^2 + 3a + 9)$.

б) Для разложения на множители выражения $27 + 8x^3$ используем формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
Представим выражение в виде суммы кубов: $27 + 8x^3 = 3^3 + (2x)^3$.
Здесь $A = 3$ и $B = 2x$.
Подставляем значения в формулу: $3^3 + (2x)^3 = (3 + 2x)(3^2 - 3 \cdot 2x + (2x)^2) = (3 + 2x)(9 - 6x + 4x^2)$.
Ответ: $(3 + 2x)(9 - 6x + 4x^2)$.

в) Для разложения на множители выражения $8m^3 - n^3$ используем формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
Представим выражение в виде разности кубов: $8m^3 - n^3 = (2m)^3 - n^3$.
Здесь $A = 2m$ и $B = n$.
Подставляем значения в формулу: $(2m)^3 - n^3 = (2m - n)((2m)^2 + 2m \cdot n + n^2) = (2m - n)(4m^2 + 2mn + n^2)$.
Ответ: $(2m - n)(4m^2 + 2mn + n^2)$.

г) Для разложения на множители выражения $1 + y^6$ используем формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
Представим $y^6$ как $(y^2)^3$. Тогда выражение примет вид: $1 + y^6 = 1^3 + (y^2)^3$.
Здесь $A = 1$ и $B = y^2$.
Подставляем значения в формулу: $1^3 + (y^2)^3 = (1 + y^2)(1^2 - 1 \cdot y^2 + (y^2)^2) = (1 + y^2)(1 - y^2 + y^4)$.
Ответ: $(1 + y^2)(1 - y^2 + y^4)$.

д) Для разложения на множители выражения $x^9 - 125$ используем формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
Представим выражение в виде разности кубов: $x^9 - 125 = (x^3)^3 - 5^3$.
Здесь $A = x^3$ и $B = 5$.
Подставляем значения в формулу: $(x^3)^3 - 5^3 = (x^3 - 5)((x^3)^2 + x^3 \cdot 5 + 5^2) = (x^3 - 5)(x^6 + 5x^3 + 25)$.
Ответ: $(x^3 - 5)(x^6 + 5x^3 + 25)$.

е) Для разложения на множители выражения $64a^3 + b^6$ используем формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
Представим выражение в виде суммы кубов: $64a^3 + b^6 = (4a)^3 + (b^2)^3$.
Здесь $A = 4a$ и $B = b^2$.
Подставляем значения в формулу: $(4a)^3 + (b^2)^3 = (4a + b^2)((4a)^2 - 4a \cdot b^2 + (b^2)^2) = (4a + b^2)(16a^2 - 4ab^2 + b^4)$.
Ответ: $(4a + b^2)(16a^2 - 4ab^2 + b^4)$.

ж) Для разложения на множители выражения $\frac{1}{8} - m^{12}$ используем формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
Представим выражение в виде разности кубов: $\frac{1}{8} - m^{12} = (\frac{1}{2})^3 - (m^4)^3$.
Здесь $A = \frac{1}{2}$ и $B = m^4$.
Подставляем значения в формулу: $(\frac{1}{2})^3 - (m^4)^3 = (\frac{1}{2} - m^4)((\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} \cdot m^4 + (m^4)^2) = (\frac{1}{2} - m^4)(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}m^4 + m^8)$.
Ответ: $(\frac{1}{2} - m^4)(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}m^4 + m^8)$.

з) Для разложения на множители выражения $\frac{8}{27} + n^3$ используем формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
Представим выражение в виде суммы кубов: $\frac{8}{27} + n^3 = (\frac{2}{3})^3 + n^3$.
Здесь $A = \frac{2}{3}$ и $B = n$.
Подставляем значения в формулу: $(\frac{2}{3})^3 + n^3 = (\frac{2}{3} + n)((\frac{2}{3})^2 - \frac{2}{3} \cdot n + n^2) = (\frac{2}{3} + n)(\frac{4}{9} - \frac{2}{3}n + n^2)$.
Ответ: $(\frac{2}{3} + n)(\frac{4}{9} - \frac{2}{3}n + n^2)$.

и) Для разложения на множители выражения $0,125 - 27x^3$ используем формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
Представим выражение в виде разности кубов: $0,125 - 27x^3 = 0,5^3 - (3x)^3$.
Здесь $A = 0,5$ и $B = 3x$.
Подставляем значения в формулу: $0,5^3 - (3x)^3 = (0,5 - 3x)(0,5^2 + 0,5 \cdot 3x + (3x)^2) = (0,5 - 3x)(0,25 + 1,5x + 9x^2)$.
Ответ: $(0,5 - 3x)(0,25 + 1,5x + 9x^2)$.