Номер 464, страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.10. Разложение многочлена на множители. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 464, страница 122.

Условие.

464. а) $4x^2 - 4x + 1;$

б) $9a^2 + 6a + 1;$

в) $-m^2 - 2m - 1;$

г) $6n - n^2 - 9;$

д) $x^4 - 2x^2y + y^2;$

е) $36a^4 - 12a^2b^2 + b^4;$

ж) $\frac{1}{4}m^4 - m^2n^3 + n^6;$

з) $0.01a^6 + 25b^4 - a^3b^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Представим данный трехчлен в виде квадрата разности, используя формулу сокращенного умножения $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. Первый член выражения $4x^2$ является квадратом от $2x$, то есть $a = 2x$. Третий член $1$ является квадратом от $1$, то есть $b = 1$. Проверим, соответствует ли средний член $-4x$ удвоенному произведению $2ab$. $2 \cdot (2x) \cdot 1 = 4x$. Таким образом, выражение можно записать как: $4x^2 - 4x + 1 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = (2x - 1)^2$.

Ответ: $(2x - 1)^2$.

б)

Представим данный трехчлен в виде квадрата суммы, используя формулу сокращенного умножения $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$. Первый член $9a^2$ является квадратом от $3a$, то есть $a = 3a$. Третий член $1$ является квадратом от $1$, то есть $b = 1$. Проверим средний член $6a$: $2 \cdot (3a) \cdot 1 = 6a$. Выражение полностью соответствует формуле: $9a^2 + 6a + 1 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 1 + 1^2 = (3a + 1)^2$.

Ответ: $(3a + 1)^2$.

в)

Сначала вынесем знак минус за скобки: $-m^2 - 2m - 1 = -(m^2 + 2m + 1)$. Теперь преобразуем выражение в скобках $m^2 + 2m + 1$ по формуле квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$. Здесь $a = m$ и $b = 1$. Средний член $2m = 2 \cdot m \cdot 1$. Таким образом, $m^2 + 2m + 1 = (m + 1)^2$. Следовательно, исходное выражение равно: $-(m^2 + 2m + 1) = -(m + 1)^2$.

Ответ: $-(m + 1)^2$.

г)

Перегруппируем члены многочлена для удобства и вынесем минус за скобки: $6n - n^2 - 9 = -n^2 + 6n - 9 = -(n^2 - 6n + 9)$. Выражение в скобках $n^2 - 6n + 9$ является полным квадратом разности по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. Здесь $a = n$ и $b = 3$. Средний член $-6n = -2 \cdot n \cdot 3$. Значит, $n^2 - 6n + 9 = (n - 3)^2$. Итоговое выражение: $-(n^2 - 6n + 9) = -(n - 3)^2$.

Ответ: $-(n - 3)^2$.

д)

Используем формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. В выражении $x^4 - 2x^2y^2 + y^4$ первый член $x^4$ можно представить как $(x^2)^2$, то есть $a = x^2$. Третий член $y^4$ можно представить как $(y^2)^2$, то есть $b = y^2$. Проверим средний член: $-2 \cdot (x^2) \cdot (y^2) = -2x^2y^2$. Выражение соответствует формуле: $x^4 - 2x^2y^2 + y^4 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot y^2 + (y^2)^2 = (x^2 - y^2)^2$.

Ответ: $(x^2 - y^2)^2$.

е)

Применим формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. В выражении $36a^4 - 12a^2b^2 + b^4$ первый член $36a^4 = (6a^2)^2$, значит $a = 6a^2$. Третий член $b^4 = (b^2)^2$, значит $b = b^2$. Проверим средний член: $-2 \cdot (6a^2) \cdot (b^2) = -12a^2b^2$. Таким образом, преобразование выглядит так: $36a^4 - 12a^2b^2 + b^4 = (6a^2)^2 - 2 \cdot 6a^2 \cdot b^2 + (b^2)^2 = (6a^2 - b^2)^2$.

Ответ: $(6a^2 - b^2)^2$.

ж)

Используем формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. В выражении $\frac{1}{4}m^4 - m^2n^3 + n^6$ первый член $\frac{1}{4}m^4 = (\frac{1}{2}m^2)^2$, значит $a = \frac{1}{2}m^2$. Третий член $n^6 = (n^3)^2$, значит $b = n^3$. Проверим средний член: $-2 \cdot (\frac{1}{2}m^2) \cdot (n^3) = -m^2n^3$. Следовательно, выражение является полным квадратом: $\frac{1}{4}m^4 - m^2n^3 + n^6 = (\frac{1}{2}m^2)^2 - 2 \cdot \frac{1}{2}m^2 \cdot n^3 + (n^3)^2 = (\frac{1}{2}m^2 - n^3)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{2}m^2 - n^3)^2$.

з)

Переставим члены многочлена, чтобы получить стандартный вид: $0,01a^6 - a^3b^2 + 25b^4$. Применим формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. Первый член $0,01a^6 = (0,1a^3)^2$, значит $a = 0,1a^3$. Третий член $25b^4 = (5b^2)^2$, значит $b = 5b^2$. Проверим средний член: $-2 \cdot (0,1a^3) \cdot (5b^2) = -2 \cdot 0,5 a^3b^2 = -a^3b^2$. Выражение полностью соответствует формуле: $0,01a^6 - a^3b^2 + 25b^4 = (0,1a^3)^2 - 2 \cdot 0,1a^3 \cdot 5b^2 + (5b^2)^2 = (0,1a^3 - 5b^2)^2$.

Ответ: $(0,1a^3 - 5b^2)^2$.