Номер 457, страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.10. Разложение многочлена на множители. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 457, страница 121.

Условие.

457. Вместо букв C и D подберите одночлены так, чтобы выполнялось равенство:

а) $3a^2b - 9a^3b^5 = C(1 - 3ab^4)$;

б) $14m^3x^2 + 21m^5x^4 = C(2 + 3m^2x^2)$;

в) $6x^2y^3 - D = 3x^2y(C - 5x^4y^3)$;

г) $4m^3n^2 + C = D(2m^2 + 3n^4)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) В равенстве $3a^2b - 9a^3b^5 = C(1 - 3ab^4)$ необходимо найти одночлен $C$. Для этого вынесем общий множитель за скобки в левой части выражения. Наибольший общий делитель (НОД) для одночленов $3a^2b$ и $9a^3b^5$ является $3a^2b$.
Выполним вынесение за скобки: $3a^2b - 9a^3b^5 = 3a^2b(\frac{3a^2b}{3a^2b} - \frac{9a^3b^5}{3a^2b}) = 3a^2b(1 - 3ab^4)$.
Сравнивая полученное выражение с правой частью исходного равенства $C(1 - 3ab^4)$, видим, что $C$ равно общему множителю, который мы вынесли.
Ответ: $C = 3a^2b$.

б) В равенстве $14m^3x^2 + 21m^5x^4 = C(2 + 3m^2x^2)$ найдем $C$, вынеся общий множитель из левой части. НОД для одночленов $14m^3x^2$ и $21m^5x^4$ равен $7m^3x^2$.
Вынесем его за скобки: $14m^3x^2 + 21m^5x^4 = 7m^3x^2(\frac{14m^3x^2}{7m^3x^2} + \frac{21m^5x^4}{7m^3x^2}) = 7m^3x^2(2 + 3m^2x^2)$.
Сравнив результат с правой частью равенства $C(2 + 3m^2x^2)$, получаем искомый одночлен.
Ответ: $C = 7m^3x^2$.

в) Рассмотрим равенство $6x^2y^3 - D = 3x^2y(C - 5x^4y^3)$. Сначала раскроем скобки в правой части: $3x^2y(C - 5x^4y^3) = 3x^2y \cdot C - 3x^2y \cdot 5x^4y^3 = 3x^2yC - 15x^6y^4$.
Теперь равенство имеет вид: $6x^2y^3 - D = 3x^2yC - 15x^6y^4$.
Приравнивая соответствующие члены в левой и правой частях уравнения, получаем систему:
1) $6x^2y^3 = 3x^2yC$
2) $-D = -15x^6y^4$
Из первого равенства находим $C$: $C = \frac{6x^2y^3}{3x^2y} = 2y^2$.
Из второго равенства находим $D$: $D = 15x^6y^4$.
Ответ: $C = 2y^2$, $D = 15x^6y^4$.

г) В равенстве $4m^3n^2 + C = D(2m^2 + 3n^4)$ раскроем скобки справа: $D(2m^2 + 3n^4) = 2m^2D + 3n^4D$.
Приравняем левую и правую части: $4m^3n^2 + C = 2m^2D + 3n^4D$.
Сопоставляя слагаемые, получаем два уравнения:
1) $4m^3n^2 = 2m^2D$
2) $C = 3n^4D$
Из первого уравнения выражаем $D$: $D = \frac{4m^3n^2}{2m^2} = 2mn^2$.
Подставляем найденное значение $D$ во второе уравнение, чтобы найти $C$: $C = 3n^4(2mn^2) = 6mn^6$.
Ответ: $C = 6mn^6$, $D = 2mn^2$.