Номер 455, страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.10. Разложение многочлена на множители. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 455, страница 121.

Условие.

455. Разложите многочлен на множители:

а) $16a^2bc^3 - 12ac^3 + 28b^2c^2 - 8abc^5;$

б) $12x^2yz + 18xy^3z^2 - 27x^5z^6 - 24xy^4z^4;$

в) $0,25m^2n^2k - 0,45m^3nk^2 - 1,5mn^3k^2 - 0,05m^5n^3k;$

г) $1,42x^2y^4z^3 - 2\frac{1}{2}xy^3z^2 - 0,2x^3y^2z + 3\frac{1}{3}xy^3z^2;$

д) $\frac{1}{3}a^2bx^3 - 1\frac{1}{2}ab^2x^2 + 0,3a^2x^3 - 1,1a^5b^3x^4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $16a^2bc^3 - 12ac^3 + 28b^2c^2 - 8abc^5$

Для разложения многочлена на множители найдем наибольший общий делитель (НОД) для всех его членов.
Сначала найдем НОД коэффициентов: НОД(16, 12, 28, 8) = 4.
Затем найдем общие переменные в наименьшей степени:
Для переменной a наименьшая степень в многочлене – 0 (в члене $28b^2c^2$), поэтому a не является общим множителем.
Для переменной b наименьшая степень в многочлене – 0 (в члене $-12ac^3$), поэтому b не является общим множителем.
Для переменной c наименьшие степени в членах: $c^3, c^3, c^2, c^5$. Наименьшая степень – $c^2$.
Таким образом, общий множитель для всего многочлена – это $4c^2$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$16a^2bc^3 - 12ac^3 + 28b^2c^2 - 8abc^5 = 4c^2(\frac{16a^2bc^3}{4c^2} - \frac{12ac^3}{4c^2} + \frac{28b^2c^2}{4c^2} - \frac{8abc^5}{4c^2}) = 4c^2(4a^2bc - 3ac + 7b^2 - 2abc^3)$.

Ответ: $4c^2(4a^2bc - 3ac + 7b^2 - 2abc^3)$

б) $12x^2yz + 18xy^3z^2 - 27x^5z^6 - 24xy^4z^4$

Найдем НОД всех членов многочлена.
НОД коэффициентов: НОД(12, 18, 27, 24) = 3.
Общие переменные в наименьшей степени:
Для x: наименьшая степень $x^1$.
Для y: наименьшая степень $y^0$ (в члене $-27x^5z^6$), поэтому y не является общим множителем.
Для z: наименьшая степень $z^1$.
Общий множитель – это $3xz$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$12x^2yz + 18xy^3z^2 - 27x^5z^6 - 24xy^4z^4 = 3xz(\frac{12x^2yz}{3xz} + \frac{18xy^3z^2}{3xz} - \frac{27x^5z^6}{3xz} - \frac{24xy^4z^4}{3xz}) = 3xz(4xy + 6y^3z - 9x^4z^5 - 8y^4z^3)$.

Ответ: $3xz(4xy + 6y^3z - 9x^4z^5 - 8y^4z^3)$

в) $0,25m^2n^2k - 0,45m^3nk^2 - 1,5mn^3k^2 - 0,05m^5n^3k$

Найдем НОД всех членов многочлена.
НОД коэффициентов: НОД(0.25, 0.45, 1.5, 0.05). Для удобства можно работать с целыми числами, умножив все на 100: НОД(25, 45, 150, 5) = 5. Возвращаясь к десятичным дробям, НОД равен 0,05.
Общие переменные в наименьшей степени:
Для m: наименьшая степень $m^1$.
Для n: наименьшая степень $n^1$.
Для k: наименьшая степень $k^1$.
Общий множитель – это $0.05mnk$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$0.05mnk(\frac{0.25m^2n^2k}{0.05mnk} - \frac{0.45m^3nk^2}{0.05mnk} - \frac{1.5mn^3k^2}{0.05mnk} - \frac{0.05m^5n^3k}{0.05mnk}) = 0.05mnk(5mn - 9m^2k - 30n^2k - m^4n^2)$.

Ответ: $0.05mnk(5mn - 9m^2k - 30n^2k - m^4n^2)$

г) $1,42x^2y^4z^3 - 2\frac{1}{2}xy^3z^2 - 0,2x^3y^2z + 3\frac{1}{3}xy^3z^2$

Сначала упростим выражение, приведя подобные слагаемые: $-2\frac{1}{2}xy^3z^2$ и $3\frac{1}{3}xy^3z^2$.
Переведем коэффициенты в обыкновенные дроби: $-2\frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$ и $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.
Сумма коэффициентов: $-\frac{5}{2} + \frac{10}{3} = -\frac{15}{6} + \frac{20}{6} = \frac{5}{6}$.
Многочлен после упрощения: $1,42x^2y^4z^3 + \frac{5}{6}xy^3z^2 - 0,2x^3y^2z$.
Переведем все коэффициенты в обыкновенные дроби: $1,42 = \frac{142}{100} = \frac{71}{50}$; $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Получаем: $\frac{71}{50}x^2y^4z^3 + \frac{5}{6}xy^3z^2 - \frac{1}{5}x^3y^2z$.
Найдем общий множитель. Общий делитель для переменных: $xy^2z$.
Чтобы получить целые коэффициенты в скобках, вынесем за скобку дробный коэффициент, равный $\frac{1}{НОК(50, 6, 5)} = \frac{1}{150}$.
Общий множитель: $\frac{1}{150}xy^2z$.
Вынесем его за скобки:
$\frac{1}{150}xy^2z \left( \frac{71/50}{1/150}xy^2z^2 + \frac{5/6}{1/150}yz - \frac{1/5}{1/150}x^2 \right) = \frac{1}{150}xy^2z (213xy^2z^2 + 125yz - 30x^2)$.

Ответ: $\frac{1}{150}xy^2z (213xy^2z^2 + 125yz - 30x^2)$

д) $\frac{1}{3}a^2bx^3 - 1\frac{1}{2}ab^2x^2 + 0,3a^2x^3 - 1,1a^5b^3x^4$

В данном многочлене нет подобных слагаемых. Переведем все коэффициенты в обыкновенные дроби.
$-1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$; $0,3 = \frac{3}{10}$; $-1,1 = -\frac{11}{10}$.
Многочлен: $\frac{1}{3}a^2bx^3 - \frac{3}{2}ab^2x^2 + \frac{3}{10}a^2x^3 - \frac{11}{10}a^5b^3x^4$.
Найдем общий множитель.
Общие переменные в наименьшей степени:
Для a: наименьшая степень $a^1$.
Для b: наименьшая степень $b^0$ (в члене $0,3a^2x^3$), не является общим множителем.
Для x: наименьшая степень $x^2$.
Общий делитель для переменных: $ax^2$.
Чтобы получить целые коэффициенты в скобках, вынесем за скобку дробный коэффициент, равный $\frac{1}{НОК(3, 2, 10, 10)} = \frac{1}{30}$.
Общий множитель: $\frac{1}{30}ax^2$.
Вынесем его за скобки:
$\frac{1}{30}ax^2 \left( \frac{1/3}{1/30}abx - \frac{3/2}{1/30}b^2 + \frac{3/10}{1/30}ax - \frac{11/10}{1/30}a^4b^3x^2 \right) = \frac{1}{30}ax^2 (10abx - 45b^2 + 9ax - 33a^4b^3x^2)$.

Ответ: $\frac{1}{30}ax^2 (10abx - 45b^2 + 9ax - 33a^4b^3x^2)$