Номер 451, страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.10. Разложение многочлена на множители. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 451, страница 121.

Условие.

451. Разложите двучлен на множители:

а) $x^2 + 2x$;

б) $4x^2 + 2$;

в) $4 - 8x^2$;

г) $4 + 6x^2$;

д) $15 + 3x$;

е) $14x^2 + 7x^4$;

ж) $-3 + 12x$;

з) $8x^2 + 4x^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Для того чтобы разложить двучлен $x^2 + 2x$ на множители, необходимо найти общий множитель для каждого из его членов.

Член $x^2$ можно представить как $x \cdot x$.

Член $2x$ можно представить как $2 \cdot x$.

Видно, что общим множителем является $x$. Вынесем его за скобки:

$x^2 + 2x = x(x + 2)$

Ответ: $x(x+2)$

б) В двучлене $4x^2 + 2$ нужно найти наибольший общий делитель (НОД) числовых коэффициентов 4 и 2.

НОД(4, 2) = 2. Общей переменной у членов нет.

Выносим общий множитель 2 за скобки:

$4x^2 + 2 = 2(2x^2 + 1)$

Ответ: $2(2x^2 + 1)$

в) В двучлене $4 - 8x^2$ находим наибольший общий делитель коэффициентов 4 и 8.

НОД(4, 8) = 4.

Выносим 4 за скобки:

$4 - 8x^2 = 4(1 - 2x^2)$

Ответ: $4(1 - 2x^2)$

г) В двучлене $4 + 6x^2$ находим наибольший общий делитель коэффициентов 4 и 6.

НОД(4, 6) = 2.

Выносим 2 за скобки:

$4 + 6x^2 = 2(2 + 3x^2)$

Ответ: $2(2 + 3x^2)$

д) В двучлене $15 + 3x$ находим наибольший общий делитель коэффициентов 15 и 3.

НОД(15, 3) = 3.

Выносим 3 за скобки:

$15 + 3x = 3(5 + x)$

Ответ: $3(5 + x)$

е) В двучлене $14x^2 + 7x^4$ находим общий множитель как для коэффициентов, так и для переменных.

Для коэффициентов 14 и 7 НОД равен 7.

Для переменных $x^2$ и $x^4$ общим множителем является переменная с наименьшим показателем степени, то есть $x^2$.

Таким образом, общий множитель всего выражения — $7x^2$. Выносим его за скобки:

$14x^2 + 7x^4 = 7x^2(2 + x^2)$

Ответ: $7x^2(2 + x^2)$

ж) В двучлене $-3 + 12x$ находим наибольший общий делитель модулей коэффициентов |-3| и 12.

НОД(3, 12) = 3.

Вынесем 3 за скобки. Для удобства сначала поменяем члены местами:

$-3 + 12x = 12x - 3 = 3(4x - 1)$

Ответ: $3(4x - 1)$

з) В двучлене $8x^2 + 4x^3$ находим общий множитель.

Для коэффициентов 8 и 4 НОД равен 4.

Для переменных $x^2$ и $x^3$ общий множитель — $x^2$.

Общий множитель всего выражения — $4x^2$. Выносим его за скобки:

$8x^2 + 4x^3 = 4x^2(2 + x)$

Ответ: $4x^2(2 + x)$