Номер 444, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.9. Применение формул сокращённого умножения. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 444, страница 117.

Условие.

Доказываем (444–445).

444. Докажите, что:

a) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел является нечётным числом;

б) разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится на 4;

в) разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится на 8.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а)

Пусть даны два последовательных натуральных числа: $n$ и $n+1$, где $n \in \mathbb{N}$.

Рассмотрим разность их квадратов. По определению, мы вычитаем из квадрата большего числа квадрат меньшего: $$(n+1)^2 - n^2$$

Для упрощения этого выражения можно использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $$(n+1)^2 - n^2 = ((n+1) - n)((n+1) + n)$$

Выполним вычисления в скобках: $$(1) \cdot (2n + 1) = 2n + 1$$

Выражение $2n + 1$ является общей формулой для любого нечётного числа, так как для любого натурального $n$ произведение $2n$ является чётным числом, а прибавление единицы к чётному числу всегда даёт в результате нечётное число.

Таким образом, разность квадратов двух последовательных натуральных чисел является нечётным числом.

Ответ: Доказано.

б)

Пусть даны два последовательных чётных числа. Любое чётное число можно представить в виде $2k$, где $k \in \mathbb{N}$. Тогда два последовательных чётных числа можно записать как $2k$ и $2k+2$.

Найдём разность их квадратов: $$(2k+2)^2 - (2k)^2$$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $$(2k+2)^2 - (2k)^2 = ((2k+2) - 2k)((2k+2) + 2k) = (2)(4k+2)$$

Раскроем скобки и вынесем общий множитель 4: $$8k + 4 = 4(2k + 1)$$

Поскольку полученное выражение представляет собой произведение, где один из множителей равен 4, то всё выражение делится на 4 нацело.

Следовательно, разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится на 4.

Ответ: Доказано.

в)

Пусть даны два последовательных нечётных числа. Любое нечётное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \ge 0$). Тогда два последовательных нечётных числа можно записать как $2k+1$ и $(2k+1)+2 = 2k+3$.

Рассмотрим разность их квадратов: $$(2k+3)^2 - (2k+1)^2$$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $$(2k+3)^2 - (2k+1)^2 = ((2k+3) - (2k+1))((2k+3) + (2k+1))$$

Упростим выражение в каждой скобке: $$(2k+3 - 2k - 1)(2k+3 + 2k + 1) = (2)(4k+4)$$

Из второй скобки можно вынести множитель 4: $$2 \cdot (4(k+1)) = 8(k+1)$$

Так как выражение является произведением числа 8 и целого числа $(k+1)$, оно всегда делится на 8 без остатка.

Следовательно, разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится на 8.

Ответ: Доказано.