Номер 445, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.9. Применение формул сокращённого умножения. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 445, страница 117.

Условие.

445. Докажите, что:

а) если к произведению двух целых последовательных чисел прибавить большее из них, то получится квадрат большего числа; $n(n+1) + (n+1) = (n+1)^2$

б) сумма квадрата разности двух чисел и их учетверённого произведения равна квадрату суммы этих чисел; $(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2$

в) разность квадрата суммы двух чисел и их учетверённого произведения равна квадрату разности этих чисел. $(a+b)^2 - 4ab = (a-b)^2$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Обозначим два последовательных целых числа как $n$ и $n+1$. Большее из этих чисел — $n+1$.
Их произведение равно $n \cdot (n+1)$.
Прибавим к произведению большее из чисел: $n(n+1) + (n+1)$.
Преобразуем полученное выражение, вынеся общий множитель $(n+1)$ за скобки:
$n(n+1) + (n+1) = (n+1)(n+1) = (n+1)^2$.
В результате мы получили квадрат большего числа $(n+1)$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

б) Обозначим два произвольных числа как $a$ и $b$.
Квадрат их разности равен $(a-b)^2$.
Их учетверённое произведение равно $4ab$.
Сумма квадрата разности и учетверённого произведения записывается как: $(a-b)^2 + 4ab$.
Квадрат суммы этих чисел равен $(a+b)^2$.
Нам необходимо доказать тождество: $(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2$.
Преобразуем левую часть равенства, используя формулу сокращенного умножения (квадрат разности):
$(a-b)^2 + 4ab = (a^2 - 2ab + b^2) + 4ab$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 - 2ab + 4ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Полученное выражение $a^2 + 2ab + b^2$ является формулой квадрата суммы $(a+b)^2$.
Таким образом, левая часть тождества равна правой: $(a+b)^2 = (a+b)^2$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

в) Обозначим два произвольных числа как $a$ и $b$.
Квадрат их суммы равен $(a+b)^2$.
Их учетверённое произведение равно $4ab$.
Разность квадрата суммы и учетверённого произведения записывается как: $(a+b)^2 - 4ab$.
Квадрат разности этих чисел равен $(a-b)^2$.
Нам необходимо доказать тождество: $(a+b)^2 - 4ab = (a-b)^2$.
Преобразуем левую часть равенства, используя формулу сокращенного умножения (квадрат суммы):
$(a+b)^2 - 4ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 4ab$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + 2ab - 4ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Полученное выражение $a^2 - 2ab + b^2$ является формулой квадрата разности $(a-b)^2$.
Таким образом, левая часть тождества равна правой: $(a-b)^2 = (a-b)^2$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.