Номер 449, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.9. Применение формул сокращённого умножения. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 449, страница 118.

Условие.

449. Задача Диофанта.

Докажите, что произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма двух квадратов, само представляется двумя способами в виде суммы двух квадратов:

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (bc - ad)^2$;

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (bc + ad)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Утверждение задачи заключается в доказательстве двух алгебраических тождеств. Докажем каждое из них по отдельности методом прямого преобразования выражений, раскрывая скобки в левой и правой частях равенств и сравнивая результаты.

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (bc - ad)^2$

Сначала преобразуем левую часть (ЛЧ) равенства, раскрыв скобки:

ЛЧ $= (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$.

Теперь преобразуем правую часть (ПЧ). Используем формулы квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$:

ПЧ $= (ac + bd)^2 + (bc - ad)^2 = (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) + (b^2c^2 - 2abcd + a^2d^2)$.

Сложив выражения в скобках и сократив противоположные члены $2abcd$ и $-2abcd$, получим:

ПЧ $= a^2c^2 + b^2d^2 + b^2c^2 + a^2d^2$.

Перегруппировав слагаемые, видим, что правая часть равна левой:

ПЧ $= a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 = $ ЛЧ.

Следовательно, первое тождество доказано.

Ответ: Тождество $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (bc - ad)^2$ верно.

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (bc + ad)^2$

Левая часть (ЛЧ) этого тождества такая же, как и в предыдущем случае:

ЛЧ $= a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$.

Преобразуем правую часть (ПЧ), используя те же формулы сокращенного умножения:

ПЧ $= (ac - bd)^2 + (bc + ad)^2 = (a^2c^2 - 2abcd + b^2d^2) + (b^2c^2 + 2abcd + a^2d^2)$.

После сложения и сокращения взаимно уничтожающихся членов $-2abcd$ и $2abcd$, получаем:

ПЧ $= a^2c^2 + b^2d^2 + b^2c^2 + a^2d^2$.

Сравнивая с левой частью, убеждаемся в их равенстве:

ПЧ $= a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 = $ ЛЧ.

Таким образом, второе тождество также доказано.

Ответ: Тождество $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (bc + ad)^2$ верно.

Мы доказали оба тождества. Они показывают, что произведение двух чисел, каждое из которых является суммой двух квадратов, само может быть представлено как сумма двух квадратов двумя различными способами. Это свойство известно как тождество Брахмагупты-Фибоначчи.