Номер 453, страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.10. Разложение многочлена на множители. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 453, страница 121.

Условие.

Вынесите общий множитель многочлена за скобки (453–454):

453. а) $ax + xb;$

б) $am - ank;$

в) $x^2y + xy^2;$

г) $p^2q^3 - p^3q;$

д) $a^2bc + ab^2c + abc^2;$

е) $x^2y^2z^3 - xy^3z^2 + x^4y^3z^5;$

ж) $2mn^3 - 4m^2n - 6m^2n^3;$

з) $6p^4q^3 + 8p^2q^3 - 10p^3q^2;$

и) $a^2 - 4a^4 + 5a^5;$

к) $3x^2 - x^6 + 2x^8.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) В данном выражении $ax + xb$ каждый член содержит общий множитель $x$. Чтобы вынести его за скобки, мы делим каждый член многочлена на этот общий множитель: $ax:x=a$ и $xb:x=b$. Затем записываем общий множитель перед скобками, а результаты деления — внутри скобок.
$ax + xb = x(a + b)$
Ответ: $x(a + b)$

б) В выражении $am - ank$ общим множителем для обоих членов является переменная $a$. Вынесем $a$ за скобки. Для этого разделим каждый член на $a$: $am : a = m$ и $-ank : a = -nk$.
$am - ank = a(m - nk)$
Ответ: $a(m - nk)$

в) Чтобы найти общий множитель многочлена $x^2y + xy^2$, нужно для каждой переменной выбрать наименьшую степень, с которой она входит в каждый член. Для $x$ это первая степень ($x^1=x$), для $y$ — также первая степень ($y^1=y$). Таким образом, общий множитель — это $xy$. Разделим каждый член на $xy$:
$x^2y : (xy) = x^{(2-1)}y^{(1-1)} = x^1y^0 = x$
$xy^2 : (xy) = x^{(1-1)}y^{(2-1)} = x^0y^1 = y$
$x^2y + xy^2 = xy(x + y)$
Ответ: $xy(x + y)$

г) В многочлене $p^2q^3 - p^3q$ находим общий множитель. Для переменной $p$ наименьшая степень — 2, значит, выносим $p^2$. Для переменной $q$ наименьшая степень — 1, выносим $q$. Общий множитель — $p^2q$.
$p^2q^3 : (p^2q) = q^{(3-1)} = q^2$
$-p^3q : (p^2q) = -p^{(3-2)} = -p$
$p^2q^3 - p^3q = p^2q(q^2 - p)$
Ответ: $p^2q(q^2 - p)$

д) Для многочлена $a^2bc + ab^2c + abc^2$ находим общий множитель, выбрав наименьшие степени для каждой переменной: $a^1$, $b^1$, $c^1$. Общий множитель — $abc$.
$a^2bc + ab^2c + abc^2 = abc \cdot a + abc \cdot b + abc \cdot c = abc(a + b + c)$
Ответ: $abc(a + b + c)$

е) В выражении $x^2y^2z^3 - xy^3z^2 + x^4y^3z^5$ определим общий множитель.
Наименьшая степень для $x$ (среди $x^2, x^1, x^4$) — это $x^1=x$.
Наименьшая степень для $y$ (среди $y^2, y^3, y^3$) — это $y^2$.
Наименьшая степень для $z$ (среди $z^3, z^2, z^5$) — это $z^2$.
Общий множитель — $xy^2z^2$. Вынесем его за скобки:
$x^2y^2z^3 - xy^3z^2 + x^4y^3z^5 = xy^2z^2(xz - y + x^3yz^3)$
Ответ: $xy^2z^2(xz - y + x^3yz^3)$

ж) В многочлене $2mn^3 - 4m^2n - 6m^2n^3$ сначала найдем общий множитель для числовых коэффициентов 2, -4, -6. Наибольший общий делитель (НОД) для 2, 4, 6 равен 2.
Затем для переменных: наименьшая степень для $m$ — $m^1=m$, для $n$ — $n^1=n$.
Общий множитель — $2mn$.
$2mn^3 - 4m^2n - 6m^2n^3 = 2mn(n^2 - 2m - 3mn^2)$
Ответ: $2mn(n^2 - 2m - 3mn^2)$

з) Для многочлена $6p^4q^3 + 8p^2q^3 - 10p^3q^2$ находим общий множитель.
НОД коэффициентов (6, 8, 10) равен 2.
Наименьшая степень для $p$ — $p^2$.
Наименьшая степень для $q$ — $q^2$.
Общий множитель — $2p^2q^2$.
$6p^4q^3 + 8p^2q^3 - 10p^3q^2 = 2p^2q^2(3p^2q + 4q - 5p)$
Ответ: $2p^2q^2(3p^2q + 4q - 5p)$

и) В выражении $a^2 - 4a^4 + 5a^5$ числовые коэффициенты 1, -4, 5 не имеют общего делителя, отличного от 1. Общий множитель определяется только переменной $a$. Наименьшая степень $a$ — это $a^2$.
$a^2 - 4a^4 + 5a^5 = a^2(1 - 4a^2 + 5a^3)$
Обратите внимание, что при вынесении $a^2$ от первого члена $a^2$ остается 1.
Ответ: $a^2(1 - 4a^2 + 5a^3)$

к) В многочлене $3x^2 - x^6 + 2x^8$ общим множителем является $x$ в наименьшей степени, то есть $x^2$. Коэффициенты 3, -1, 2 взаимно простые.
$3x^2 - x^6 + 2x^8 = x^2(3 - x^4 + 2x^6)$
Ответ: $x^2(3 - x^4 + 2x^6)$