Номер 448, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.9. Применение формул сокращённого умножения. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 448, страница 118.

Условие.

448. Задача Пифагора. Докажите, что всякое нечётное натуральное число, кроме 1, есть разность квадратов двух последовательных натуральных чисел.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для доказательства утверждения нам нужно показать, что для любого нечётного натурального числа $N > 1$ существуют два последовательных натуральных числа, скажем $n$ и $n+1$, такие, что $N = (n+1)^2 - n^2$.

Шаг 1: Представление нечётного числа.
Любое нечётное натуральное число $N$ можно записать в виде $N = 2k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \ge 0$).По условию задачи, мы рассматриваем числа $N > 1$. Это значит, что $2k+1 > 1$, откуда $2k > 0$ и, следовательно, $k > 0$.Поскольку $k$ — целое число и $k > 0$, то $k$ является натуральным числом ($k \in \{1, 2, 3, \dots\}$).

Шаг 2: Анализ разности квадратов.
Рассмотрим разность квадратов двух последовательных натуральных чисел $n$ и $n+1$. Используем формулу сокращённого умножения для разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:$(n+1)^2 - n^2 = ((n+1) - n)((n+1) + n) = 1 \cdot (2n+1) = 2n+1$.Таким образом, разность квадратов двух любых последовательных натуральных чисел всегда является нечётным числом вида $2n+1$.

Шаг 3: Сопоставление и нахождение искомых чисел.
Мы хотим доказать, что наше нечётное число $N$ можно представить в виде такой разности. Приравняем два выражения:$N = (n+1)^2 - n^2$Подставим известные нам формы для обеих частей уравнения:$2k+1 = 2n+1$Из этого равенства следует, что $2k = 2n$, а значит $k=n$.

Поскольку мы ранее установили, что для любого нечётного $N>1$ соответствующее ему $k = \frac{N-1}{2}$ является натуральным числом, мы можем всегда найти такое натуральное число $n$, которое равно этому $k$.Следовательно, для любого нечётного натурального числа $N > 1$ можно найти два последовательных натуральных числа:$n = k = \frac{N-1}{2}$и$n+1 = k+1 = \frac{N-1}{2} + 1 = \frac{N-1+2}{2} = \frac{N+1}{2}$.

Разность квадратов этих чисел всегда будет равна $N$.

Примеры:

• Пусть $N=3$. Тогда $n = \frac{3-1}{2}=1$. Искомые числа — 1 и 2. Проверка: $2^2 - 1^2 = 4-1=3$.
• Пусть $N=7$. Тогда $n = \frac{7-1}{2}=3$. Искомые числа — 3 и 4. Проверка: $4^2 - 3^2 = 16-9=7$.
• Пусть $N=21$. Тогда $n = \frac{21-1}{2}=10$. Искомые числа — 10 и 11. Проверка: $11^2 - 10^2 = 121-100=21$.

Почему исключается число 1?
Если мы возьмём $N=1$, то по нашей формуле $n = \frac{1-1}{2} = 0$. Число 0 не является натуральным числом (согласно стандартному определению натуральных чисел как множества $\{1, 2, 3, \dots\}$). Поэтому 1 нельзя представить как разность квадратов двух последовательных натуральных чисел.

Ответ: Утверждение доказано. Всякое нечётное натуральное число $N > 1$ представимо в виде $( \frac{N+1}{2} )^2 - ( \frac{N-1}{2} )^2$, где $\frac{N-1}{2}$ и $\frac{N+1}{2}$ являются последовательными натуральными числами.