Номер 446, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.9. Применение формул сокращённого умножения. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 446, страница 117.

Условие.

446. Вычислите:

а) $(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1);$

б) $\frac{(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) + 1}{2^{64}},$

в) $\frac{(3 + 2)(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})(3^{32} + 2^{32}) + 2^{64}}{3^{64}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Для вычисления данного произведения воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Обозначим искомое выражение как $P$:
$P = (2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$
Домножим и разделим выражение на $(2 - 1)$. Так как $2 - 1 = 1$, значение выражения не изменится.
$P = (2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$
Теперь последовательно применяем формулу разности квадратов, "сворачивая" выражение:
$(2 - 1)(2 + 1) = 2^2 - 1$
Выражение принимает вид:
$P = (2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$
Далее:
$(2^2 - 1)(2^2 + 1) = (2^2)^2 - 1^2 = 2^4 - 1$
$P = (2^4 - 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$
Продолжая по аналогии:
$(2^4 - 1)(2^4 + 1) = 2^8 - 1$
$(2^8 - 1)(2^8 + 1) = 2^{16} - 1$
$(2^{16} - 1)(2^{16} + 1) = 2^{32} - 1$
И, наконец:
$(2^{32} - 1)(2^{32} + 1) = (2^{32})^2 - 1^2 = 2^{64} - 1$
Таким образом, исходное выражение равно $2^{64} - 1$.
Ответ: $2^{64} - 1$.

б) Рассмотрим выражение: $\frac{(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) + 1}{2^{64}}$.
Произведение в числителе нам уже знакомо из пункта а). Мы вычислили, что:
$(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) = 2^{64} - 1$.
Подставим этот результат в числитель дроби:
Числитель = $(2^{64} - 1) + 1 = 2^{64}$.
Теперь вся дробь принимает вид:
$\frac{2^{64}}{2^{64}} = 1$.
Ответ: $1$.

в) Рассмотрим выражение: $\frac{(3 + 2)(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})(3^{32} + 2^{32}) + 2^{64}}{3^{64}}$.
Для упрощения числителя используем тот же приём, что и в пункте а), с формулой разности квадратов.
Рассмотрим произведение в числителе: $P' = (3 + 2)(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})(3^{32} + 2^{32})$.
Домножим его на $(3 - 2) = 1$:
$P' = (3 - 2)(3 + 2)(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)...(3^{32} + 2^{32})$.
Последовательно применяем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(3 - 2)(3 + 2) = 3^2 - 2^2$.
$P' = (3^2 - 2^2)(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)...(3^{32} + 2^{32})$.
$(3^2 - 2^2)(3^2 + 2^2) = (3^2)^2 - (2^2)^2 = 3^4 - 2^4$.
Продолжая этот процесс, на последнем шаге мы получим:
$(3^{32} - 2^{32})(3^{32} + 2^{32}) = (3^{32})^2 - (2^{32})^2 = 3^{64} - 2^{64}$.
Итак, всё произведение равно $3^{64} - 2^{64}$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение в числитель:
Числитель = $(3^{64} - 2^{64}) + 2^{64} = 3^{64}$.
Таким образом, вся дробь равна:
$\frac{3^{64}}{3^{64}} = 1$.
Ответ: $1$.