Номер 447, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.9. Применение формул сокращённого умножения. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 447, страница 117.

Условие.

447. Доказываем. Задача Ибн Сины. Если число, будучи разделено на 9, даёт остаток 1 или 8, то квадрат этого числа, делённый на 9, даёт остаток 1. Докажите.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим последовательно два случая, указанные в условии задачи.

Случай 1: Число при делении на 9 даёт в остатке 1.

Пусть $N$ — это число, которое удовлетворяет данному условию. По определению деления с остатком, его можно представить в виде: $N = 9k + 1$, где $k$ — некоторое целое число (неполное частное).

Найдём квадрат этого числа, возведя обе части равенства в квадрат: $N^2 = (9k + 1)^2$

Используя формулу сокращённого умножения для квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, раскроем скобки: $N^2 = (9k)^2 + 2 \cdot (9k) \cdot 1 + 1^2 = 81k^2 + 18k + 1$

Теперь преобразуем полученное выражение, вынеся общий множитель 9 за скобки у первых двух слагаемых: $N^2 = 9 \cdot (9k^2) + 9 \cdot (2k) + 1 = 9(9k^2 + 2k) + 1$

Обозначим выражение в скобках $m = 9k^2 + 2k$. Поскольку $k$ является целым числом, то и $m$ будет целым числом. Тогда выражение для $N^2$ можно записать как: $N^2 = 9m + 1$

Данная запись показывает, что при делении $N^2$ на 9 частное будет равно $m$, а остаток — 1. Первая часть утверждения доказана.

Случай 2: Число при делении на 9 даёт в остатке 8.

Пусть теперь число $N$ при делении на 9 даёт в остатке 8. Его можно представить в виде: $N = 9k + 8$, где $k$ — некоторое целое число.

Возведём это число в квадрат: $N^2 = (9k + 8)^2$

Раскроем скобки по формуле квадрата суммы: $N^2 = (9k)^2 + 2 \cdot (9k) \cdot 8 + 8^2 = 81k^2 + 144k + 64$

Чтобы найти остаток от деления $N^2$ на 9, преобразуем это выражение. Заметим, что слагаемые $81k^2$ и $144k$ делятся на 9 нацело (так как $81 = 9 \cdot 9$ и $144 = 9 \cdot 16$). Представим число 64 в виде суммы произведения на 9 и остатка: $64 = 63 + 1 = 9 \cdot 7 + 1$.

Подставим это в выражение для $N^2$: $N^2 = 81k^2 + 144k + (9 \cdot 7 + 1)$

Сгруппируем все слагаемые, кратные 9, и вынесем общий множитель 9 за скобки: $N^2 = (81k^2 + 144k + 63) + 1 = 9(9k^2 + 16k + 7) + 1$

Обозначим выражение в скобках $p = 9k^2 + 16k + 7$. Поскольку $k$ является целым числом, $p$ также будет целым числом. Тогда: $N^2 = 9p + 1$

Эта запись означает, что при делении $N^2$ на 9 также получается остаток 1.

Таким образом, мы доказали утверждение для обоих возможных случаев. Следовательно, если число при делении на 9 даёт остаток 1 или 8, то его квадрат при делении на 9 всегда будет давать остаток 1.

Ответ: Утверждение доказано.