Номер 450, страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.10. Разложение многочлена на множители. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 450, страница 121.

Условие.

450. Какие методы можно применять для разложения многочлена на множители?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для разложения многочлена на множители, то есть для представления его в виде произведения многочленов меньшей степени, можно применять следующие основные методы, часто комбинируя их.

1. Вынесение общего множителя за скобки

Это первый и самый простой метод, который следует попробовать применить. Он основан на распределительном свойстве умножения $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$. Если все члены многочлена содержат один и тот же множитель (число, переменную или их произведение), его можно вынести за скобки.

Пример: Разложить на множители многочлен $15a^3b^2 + 25a^2b^4$.

Находим наибольший общий делитель для коэффициентов 15 и 25 — это 5. Находим общие переменные в наименьших степенях: $a^2$ и $b^2$. Таким образом, общий множитель равен $5a^2b^2$. Выносим его за скобки:

$15a^3b^2 + 25a^2b^4 = 5a^2b^2 \cdot (3a) + 5a^2b^2 \cdot (5b^2) = 5a^2b^2(3a + 5b^2)$.

Ответ: $5a^2b^2(3a + 5b^2)$.

2. Метод группировки

Этот метод используется, когда у всех членов многочлена нет общего множителя, но можно объединить их в группы, каждая из которых имеет свой общий множитель. После вынесения множителей в каждой группе должен появиться новый общий множитель (в виде скобки), который затем также выносится за скобки.

Пример: Разложить на множители $xy + 2y - 3x - 6$.

Сгруппируем члены: $(xy + 2y) + (-3x - 6)$.

Из первой группы вынесем $y$, а из второй — $-3$:

$y(x + 2) - 3(x + 2)$.

Теперь общим множителем является выражение $(x+2)$. Выносим его:

$(x + 2)(y - 3)$.

Ответ: $(x + 2)(y - 3)$.

3. Применение формул сокращенного умножения

Если многочлен по своему виду напоминает одну из формул сокращенного умножения, ее можно применить для разложения.

• Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
  Пример: $49m^2 - 100 = (7m)^2 - 10^2 = (7m - 10)(7m + 10)$.
• Квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
  Пример: $x^2 + 10x + 25 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x + 5)^2$.
• Квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
  Пример: $9a^2 - 6ab + b^2 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot b + b^2 = (3a - b)^2$.
• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
  Пример: $c^3 + 8 = c^3 + 2^3 = (c + 2)(c^2 - 2c + 4)$.
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
  Пример: $27x^3 - 1 = (3x)^3 - 1^3 = (3x - 1)(9x^2 + 3x + 1)$.

Ответ: Использование этих формул позволяет быстро разложить многочлен на множители, если его структура соответствует одному из тождеств.

4. Разложение квадратного трехчлена по корням

Квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ можно разложить на множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Корни можно найти через дискриминант: $D = b^2 - 4ac$, $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Пример: Разложить на множители $3x^2 - 8x + 4$.

Найдем корни уравнения $3x^2 - 8x + 4 = 0$.

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$. $\sqrt{D}=4$.

$x_1 = \frac{8 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.

$x_2 = \frac{8 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Подставляем корни в формулу разложения: $3(x - 2)(x - \frac{2}{3})$. Чтобы избавиться от дроби, умножим второй множитель на 3: $(x - 2)(3x - 2)$.

Ответ: $(x - 2)(3x - 2)$.

5. Метод выделения полного квадрата

Метод заключается в искусственном преобразовании выражения к виду разности квадратов. Для этого к многочлену добавляют и вычитают некоторое слагаемое, чтобы выделить полный квадрат.

Пример: Разложить на множители $x^4 + 4$.

Чтобы получить полный квадрат $(x^2+2)^2 = x^4+4x^2+4$, нам не хватает $4x^2$. Добавим и вычтем это слагаемое:

$x^4 + 4 = (x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2$.

Теперь применяем формулу разности квадратов:

$((x^2 + 2) - 2x)((x^2 + 2) + 2x) = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$.

Ответ: $(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$.

6. Теорема Безу и поиск рациональных корней

Этот метод эффективен для многочленов степени 3 и выше. Согласно следствию из теоремы Безу, если многочлен с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем его свободного члена. Найдя один корень $c$, можно утверждать, что многочлен делится на $(x - c)$ без остатка. Выполнив деление (столбиком или по схеме Горнера), мы получаем многочлен меньшей степени, который можно разложить дальше.

Пример: Разложить на множители $P(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6$.

Делители свободного члена (-6): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверяем их: $P(1) = 1 + 4 + 1 - 6 = 0$. Значит, $x=1$ — корень, а $(x - 1)$ — множитель.

Разделим $x^3 + 4x^2 + x - 6$ на $(x - 1)$ столбиком и получим $x^2 + 5x + 6$.

Таким образом, $x^3 + 4x^2 + x - 6 = (x - 1)(x^2 + 5x + 6)$.

Квадратный трехчлен $x^2 + 5x + 6$ раскладывается на $(x + 2)(x + 3)$ (например, по теореме Виета).

Ответ: $(x - 1)(x + 2)(x + 3)$.

7. Комбинирование различных методов

На практике для полного разложения многочлена на множители часто требуется применять несколько методов последовательно. Всегда стоит начинать с вынесения общего множителя, а затем пробовать другие способы.

Пример: Разложить на множители $2ax^2 - 8a - bx^2 + 4b$.

1. Применим метод группировки: $(2ax^2 - 8a) - (bx^2 - 4b)$.

2. Вынесем общие множители из каждой группы: $2a(x^2 - 4) - b(x^2 - 4)$.

3. Вынесем общий множитель $(x^2 - 4)$: $(x^2 - 4)(2a - b)$.

4. Заметим, что первый множитель $(x^2 - 4)$ — это разность квадратов. Применим соответствующую формулу: $(x - 2)(x + 2)$.

В итоге получаем полное разложение.

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(2a - b)$.