Страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

450. Какие методы можно применять для разложения многочлена на множители?

Для разложения многочлена на множители, то есть для представления его в виде произведения многочленов меньшей степени, можно применять следующие основные методы, часто комбинируя их.

1. Вынесение общего множителя за скобки

Это первый и самый простой метод, который следует попробовать применить. Он основан на распределительном свойстве умножения $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$. Если все члены многочлена содержат один и тот же множитель (число, переменную или их произведение), его можно вынести за скобки.

Пример: Разложить на множители многочлен $15a^3b^2 + 25a^2b^4$.

Находим наибольший общий делитель для коэффициентов 15 и 25 — это 5. Находим общие переменные в наименьших степенях: $a^2$ и $b^2$. Таким образом, общий множитель равен $5a^2b^2$. Выносим его за скобки:

$15a^3b^2 + 25a^2b^4 = 5a^2b^2 \cdot (3a) + 5a^2b^2 \cdot (5b^2) = 5a^2b^2(3a + 5b^2)$.

Ответ: $5a^2b^2(3a + 5b^2)$.

2. Метод группировки

Этот метод используется, когда у всех членов многочлена нет общего множителя, но можно объединить их в группы, каждая из которых имеет свой общий множитель. После вынесения множителей в каждой группе должен появиться новый общий множитель (в виде скобки), который затем также выносится за скобки.

Пример: Разложить на множители $xy + 2y - 3x - 6$.

Сгруппируем члены: $(xy + 2y) + (-3x - 6)$.

Из первой группы вынесем $y$, а из второй — $-3$:

$y(x + 2) - 3(x + 2)$.

Теперь общим множителем является выражение $(x+2)$. Выносим его:

$(x + 2)(y - 3)$.

Ответ: $(x + 2)(y - 3)$.

3. Применение формул сокращенного умножения

Если многочлен по своему виду напоминает одну из формул сокращенного умножения, ее можно применить для разложения.

• Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
  Пример: $49m^2 - 100 = (7m)^2 - 10^2 = (7m - 10)(7m + 10)$.
• Квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
  Пример: $x^2 + 10x + 25 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x + 5)^2$.
• Квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
  Пример: $9a^2 - 6ab + b^2 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot b + b^2 = (3a - b)^2$.
• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
  Пример: $c^3 + 8 = c^3 + 2^3 = (c + 2)(c^2 - 2c + 4)$.
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
  Пример: $27x^3 - 1 = (3x)^3 - 1^3 = (3x - 1)(9x^2 + 3x + 1)$.

Ответ: Использование этих формул позволяет быстро разложить многочлен на множители, если его структура соответствует одному из тождеств.

4. Разложение квадратного трехчлена по корням

Квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ можно разложить на множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Корни можно найти через дискриминант: $D = b^2 - 4ac$, $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Пример: Разложить на множители $3x^2 - 8x + 4$.

Найдем корни уравнения $3x^2 - 8x + 4 = 0$.

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$. $\sqrt{D}=4$.

$x_1 = \frac{8 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.

$x_2 = \frac{8 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Подставляем корни в формулу разложения: $3(x - 2)(x - \frac{2}{3})$. Чтобы избавиться от дроби, умножим второй множитель на 3: $(x - 2)(3x - 2)$.

Ответ: $(x - 2)(3x - 2)$.

5. Метод выделения полного квадрата

Метод заключается в искусственном преобразовании выражения к виду разности квадратов. Для этого к многочлену добавляют и вычитают некоторое слагаемое, чтобы выделить полный квадрат.

Пример: Разложить на множители $x^4 + 4$.

Чтобы получить полный квадрат $(x^2+2)^2 = x^4+4x^2+4$, нам не хватает $4x^2$. Добавим и вычтем это слагаемое:

$x^4 + 4 = (x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2$.

Теперь применяем формулу разности квадратов:

$((x^2 + 2) - 2x)((x^2 + 2) + 2x) = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$.

Ответ: $(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$.

6. Теорема Безу и поиск рациональных корней

Этот метод эффективен для многочленов степени 3 и выше. Согласно следствию из теоремы Безу, если многочлен с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем его свободного члена. Найдя один корень $c$, можно утверждать, что многочлен делится на $(x - c)$ без остатка. Выполнив деление (столбиком или по схеме Горнера), мы получаем многочлен меньшей степени, который можно разложить дальше.

Пример: Разложить на множители $P(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6$.

Делители свободного члена (-6): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверяем их: $P(1) = 1 + 4 + 1 - 6 = 0$. Значит, $x=1$ — корень, а $(x - 1)$ — множитель.

Разделим $x^3 + 4x^2 + x - 6$ на $(x - 1)$ столбиком и получим $x^2 + 5x + 6$.

Таким образом, $x^3 + 4x^2 + x - 6 = (x - 1)(x^2 + 5x + 6)$.

Квадратный трехчлен $x^2 + 5x + 6$ раскладывается на $(x + 2)(x + 3)$ (например, по теореме Виета).

Ответ: $(x - 1)(x + 2)(x + 3)$.

7. Комбинирование различных методов

На практике для полного разложения многочлена на множители часто требуется применять несколько методов последовательно. Всегда стоит начинать с вынесения общего множителя, а затем пробовать другие способы.

Пример: Разложить на множители $2ax^2 - 8a - bx^2 + 4b$.

1. Применим метод группировки: $(2ax^2 - 8a) - (bx^2 - 4b)$.

2. Вынесем общие множители из каждой группы: $2a(x^2 - 4) - b(x^2 - 4)$.

3. Вынесем общий множитель $(x^2 - 4)$: $(x^2 - 4)(2a - b)$.

4. Заметим, что первый множитель $(x^2 - 4)$ — это разность квадратов. Применим соответствующую формулу: $(x - 2)(x + 2)$.

В итоге получаем полное разложение.

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(2a - b)$.

451. Разложите двучлен на множители:

а) $x^2 + 2x$;

б) $4x^2 + 2$;

в) $4 - 8x^2$;

г) $4 + 6x^2$;

д) $15 + 3x$;

е) $14x^2 + 7x^4$;

ж) $-3 + 12x$;

з) $8x^2 + 4x^3$.

а) Для того чтобы разложить двучлен $x^2 + 2x$ на множители, необходимо найти общий множитель для каждого из его членов.

Член $x^2$ можно представить как $x \cdot x$.

Член $2x$ можно представить как $2 \cdot x$.

Видно, что общим множителем является $x$. Вынесем его за скобки:

$x^2 + 2x = x(x + 2)$

Ответ: $x(x+2)$

б) В двучлене $4x^2 + 2$ нужно найти наибольший общий делитель (НОД) числовых коэффициентов 4 и 2.

НОД(4, 2) = 2. Общей переменной у членов нет.

Выносим общий множитель 2 за скобки:

$4x^2 + 2 = 2(2x^2 + 1)$

Ответ: $2(2x^2 + 1)$

в) В двучлене $4 - 8x^2$ находим наибольший общий делитель коэффициентов 4 и 8.

НОД(4, 8) = 4.

Выносим 4 за скобки:

$4 - 8x^2 = 4(1 - 2x^2)$

Ответ: $4(1 - 2x^2)$

г) В двучлене $4 + 6x^2$ находим наибольший общий делитель коэффициентов 4 и 6.

НОД(4, 6) = 2.

Выносим 2 за скобки:

$4 + 6x^2 = 2(2 + 3x^2)$

Ответ: $2(2 + 3x^2)$

д) В двучлене $15 + 3x$ находим наибольший общий делитель коэффициентов 15 и 3.

НОД(15, 3) = 3.

Выносим 3 за скобки:

$15 + 3x = 3(5 + x)$

Ответ: $3(5 + x)$

е) В двучлене $14x^2 + 7x^4$ находим общий множитель как для коэффициентов, так и для переменных.

Для коэффициентов 14 и 7 НОД равен 7.

Для переменных $x^2$ и $x^4$ общим множителем является переменная с наименьшим показателем степени, то есть $x^2$.

Таким образом, общий множитель всего выражения — $7x^2$. Выносим его за скобки:

$14x^2 + 7x^4 = 7x^2(2 + x^2)$

Ответ: $7x^2(2 + x^2)$

ж) В двучлене $-3 + 12x$ находим наибольший общий делитель модулей коэффициентов |-3| и 12.

НОД(3, 12) = 3.

Вынесем 3 за скобки. Для удобства сначала поменяем члены местами:

$-3 + 12x = 12x - 3 = 3(4x - 1)$

Ответ: $3(4x - 1)$

з) В двучлене $8x^2 + 4x^3$ находим общий множитель.

Для коэффициентов 8 и 4 НОД равен 4.

Для переменных $x^2$ и $x^3$ общий множитель — $x^2$.

Общий множитель всего выражения — $4x^2$. Выносим его за скобки:

$8x^2 + 4x^3 = 4x^2(2 + x)$

Ответ: $4x^2(2 + x)$

452. Верно ли выполнено разложение многочлена на множители:

а) $3x - 12x^2 = 3x(1 - 4x)$;

б) $8ab + 6a^2b^3 = 2ab(4 + 3ab^2)$;

в) $5m^3n^2 - 20mn^3 = 5mn^2(m^2 - 4n)$?

а) Чтобы проверить, верно ли выполнено разложение многочлена $3x - 12x^2$ на множители, можно либо вынести общий множитель за скобки в левой части, либо раскрыть скобки в правой части равенства. Проверим вторым способом, раскрыв скобки в выражении $3x(1 - 4x)$.
$3x(1 - 4x) = 3x \cdot 1 - 3x \cdot 4x = 3x - 12x^2$.
Результат совпадает с левой частью исходного равенства. Следовательно, разложение выполнено верно.
Ответ: Верно.

б) Проверим равенство $8ab + 6a^2b^3 = 2ab(4 + 3ab^2)$. Для этого раскроем скобки в правой части:
$2ab(4 + 3ab^2) = 2ab \cdot 4 + 2ab \cdot 3ab^2 = 8ab + 6a^{1+1}b^{1+2} = 8ab + 6a^2b^3$.
Полученное выражение полностью совпадает с левой частью равенства. Значит, разложение выполнено верно.
Ответ: Верно.

в) Проверим, верно ли равенство $5m^3n^2 - 20mn^3 = 5mn^2(m^2 - 4n)$. Для этого вынесем общий множитель за скобки в левой части выражения $5m^3n^2 - 20mn^3$.
1. Находим наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 5 и 20. НОД(5, 20) = 5.
2. Находим общие переменные в наименьших степенях. Для $m^3$ и $m$ это $m$. Для $n^2$ и $n^3$ это $n^2$.
3. Таким образом, общий множитель для всего выражения — это $5mn^2$.
4. Выносим его за скобки:
$5m^3n^2 - 20mn^3 = 5mn^2 \cdot (\frac{5m^3n^2}{5mn^2}) - 5mn^2 \cdot (\frac{20mn^3}{5mn^2}) = 5mn^2(m^{3-1}n^{2-2} - 4m^{1-1}n^{3-2}) = 5mn^2(m^2 - 4n)$.
Полученный результат совпадает с правой частью исходного равенства. Следовательно, разложение выполнено верно.
Ответ: Верно.

Вынесите общий множитель многочлена за скобки (453–454):

453. а) $ax + xb;$

б) $am - ank;$

в) $x^2y + xy^2;$

г) $p^2q^3 - p^3q;$

д) $a^2bc + ab^2c + abc^2;$

е) $x^2y^2z^3 - xy^3z^2 + x^4y^3z^5;$

ж) $2mn^3 - 4m^2n - 6m^2n^3;$

з) $6p^4q^3 + 8p^2q^3 - 10p^3q^2;$

и) $a^2 - 4a^4 + 5a^5;$

к) $3x^2 - x^6 + 2x^8.$

а) В данном выражении $ax + xb$ каждый член содержит общий множитель $x$. Чтобы вынести его за скобки, мы делим каждый член многочлена на этот общий множитель: $ax:x=a$ и $xb:x=b$. Затем записываем общий множитель перед скобками, а результаты деления — внутри скобок.
$ax + xb = x(a + b)$
Ответ: $x(a + b)$

б) В выражении $am - ank$ общим множителем для обоих членов является переменная $a$. Вынесем $a$ за скобки. Для этого разделим каждый член на $a$: $am : a = m$ и $-ank : a = -nk$.
$am - ank = a(m - nk)$
Ответ: $a(m - nk)$

в) Чтобы найти общий множитель многочлена $x^2y + xy^2$, нужно для каждой переменной выбрать наименьшую степень, с которой она входит в каждый член. Для $x$ это первая степень ($x^1=x$), для $y$ — также первая степень ($y^1=y$). Таким образом, общий множитель — это $xy$. Разделим каждый член на $xy$:
$x^2y : (xy) = x^{(2-1)}y^{(1-1)} = x^1y^0 = x$
$xy^2 : (xy) = x^{(1-1)}y^{(2-1)} = x^0y^1 = y$
$x^2y + xy^2 = xy(x + y)$
Ответ: $xy(x + y)$

г) В многочлене $p^2q^3 - p^3q$ находим общий множитель. Для переменной $p$ наименьшая степень — 2, значит, выносим $p^2$. Для переменной $q$ наименьшая степень — 1, выносим $q$. Общий множитель — $p^2q$.
$p^2q^3 : (p^2q) = q^{(3-1)} = q^2$
$-p^3q : (p^2q) = -p^{(3-2)} = -p$
$p^2q^3 - p^3q = p^2q(q^2 - p)$
Ответ: $p^2q(q^2 - p)$

д) Для многочлена $a^2bc + ab^2c + abc^2$ находим общий множитель, выбрав наименьшие степени для каждой переменной: $a^1$, $b^1$, $c^1$. Общий множитель — $abc$.
$a^2bc + ab^2c + abc^2 = abc \cdot a + abc \cdot b + abc \cdot c = abc(a + b + c)$
Ответ: $abc(a + b + c)$

е) В выражении $x^2y^2z^3 - xy^3z^2 + x^4y^3z^5$ определим общий множитель.
Наименьшая степень для $x$ (среди $x^2, x^1, x^4$) — это $x^1=x$.
Наименьшая степень для $y$ (среди $y^2, y^3, y^3$) — это $y^2$.
Наименьшая степень для $z$ (среди $z^3, z^2, z^5$) — это $z^2$.
Общий множитель — $xy^2z^2$. Вынесем его за скобки:
$x^2y^2z^3 - xy^3z^2 + x^4y^3z^5 = xy^2z^2(xz - y + x^3yz^3)$
Ответ: $xy^2z^2(xz - y + x^3yz^3)$

ж) В многочлене $2mn^3 - 4m^2n - 6m^2n^3$ сначала найдем общий множитель для числовых коэффициентов 2, -4, -6. Наибольший общий делитель (НОД) для 2, 4, 6 равен 2.
Затем для переменных: наименьшая степень для $m$ — $m^1=m$, для $n$ — $n^1=n$.
Общий множитель — $2mn$.
$2mn^3 - 4m^2n - 6m^2n^3 = 2mn(n^2 - 2m - 3mn^2)$
Ответ: $2mn(n^2 - 2m - 3mn^2)$

з) Для многочлена $6p^4q^3 + 8p^2q^3 - 10p^3q^2$ находим общий множитель.
НОД коэффициентов (6, 8, 10) равен 2.
Наименьшая степень для $p$ — $p^2$.
Наименьшая степень для $q$ — $q^2$.
Общий множитель — $2p^2q^2$.
$6p^4q^3 + 8p^2q^3 - 10p^3q^2 = 2p^2q^2(3p^2q + 4q - 5p)$
Ответ: $2p^2q^2(3p^2q + 4q - 5p)$

и) В выражении $a^2 - 4a^4 + 5a^5$ числовые коэффициенты 1, -4, 5 не имеют общего делителя, отличного от 1. Общий множитель определяется только переменной $a$. Наименьшая степень $a$ — это $a^2$.
$a^2 - 4a^4 + 5a^5 = a^2(1 - 4a^2 + 5a^3)$
Обратите внимание, что при вынесении $a^2$ от первого члена $a^2$ остается 1.
Ответ: $a^2(1 - 4a^2 + 5a^3)$

к) В многочлене $3x^2 - x^6 + 2x^8$ общим множителем является $x$ в наименьшей степени, то есть $x^2$. Коэффициенты 3, -1, 2 взаимно простые.
$3x^2 - x^6 + 2x^8 = x^2(3 - x^4 + 2x^6)$
Ответ: $x^2(3 - x^4 + 2x^6)$

454. а) $-\frac{1}{2}m^3 + 2m^2 - m;$

б) $\frac{1}{3}pq^2 + \frac{1}{6}pq - p^2q;$

В) $\frac{1}{3}x^2y^3 + \frac{1}{4}x^3y^2 + \frac{1}{12}x^3y^3;$

Г) $0,2a^5b^3 - 1,2a^3b^4 + 0,7ab^3;$

Д) $-0,12mn - 1,02m^2 - 0,04m^2n;$

е) $\frac{1}{3}p^6q^7 + 0,5p^5q^8 + 1,1p^4q^9.$

а)

Рассмотрим многочлен: $-\frac{1}{2}m^3 + 2m^2 - m$.

Чтобы вынести общий множитель за скобки, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для всех членов многочлена. Этот НОД будет состоять из НОД коэффициентов и НОД переменных частей.

1. Переменная часть: Одночлены содержат переменную $m$ в степенях $m^3$, $m^2$ и $m^1$. Наименьшая степень $m$ равна 1, поэтому общим множителем для переменной части является $m$.

2. Коэффициенты: Коэффициенты одночленов: $-\frac{1}{2}$, $2$, $-1$. Мы можем вынести за скобки общий множитель для коэффициентов. Чтобы старший коэффициент в скобках стал положительным и целым, удобно вынести $-\frac{1}{2}$.

Таким образом, общий множитель, который мы выносим за скобки, это $-\frac{1}{2}m$.

Теперь разделим каждый член исходного многочлена на этот общий множитель:

• $(-\frac{1}{2}m^3) : (-\frac{1}{2}m) = m^2$
• $(2m^2) : (-\frac{1}{2}m) = -4m$
• $(-m) : (-\frac{1}{2}m) = 2$

Запишем выражение в виде произведения общего множителя и многочлена в скобках:

$-\frac{1}{2}m(m^2 - 4m + 2)$

Ответ: $-\frac{1}{2}m(m^2 - 4m + 2)$

б)

Рассмотрим многочлен: $\frac{1}{3}pq^2 + \frac{1}{6}pq - p^2q$.

Найдем общий множитель для всех членов многочлена.

1. Коэффициенты: $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{6}$, $-1$. Приведем их к общему знаменателю 6: $\frac{2}{6}$, $\frac{1}{6}$, $-\frac{6}{6}$. Наибольший общий делитель для этих дробей — это дробь с НОД числителей (НОД(2, 1, 6) = 1) в числителе и общим знаменателем (6) в знаменателе, то есть $\frac{1}{6}$.

2. Переменная часть:

• Для переменной $p$ наименьшая степень в одночленах — $p^1$.
• Для переменной $q$ наименьшая степень в одночленах — $q^1$.

Таким образом, общая переменная часть — это $pq$.

Общий множитель для вынесения за скобки — это $\frac{1}{6}pq$.

Разделим каждый член многочлена на $\frac{1}{6}pq$:

• $(\frac{1}{3}pq^2) : (\frac{1}{6}pq) = \frac{1/3}{1/6} \cdot \frac{p}{p} \cdot \frac{q^2}{q} = 2q$
• $(\frac{1}{6}pq) : (\frac{1}{6}pq) = 1$
• $(-p^2q) : (\frac{1}{6}pq) = \frac{-1}{1/6} \cdot \frac{p^2}{p} \cdot \frac{q}{q} = -6p$

Запишем итоговое выражение:

$\frac{1}{6}pq(2q + 1 - 6p)$

Ответ: $\frac{1}{6}pq(2q + 1 - 6p)$

в)

Рассмотрим многочлен: $\frac{1}{3}x^2y^3 + \frac{1}{4}x^3y^2 + \frac{1}{12}x^3y^3$.

Найдем общий множитель для всех членов многочлена.

1. Коэффициенты: $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{12}$. Общий знаменатель — 12. Коэффициенты можно представить как $\frac{4}{12}$, $\frac{3}{12}$, $\frac{1}{12}$. НОД числителей (4, 3, 1) равен 1. Значит, НОД коэффициентов — $\frac{1}{12}$.

2. Переменная часть:

• Для переменной $x$ наименьшая степень — $x^2$.
• Для переменной $y$ наименьшая степень — $y^2$.

Таким образом, общая переменная часть — это $x^2y^2$.

Общий множитель для вынесения за скобки — это $\frac{1}{12}x^2y^2$.

Разделим каждый член многочлена на $\frac{1}{12}x^2y^2$:

• $(\frac{1}{3}x^2y^3) : (\frac{1}{12}x^2y^2) = \frac{1/3}{1/12} \cdot \frac{x^2}{x^2} \cdot \frac{y^3}{y^2} = 4y$
• $(\frac{1}{4}x^3y^2) : (\frac{1}{12}x^2y^2) = \frac{1/4}{1/12} \cdot \frac{x^3}{x^2} \cdot \frac{y^2}{y^2} = 3x$
• $(\frac{1}{12}x^3y^3) : (\frac{1}{12}x^2y^2) = \frac{1/12}{1/12} \cdot \frac{x^3}{x^2} \cdot \frac{y^3}{y^2} = xy$

Запишем итоговое выражение:

$\frac{1}{12}x^2y^2(4y + 3x + xy)$

Ответ: $\frac{1}{12}x^2y^2(4y + 3x + xy)$

г)

Рассмотрим многочлен: $0,2a^5b^3 - 1,2a^3b^4 + 0,7ab^3$.

Найдем общий множитель для всех членов многочлена.

1. Коэффициенты: $0,2$, $-1,2$, $0,7$. Чтобы найти их НОД, представим их как целые числа, умножив на 10: $2$, $-12$, $7$. НОД(2, 12, 7) = 1. Значит, НОД исходных коэффициентов равен $0,1$.

2. Переменная часть:

• Для переменной $a$ наименьшая степень — $a^1$.
• Для переменной $b$ наименьшая степень — $b^3$.

Таким образом, общая переменная часть — это $ab^3$.

Общий множитель для вынесения за скобки — это $0,1ab^3$.

Разделим каждый член многочлена на $0,1ab^3$:

• $(0,2a^5b^3) : (0,1ab^3) = \frac{0,2}{0,1} \cdot \frac{a^5}{a} \cdot \frac{b^3}{b^3} = 2a^4$
• $(-1,2a^3b^4) : (0,1ab^3) = \frac{-1,2}{0,1} \cdot \frac{a^3}{a} \cdot \frac{b^4}{b^3} = -12a^2b$
• $(0,7ab^3) : (0,1ab^3) = \frac{0,7}{0,1} \cdot \frac{a}{a} \cdot \frac{b^3}{b^3} = 7$

Запишем итоговое выражение:

$0,1ab^3(2a^4 - 12a^2b + 7)$

Ответ: $0,1ab^3(2a^4 - 12a^2b + 7)$

д)

Рассмотрим многочлен: $-0,12mn - 1,02m^2 - 0,04m^2n$.

Найдем общий множитель для всех членов многочлена.

1. Коэффициенты: $-0,12$, $-1,02$, $-0,04$. Чтобы найти их НОД, умножим их на 100 и возьмем по модулю: $12$, $102$, $4$. НОД(12, 102, 4) = 2. Значит, НОД модулей коэффициентов равен $0,02$. Так как все коэффициенты отрицательны, удобно вынести $-0,02$.

2. Переменная часть:

• Для переменной $m$ наименьшая степень — $m^1$.
• Переменная $n$ присутствует не во всех членах (во втором члене ее степень 0), поэтому ее нельзя вынести как общий множитель для всего многочлена.

Таким образом, общая переменная часть — это $m$.

Общий множитель для вынесения за скобки — это $-0,02m$.

Разделим каждый член многочлена на $-0,02m$:

• $(-0,12mn) : (-0,02m) = \frac{-0,12}{-0,02} \cdot \frac{m}{m} \cdot n = 6n$
• $(-1,02m^2) : (-0,02m) = \frac{-1,02}{-0,02} \cdot \frac{m^2}{m} = 51m$
• $(-0,04m^2n) : (-0,02m) = \frac{-0,04}{-0,02} \cdot \frac{m^2}{m} \cdot n = 2mn$

Запишем итоговое выражение:

$-0,02m(6n + 51m + 2mn)$

Ответ: $-0,02m(6n + 51m + 2mn)$

е)

Рассмотрим многочлен: $\frac{1}{3}p^6q^7 + 0,5p^5q^8 + 1,1p^4q^9$.

Для удобства работы преобразуем десятичные дроби в обыкновенные: $0,5 = \frac{1}{2}$ и $1,1 = \frac{11}{10}$.

Выражение принимает вид: $\frac{1}{3}p^6q^7 + \frac{1}{2}p^5q^8 + \frac{11}{10}p^4q^9$.

Найдем общий множитель.

1. Коэффициенты: $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{11}{10}$. Наименьший общий знаменатель для 3, 2 и 10 равен 30. Приведем дроби к этому знаменателю: $\frac{10}{30}$, $\frac{15}{30}$, $\frac{33}{30}$. НОД числителей (10, 15, 33) равен 1. Значит, НОД коэффициентов — $\frac{1}{30}$.

2. Переменная часть:

• Для переменной $p$ наименьшая степень — $p^4$.
• Для переменной $q$ наименьшая степень — $q^7$.

Таким образом, общая переменная часть — это $p^4q^7$.

Общий множитель для вынесения за скобки — это $\frac{1}{30}p^4q^7$.

Разделим каждый член многочлена на $\frac{1}{30}p^4q^7$:

• $(\frac{1}{3}p^6q^7) : (\frac{1}{30}p^4q^7) = \frac{1/3}{1/30} \cdot \frac{p^6}{p^4} \cdot \frac{q^7}{q^7} = 10p^2$
• $(\frac{1}{2}p^5q^8) : (\frac{1}{30}p^4q^7) = \frac{1/2}{1/30} \cdot \frac{p^5}{p^4} \cdot \frac{q^8}{q^7} = 15pq$
• $(\frac{11}{10}p^4q^9) : (\frac{1}{30}p^4q^7) = \frac{11/10}{1/30} \cdot \frac{p^4}{p^4} \cdot \frac{q^9}{q^7} = 33q^2$

Запишем итоговое выражение:

$\frac{1}{30}p^4q^7(10p^2 + 15pq + 33q^2)$

Ответ: $\frac{1}{30}p^4q^7(10p^2 + 15pq + 33q^2)$

455. Разложите многочлен на множители:

а) $16a^2bc^3 - 12ac^3 + 28b^2c^2 - 8abc^5;$

б) $12x^2yz + 18xy^3z^2 - 27x^5z^6 - 24xy^4z^4;$

в) $0,25m^2n^2k - 0,45m^3nk^2 - 1,5mn^3k^2 - 0,05m^5n^3k;$

г) $1,42x^2y^4z^3 - 2\frac{1}{2}xy^3z^2 - 0,2x^3y^2z + 3\frac{1}{3}xy^3z^2;$

д) $\frac{1}{3}a^2bx^3 - 1\frac{1}{2}ab^2x^2 + 0,3a^2x^3 - 1,1a^5b^3x^4.$

а) $16a^2bc^3 - 12ac^3 + 28b^2c^2 - 8abc^5$

Для разложения многочлена на множители найдем наибольший общий делитель (НОД) для всех его членов.
Сначала найдем НОД коэффициентов: НОД(16, 12, 28, 8) = 4.
Затем найдем общие переменные в наименьшей степени:
Для переменной a наименьшая степень в многочлене – 0 (в члене $28b^2c^2$), поэтому a не является общим множителем.
Для переменной b наименьшая степень в многочлене – 0 (в члене $-12ac^3$), поэтому b не является общим множителем.
Для переменной c наименьшие степени в членах: $c^3, c^3, c^2, c^5$. Наименьшая степень – $c^2$.
Таким образом, общий множитель для всего многочлена – это $4c^2$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$16a^2bc^3 - 12ac^3 + 28b^2c^2 - 8abc^5 = 4c^2(\frac{16a^2bc^3}{4c^2} - \frac{12ac^3}{4c^2} + \frac{28b^2c^2}{4c^2} - \frac{8abc^5}{4c^2}) = 4c^2(4a^2bc - 3ac + 7b^2 - 2abc^3)$.

Ответ: $4c^2(4a^2bc - 3ac + 7b^2 - 2abc^3)$

б) $12x^2yz + 18xy^3z^2 - 27x^5z^6 - 24xy^4z^4$

Найдем НОД всех членов многочлена.
НОД коэффициентов: НОД(12, 18, 27, 24) = 3.
Общие переменные в наименьшей степени:
Для x: наименьшая степень $x^1$.
Для y: наименьшая степень $y^0$ (в члене $-27x^5z^6$), поэтому y не является общим множителем.
Для z: наименьшая степень $z^1$.
Общий множитель – это $3xz$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$12x^2yz + 18xy^3z^2 - 27x^5z^6 - 24xy^4z^4 = 3xz(\frac{12x^2yz}{3xz} + \frac{18xy^3z^2}{3xz} - \frac{27x^5z^6}{3xz} - \frac{24xy^4z^4}{3xz}) = 3xz(4xy + 6y^3z - 9x^4z^5 - 8y^4z^3)$.

Ответ: $3xz(4xy + 6y^3z - 9x^4z^5 - 8y^4z^3)$

в) $0,25m^2n^2k - 0,45m^3nk^2 - 1,5mn^3k^2 - 0,05m^5n^3k$

Найдем НОД всех членов многочлена.
НОД коэффициентов: НОД(0.25, 0.45, 1.5, 0.05). Для удобства можно работать с целыми числами, умножив все на 100: НОД(25, 45, 150, 5) = 5. Возвращаясь к десятичным дробям, НОД равен 0,05.
Общие переменные в наименьшей степени:
Для m: наименьшая степень $m^1$.
Для n: наименьшая степень $n^1$.
Для k: наименьшая степень $k^1$.
Общий множитель – это $0.05mnk$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$0.05mnk(\frac{0.25m^2n^2k}{0.05mnk} - \frac{0.45m^3nk^2}{0.05mnk} - \frac{1.5mn^3k^2}{0.05mnk} - \frac{0.05m^5n^3k}{0.05mnk}) = 0.05mnk(5mn - 9m^2k - 30n^2k - m^4n^2)$.

Ответ: $0.05mnk(5mn - 9m^2k - 30n^2k - m^4n^2)$

г) $1,42x^2y^4z^3 - 2\frac{1}{2}xy^3z^2 - 0,2x^3y^2z + 3\frac{1}{3}xy^3z^2$

Сначала упростим выражение, приведя подобные слагаемые: $-2\frac{1}{2}xy^3z^2$ и $3\frac{1}{3}xy^3z^2$.
Переведем коэффициенты в обыкновенные дроби: $-2\frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$ и $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.
Сумма коэффициентов: $-\frac{5}{2} + \frac{10}{3} = -\frac{15}{6} + \frac{20}{6} = \frac{5}{6}$.
Многочлен после упрощения: $1,42x^2y^4z^3 + \frac{5}{6}xy^3z^2 - 0,2x^3y^2z$.
Переведем все коэффициенты в обыкновенные дроби: $1,42 = \frac{142}{100} = \frac{71}{50}$; $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Получаем: $\frac{71}{50}x^2y^4z^3 + \frac{5}{6}xy^3z^2 - \frac{1}{5}x^3y^2z$.
Найдем общий множитель. Общий делитель для переменных: $xy^2z$.
Чтобы получить целые коэффициенты в скобках, вынесем за скобку дробный коэффициент, равный $\frac{1}{НОК(50, 6, 5)} = \frac{1}{150}$.
Общий множитель: $\frac{1}{150}xy^2z$.
Вынесем его за скобки:
$\frac{1}{150}xy^2z \left( \frac{71/50}{1/150}xy^2z^2 + \frac{5/6}{1/150}yz - \frac{1/5}{1/150}x^2 \right) = \frac{1}{150}xy^2z (213xy^2z^2 + 125yz - 30x^2)$.

Ответ: $\frac{1}{150}xy^2z (213xy^2z^2 + 125yz - 30x^2)$

д) $\frac{1}{3}a^2bx^3 - 1\frac{1}{2}ab^2x^2 + 0,3a^2x^3 - 1,1a^5b^3x^4$

В данном многочлене нет подобных слагаемых. Переведем все коэффициенты в обыкновенные дроби.
$-1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$; $0,3 = \frac{3}{10}$; $-1,1 = -\frac{11}{10}$.
Многочлен: $\frac{1}{3}a^2bx^3 - \frac{3}{2}ab^2x^2 + \frac{3}{10}a^2x^3 - \frac{11}{10}a^5b^3x^4$.
Найдем общий множитель.
Общие переменные в наименьшей степени:
Для a: наименьшая степень $a^1$.
Для b: наименьшая степень $b^0$ (в члене $0,3a^2x^3$), не является общим множителем.
Для x: наименьшая степень $x^2$.
Общий делитель для переменных: $ax^2$.
Чтобы получить целые коэффициенты в скобках, вынесем за скобку дробный коэффициент, равный $\frac{1}{НОК(3, 2, 10, 10)} = \frac{1}{30}$.
Общий множитель: $\frac{1}{30}ax^2$.
Вынесем его за скобки:
$\frac{1}{30}ax^2 \left( \frac{1/3}{1/30}abx - \frac{3/2}{1/30}b^2 + \frac{3/10}{1/30}ax - \frac{11/10}{1/30}a^4b^3x^2 \right) = \frac{1}{30}ax^2 (10abx - 45b^2 + 9ax - 33a^4b^3x^2)$.

Ответ: $\frac{1}{30}ax^2 (10abx - 45b^2 + 9ax - 33a^4b^3x^2)$

456. В многочлене $3a^3 - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{3}a - \frac{1}{6}$ вынесите за скобки указанный множитель:

а) $\frac{1}{6}$;

б) $\frac{1}{3}$;

в) $-\frac{1}{2}$;

г) $-2$.

а) Чтобы вынести за скобки множитель $\frac{1}{6}$ из многочлена $3a^3 - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{3}a - \frac{1}{6}$, необходимо каждый член многочлена разделить на этот множитель.
$3a^3 - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{3}a - \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \left( \frac{3a^3}{1/6} - \frac{(1/2)a^2}{1/6} + \frac{(1/3)a}{1/6} - \frac{1/6}{1/6} \right)$
Вычислим каждый коэффициент в скобках:
$3 : \frac{1}{6} = 3 \cdot 6 = 18$
$-\frac{1}{2} : \frac{1}{6} = -\frac{1}{2} \cdot 6 = -3$
$\frac{1}{3} : \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2$
$-\frac{1}{6} : \frac{1}{6} = -1$
Таким образом, после вынесения множителя за скобки получаем: $\frac{1}{6}(18a^3 - 3a^2 + 2a - 1)$.
Ответ: $\frac{1}{6}(18a^3 - 3a^2 + 2a - 1)$

б) Чтобы вынести за скобки множитель $\frac{1}{3}$, разделим каждый член многочлена на $\frac{1}{3}$.
$3a^3 - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{3}a - \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \left( \frac{3a^3}{1/3} - \frac{(1/2)a^2}{1/3} + \frac{(1/3)a}{1/3} - \frac{1/6}{1/3} \right)$
Вычислим каждый коэффициент в скобках:
$3 : \frac{1}{3} = 3 \cdot 3 = 9$
$-\frac{1}{2} : \frac{1}{3} = -\frac{1}{2} \cdot 3 = -\frac{3}{2}$
$\frac{1}{3} : \frac{1}{3} = 1$
$-\frac{1}{6} : \frac{1}{3} = -\frac{1}{6} \cdot 3 = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$
В результате получаем: $\frac{1}{3}(9a^3 - \frac{3}{2}a^2 + a - \frac{1}{2})$.
Ответ: $\frac{1}{3}(9a^3 - \frac{3}{2}a^2 + a - \frac{1}{2})$

в) Чтобы вынести за скобки множитель $-\frac{1}{2}$, разделим каждый член многочлена на $-\frac{1}{2}$. При делении на отрицательное число знаки членов в скобках изменятся на противоположные.
$3a^3 - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{3}a - \frac{1}{6} = -\frac{1}{2} \left( \frac{3a^3}{-1/2} - \frac{(1/2)a^2}{-1/2} + \frac{(1/3)a}{-1/2} - \frac{1/6}{-1/2} \right)$
Вычислим каждый коэффициент в скобках:
$3 : (-\frac{1}{2}) = 3 \cdot (-2) = -6$
$-\frac{1}{2} : (-\frac{1}{2}) = 1$
$\frac{1}{3} : (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (-2) = -\frac{2}{3}$
$-\frac{1}{6} : (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{6} \cdot (-2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
В результате получаем: $-\frac{1}{2}(-6a^3 + a^2 - \frac{2}{3}a + \frac{1}{3})$.
Ответ: $-\frac{1}{2}(-6a^3 + a^2 - \frac{2}{3}a + \frac{1}{3})$

г) Чтобы вынести за скобки множитель $-2$, разделим каждый член многочлена на $-2$.
$3a^3 - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{3}a - \frac{1}{6} = -2 \left( \frac{3a^3}{-2} - \frac{(1/2)a^2}{-2} + \frac{(1/3)a}{-2} - \frac{1/6}{-2} \right)$
Вычислим каждый коэффициент в скобках:
$3 : (-2) = -\frac{3}{2}$
$-\frac{1}{2} : (-2) = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$
$\frac{1}{3} : (-2) = \frac{1}{3} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{6}$
$-\frac{1}{6} : (-2) = (-\frac{1}{6}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{12}$
В результате получаем: $-2(-\frac{3}{2}a^3 + \frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{6}a + \frac{1}{12})$.
Ответ: $-2(-\frac{3}{2}a^3 + \frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{6}a + \frac{1}{12})$

457. Вместо букв C и D подберите одночлены так, чтобы выполнялось равенство:

а) $3a^2b - 9a^3b^5 = C(1 - 3ab^4)$;

б) $14m^3x^2 + 21m^5x^4 = C(2 + 3m^2x^2)$;

в) $6x^2y^3 - D = 3x^2y(C - 5x^4y^3)$;

г) $4m^3n^2 + C = D(2m^2 + 3n^4)$.

а) В равенстве $3a^2b - 9a^3b^5 = C(1 - 3ab^4)$ необходимо найти одночлен $C$. Для этого вынесем общий множитель за скобки в левой части выражения. Наибольший общий делитель (НОД) для одночленов $3a^2b$ и $9a^3b^5$ является $3a^2b$.
Выполним вынесение за скобки: $3a^2b - 9a^3b^5 = 3a^2b(\frac{3a^2b}{3a^2b} - \frac{9a^3b^5}{3a^2b}) = 3a^2b(1 - 3ab^4)$.
Сравнивая полученное выражение с правой частью исходного равенства $C(1 - 3ab^4)$, видим, что $C$ равно общему множителю, который мы вынесли.
Ответ: $C = 3a^2b$.

б) В равенстве $14m^3x^2 + 21m^5x^4 = C(2 + 3m^2x^2)$ найдем $C$, вынеся общий множитель из левой части. НОД для одночленов $14m^3x^2$ и $21m^5x^4$ равен $7m^3x^2$.
Вынесем его за скобки: $14m^3x^2 + 21m^5x^4 = 7m^3x^2(\frac{14m^3x^2}{7m^3x^2} + \frac{21m^5x^4}{7m^3x^2}) = 7m^3x^2(2 + 3m^2x^2)$.
Сравнив результат с правой частью равенства $C(2 + 3m^2x^2)$, получаем искомый одночлен.
Ответ: $C = 7m^3x^2$.

в) Рассмотрим равенство $6x^2y^3 - D = 3x^2y(C - 5x^4y^3)$. Сначала раскроем скобки в правой части: $3x^2y(C - 5x^4y^3) = 3x^2y \cdot C - 3x^2y \cdot 5x^4y^3 = 3x^2yC - 15x^6y^4$.
Теперь равенство имеет вид: $6x^2y^3 - D = 3x^2yC - 15x^6y^4$.
Приравнивая соответствующие члены в левой и правой частях уравнения, получаем систему:
1) $6x^2y^3 = 3x^2yC$
2) $-D = -15x^6y^4$
Из первого равенства находим $C$: $C = \frac{6x^2y^3}{3x^2y} = 2y^2$.
Из второго равенства находим $D$: $D = 15x^6y^4$.
Ответ: $C = 2y^2$, $D = 15x^6y^4$.

г) В равенстве $4m^3n^2 + C = D(2m^2 + 3n^4)$ раскроем скобки справа: $D(2m^2 + 3n^4) = 2m^2D + 3n^4D$.
Приравняем левую и правую части: $4m^3n^2 + C = 2m^2D + 3n^4D$.
Сопоставляя слагаемые, получаем два уравнения:
1) $4m^3n^2 = 2m^2D$
2) $C = 3n^4D$
Из первого уравнения выражаем $D$: $D = \frac{4m^3n^2}{2m^2} = 2mn^2$.
Подставляем найденное значение $D$ во второе уравнение, чтобы найти $C$: $C = 3n^4(2mn^2) = 6mn^6$.
Ответ: $C = 6mn^6$, $D = 2mn^2$.