Страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

476. Доказываем. Задача Софии Жермен. Докажите, что при любых натуральных $a \neq 1$ каждое число вида $a^4 + 4$ является составным числом.

Доказательство.

Чтобы доказать, что число вида $a^4 + 4$ является составным при любом натуральном $a \neq 1$, необходимо представить его в виде произведения двух целых чисел, каждое из которых больше единицы.

Рассмотрим выражение $a^4 + 4$. Для его разложения на множители воспользуемся методом выделения полного квадрата. Добавим и вычтем слагаемое $4a^2$:

$a^4 + 4 = a^4 + 4a^2 + 4 - 4a^2$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат $(a^2+2)^2$. Выражение примет вид разности квадратов:

$(a^4 + 4a^2 + 4) - 4a^2 = (a^2 + 2)^2 - (2a)^2$

Теперь можно применить формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$(a^2 + 2)^2 - (2a)^2 = (a^2 + 2 - 2a)(a^2 + 2 + 2a)$

Итак, мы получили разложение: $a^4 + 4 = (a^2 - 2a + 2)(a^2 + 2a + 2)$.

Теперь необходимо показать, что при $a \ge 2$ (поскольку $a$ — натуральное число и $a \neq 1$) оба множителя являются целыми числами, которые больше 1.

Рассмотрим первый множитель: $a^2 - 2a + 2$. Его можно представить в виде $(a-1)^2 + 1$. Так как по условию $a \ge 2$, то $a-1 \ge 1$. Следовательно, $(a-1)^2 \ge 1$, а весь множитель $(a-1)^2 + 1 \ge 1 + 1 = 2$. Значит, первый множитель больше 1.

Рассмотрим второй множитель: $a^2 + 2a + 2$. Так как $a \ge 2$, то $a^2 \ge 4$ и $2a \ge 4$. Следовательно, весь множитель $a^2 + 2a + 2 \ge 4 + 4 + 2 = 10$. Значит, второй множитель также больше 1.

Мы представили число $a^4 + 4$ в виде произведения двух целых чисел, каждое из которых больше 1. Это по определению означает, что число $a^4 + 4$ является составным для любого натурального $a > 1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Разложите многочлен на множители (477-479):

477. а) $x^4 - 3x^2 + 2$;

б) $b^2c^2 - 4bc - b^2 - c^2 + 1$;

В) $y^2 - 10y + 25 - 4x^2$;

Г) $(a + b)^3 - a^3 - b^3$;

Д) $x^{16} - y^{16}$;

е) $x^4 - 3x^2 + 1$;

Ж) $x^4 - 8x^2 + 4$;

З) $x^4 - 7x^2 + 1$;

И) $x^4 + 12x^2 + 64$;

К) $x^4 + x^2 - 2.

а)

Данный многочлен $x^4 - 3x^2 + 2$ является биквадратным. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Тогда многочлен примет вид:

$t^2 - 3t + 2$

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 3t + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

Тогда квадратный трехчлен можно разложить на множители: $(t - 1)(t - 2)$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив обратно $t = x^2$:

$(x^2 - 1)(x^2 - 2)$

Первый множитель $x^2 - 1$ является разностью квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Итоговое разложение:

$(x - 1)(x + 1)(x^2 - 2)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x^2 - 2)$

б)

Для разложения многочлена $b^2c^2 - 4bc - b^2 - c^2 + 1$ сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты.

Перепишем выражение, сгруппировав члены: $(b^2c^2 - 2bc + 1) - (b^2 + 2bc + c^2)$.

Первая группа $(b^2c^2 - 2bc + 1)$ является полным квадратом разности $(bc - 1)^2$.

Вторая группа $(b^2 + 2bc + c^2)$ является полным квадратом суммы $(b + c)^2$.

Тогда выражение принимает вид:

$(bc - 1)^2 - (b + c)^2$

Это разность квадратов $A^2 - B^2$, где $A = bc - 1$ и $B = b + c$. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:

$((bc - 1) - (b + c))((bc - 1) + (b + c))$

Раскроем внутренние скобки:

$(bc - 1 - b - c)(bc - 1 + b + c)$

Ответ: $(bc - b - c - 1)(bc + b + c - 1)$

в)

В многочлене $y^2 - 10y + 25 - 4x^2$ первые три слагаемых образуют полный квадрат.

$y^2 - 10y + 25 = (y - 5)^2$

Теперь выражение выглядит так:

$(y - 5)^2 - 4x^2$

Заметим, что $4x^2 = (2x)^2$. Получаем разность квадратов:

$(y - 5)^2 - (2x)^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = y - 5$ и $b = 2x$:

$((y - 5) - 2x)((y - 5) + 2x)$

$(y - 2x - 5)(y + 2x - 5)$

Ответ: $(y - 2x - 5)(y + 2x - 5)$

г)

Раскроем куб суммы в выражении $(a + b)^3 - a^3 - b^3$.

Формула куба суммы: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Подставим это в исходное выражение:

$(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - a^3 - b^3$

Сократим $a^3$ и $b^3$:

$3a^2b + 3ab^2$

Вынесем общий множитель $3ab$ за скобки:

$3ab(a + b)$

Ответ: $3ab(a + b)$

д)

Для разложения $x^{16} - y^{16}$ последовательно применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$x^{16} - y^{16} = (x^8)^2 - (y^8)^2 = (x^8 - y^8)(x^8 + y^8)$

Продолжаем разложение для множителя $(x^8 - y^8)$:

$(x^8 - y^8) = (x^4)^2 - (y^4)^2 = (x^4 - y^4)(x^4 + y^4)$

Продолжаем для $(x^4 - y^4)$:

$(x^4 - y^4) = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$

И, наконец, для $(x^2 - y^2)$:

$(x^2 - y^2) = (x - y)(x + y)$

Собираем все множители вместе. Суммы квадратов $(x^2 + y^2)$, $(x^4 + y^4)$, $(x^8 + y^8)$ далее не раскладываются на множители с действительными коэффициентами.

Ответ: $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)(x^8 + y^8)$

е)

Чтобы разложить $x^4 - 3x^2 + 1$, используем метод выделения полного квадрата. Представим $-3x^2$ как $-2x^2 - x^2$.

$x^4 - 2x^2 + 1 - x^2$

Сгруппируем первые три члена: $(x^4 - 2x^2 + 1) - x^2$.

Выражение в скобках является полным квадратом: $(x^2 - 1)^2$.

Получаем $(x^2 - 1)^2 - x^2$.

Это разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$((x^2 - 1) - x)((x^2 - 1) + x)$

$(x^2 - x - 1)(x^2 + x - 1)$

Ответ: $(x^2 - x - 1)(x^2 + x - 1)$

ж)

Разложим на множители $x^4 - 8x^2 + 4$, используя метод выделения полного квадрата.

Чтобы получить полный квадрат из $x^4$ и $4$, нам нужен член $\pm 4x^2$. Выберем $-4x^2$.

Представим $-8x^2$ как $-4x^2 - 4x^2$:

$x^4 - 4x^2 + 4 - 4x^2$

Сгруппируем первые три члена: $(x^4 - 4x^2 + 4) - 4x^2$.

Выражение в скобках — это $(x^2 - 2)^2$. А $4x^2 = (2x)^2$.

Получаем разность квадратов: $(x^2 - 2)^2 - (2x)^2$.

Раскладываем по формуле:

$((x^2 - 2) - 2x)((x^2 - 2) + 2x)$

$(x^2 - 2x - 2)(x^2 + 2x - 2)$

Ответ: $(x^2 - 2x - 2)(x^2 + 2x - 2)$

з)

Разложим на множители $x^4 - 7x^2 + 1$ методом выделения полного квадрата.

Чтобы получить полный квадрат из $x^4$ и $1$, нам нужен член $\pm 2x^2$. Выберем $+2x^2$.

Представим $-7x^2$ как $+2x^2 - 9x^2$:

$x^4 + 2x^2 + 1 - 9x^2$

Сгруппируем: $(x^4 + 2x^2 + 1) - 9x^2$.

Выражение в скобках — это $(x^2 + 1)^2$. А $9x^2 = (3x)^2$.

Получаем разность квадратов: $(x^2 + 1)^2 - (3x)^2$.

Раскладываем по формуле:

$((x^2 + 1) - 3x)((x^2 + 1) + 3x)$

$(x^2 - 3x + 1)(x^2 + 3x + 1)$

Ответ: $(x^2 - 3x + 1)(x^2 + 3x + 1)$

и)

Разложим на множители $x^4 + 12x^2 + 64$ методом выделения полного квадрата.

Для полного квадрата из $x^4$ и $64$ нужен член $2 \cdot x^2 \cdot 8 = 16x^2$.

Представим $12x^2$ как $16x^2 - 4x^2$:

$x^4 + 16x^2 + 64 - 4x^2$

Сгруппируем: $(x^4 + 16x^2 + 64) - 4x^2$.

Выражение в скобках — это $(x^2 + 8)^2$. А $4x^2 = (2x)^2$.

Получаем разность квадратов: $(x^2 + 8)^2 - (2x)^2$.

Раскладываем по формуле:

$((x^2 + 8) - 2x)((x^2 + 8) + 2x)$

$(x^2 - 2x + 8)(x^2 + 2x + 8)$

Ответ: $(x^2 - 2x + 8)(x^2 + 2x + 8)$

к)

Данный многочлен $x^4 + x^2 - 2$ является биквадратным. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$.

$t^2 + t - 2$

Чтобы разложить этот квадратный трехчлен, найдем два числа, произведение которых равно -2, а сумма равна 1. Это числа 2 и -1.

Следовательно, $t^2 + t - 2 = (t + 2)(t - 1)$.

Вернемся к переменной $x$, подставив $t = x^2$:

$(x^2 + 2)(x^2 - 1)$

Множитель $(x^2 - 1)$ является разностью квадратов:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Итоговое разложение:

$(x^2 + 2)(x - 1)(x + 1)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 2)$

478. а) $x^2 - y^2 - 10x - 12y - 11$;

Б) $x^2 - y^2 + 8x + 10y - 9$;

В) $4x^2 - y^2 - 4x - 6y - 8$;

Г) $x^2 - 4y^2 + 10x + 4y + 24$.

а)

Для разложения на множители данного выражения сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и с переменной $y$, а затем выделим полные квадраты.
$x^2 - y^2 - 10x - 12y - 11 = (x^2 - 10x) - (y^2 + 12y) - 11$.
Выделим полный квадрат для выражения с $x$:
$x^2 - 10x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 - 5^2 = (x - 5)^2 - 25$.
Выделим полный квадрат для выражения с $y$:
$y^2 + 12y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 6 + 6^2 - 6^2 = (y + 6)^2 - 36$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$((x - 5)^2 - 25) - ((y + 6)^2 - 36) - 11 = (x - 5)^2 - 25 - (y + 6)^2 + 36 - 11$.
Сложим числовые слагаемые: $-25 + 36 - 11 = 0$.
В результате получаем разность квадратов: $(x - 5)^2 - (y + 6)^2$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$((x - 5) - (y + 6))((x - 5) + (y + 6)) = (x - 5 - y - 6)(x - 5 + y + 6) = (x - y - 11)(x + y + 1)$.

Ответ: $(x - y - 11)(x + y + 1)$.

б)

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и с переменной $y$ и выделим полные квадраты.
$x^2 - y^2 + 8x + 10y - 9 = (x^2 + 8x) - (y^2 - 10y) - 9$.
Выделим полный квадрат для $x$: $x^2 + 8x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 - 4^2 = (x + 4)^2 - 16$.
Выделим полный квадрат для $y$: $y^2 - 10y = y^2 - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^2 - 5^2 = (y - 5)^2 - 25$.
Подставим в исходное выражение:
$((x + 4)^2 - 16) - ((y - 5)^2 - 25) - 9 = (x + 4)^2 - 16 - (y - 5)^2 + 25 - 9$.
Сложим числовые слагаемые: $-16 + 25 - 9 = 0$.
Получаем разность квадратов: $(x + 4)^2 - (y - 5)^2$.
Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$((x + 4) - (y - 5))((x + 4) + (y - 5)) = (x + 4 - y + 5)(x + 4 + y - 5) = (x - y + 9)(x + y - 1)$.

Ответ: $(x - y + 9)(x + y - 1)$.

в)

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и с переменной $y$ и выделим полные квадраты.
$4x^2 - y^2 - 4x - 6y - 8 = (4x^2 - 4x) - (y^2 + 6y) - 8$.
Выделим полный квадрат для $x$: $4x^2 - 4x = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 - 1^2 = (2x - 1)^2 - 1$.
Выделим полный квадрат для $y$: $y^2 + 6y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 - 3^2 = (y + 3)^2 - 9$.
Подставим в исходное выражение:
$((2x - 1)^2 - 1) - ((y + 3)^2 - 9) - 8 = (2x - 1)^2 - 1 - (y + 3)^2 + 9 - 8$.
Сложим числовые слагаемые: $-1 + 9 - 8 = 0$.
Получаем разность квадратов: $(2x - 1)^2 - (y + 3)^2$.
Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$((2x - 1) - (y + 3))((2x - 1) + (y + 3)) = (2x - 1 - y - 3)(2x - 1 + y + 3) = (2x - y - 4)(2x + y + 2)$.

Ответ: $(2x - y - 4)(2x + y + 2)$.

г)

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и с переменной $y$ и выделим полные квадраты.
$x^2 - 4y^2 + 10x + 4y + 24 = (x^2 + 10x) - (4y^2 - 4y) + 24$.
Выделим полный квадрат для $x$: $x^2 + 10x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 - 5^2 = (x + 5)^2 - 25$.
Выделим полный квадрат для $y$: $4y^2 - 4y = (2y)^2 - 2 \cdot (2y) \cdot 1 + 1^2 - 1^2 = (2y - 1)^2 - 1$.
Подставим в исходное выражение:
$((x + 5)^2 - 25) - ((2y - 1)^2 - 1) + 24 = (x + 5)^2 - 25 - (2y - 1)^2 + 1 + 24$.
Сложим числовые слагаемые: $-25 + 1 + 24 = 0$.
Получаем разность квадратов: $(x + 5)^2 - (2y - 1)^2$.
Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$((x + 5) - (2y - 1))((x + 5) + (2y - 1)) = (x + 5 - 2y + 1)(x + 5 + 2y - 1) = (x - 2y + 6)(x + 2y + 4)$.

Ответ: $(x - 2y + 6)(x + 2y + 4)$.

479. a) $9x - 6x^2 + x^3;$

в) $25x - 10x^2 + x^3;$

д) $x^2 - 6x + 8;$

ж) $x^8 + 3x^4 + 4;$

и) $x^8 + x^4 + 1;$

л) $x^3 + 3x^2 + 3x - 26;$

б) $36x + 12x^2 + x^3;$

г) $x^2 - 12x + 35;$

e) $x^2 - 11x + 10;$

з) $x^8 - 5x^4 + 4;$

к) $x^3 - 3x^2 + 3x + 7;$

м) $x^3 + 3x^2 + 3x - 7.$

а) Для разложения многочлена $9x - 6x^2 + x^3$ на множители сначала переставим его члены в порядке убывания степеней: $x^3 - 6x^2 + 9x$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x^2 - 6x + 9)$.

Выражение в скобках, $x^2 - 6x + 9$, является полным квадратом разности, так как соответствует формуле сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=3$.

Таким образом, $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.

В результате получаем: $x(x-3)^2$.

Ответ: $x(x-3)^2$.

б) Переставим члены многочлена $36x + 12x^2 + x^3$ в порядке убывания степеней: $x^3 + 12x^2 + 36x$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x^2 + 12x + 36)$.

Выражение в скобках, $x^2 + 12x + 36$, является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=6$.

Таким образом, $x^2 + 12x + 36 = (x+6)^2$.

В результате получаем: $x(x+6)^2$.

Ответ: $x(x+6)^2$.

в) Переставим члены многочлена $25x - 10x^2 + x^3$ в порядке убывания степеней: $x^3 - 10x^2 + 25x$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x^2 - 10x + 25)$.

Выражение в скобках, $x^2 - 10x + 25$, является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=5$.

Таким образом, $x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$.

В результате получаем: $x(x-5)^2$.

Ответ: $x(x-5)^2$.

г) Для разложения квадратного трехчлена $x^2 - 12x + 35$ на множители найдем два числа, произведение которых равно $35$, а сумма равна $-12$.

Такими числами являются $-5$ и $-7$, так как $(-5) \cdot (-7) = 35$ и $(-5) + (-7) = -12$.

Следовательно, трехчлен раскладывается на множители: $(x-5)(x-7)$.

Ответ: $(x-5)(x-7)$.

д) Для разложения квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 8$ на множители найдем два числа, произведение которых равно $8$, а сумма равна $-6$.

Такими числами являются $-2$ и $-4$, так как $(-2) \cdot (-4) = 8$ и $(-2) + (-4) = -6$.

Следовательно, трехчлен раскладывается на множители: $(x-2)(x-4)$.

Ответ: $(x-2)(x-4)$.

е) Для разложения квадратного трехчлена $x^2 - 11x + 10$ на множители найдем два числа, произведение которых равно $10$, а сумма равна $-11$.

Такими числами являются $-1$ и $-10$, так как $(-1) \cdot (-10) = 10$ и $(-1) + (-10) = -11$.

Следовательно, трехчлен раскладывается на множители: $(x-1)(x-10)$.

Ответ: $(x-1)(x-10)$.

ж) Для разложения многочлена $x^8 + 3x^4 + 4$ применим метод выделения полного квадрата. Дополним выражение до полного квадрата $(x^4+2)^2 = x^8 + 4x^4 + 4$.

$x^8 + 3x^4 + 4 = (x^8 + 4x^4 + 4) - x^4 = (x^4+2)^2 - (x^2)^2$.

Теперь применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^4+2$ и $b=x^2$.

$(x^4+2 - x^2)(x^4+2 + x^2) = (x^4 - x^2 + 2)(x^4 + x^2 + 2)$.

Ответ: $(x^4 - x^2 + 2)(x^4 + x^2 + 2)$.

з) Для разложения многочлена $x^8 - 5x^4 + 4$ сделаем замену $y = x^4$. Выражение примет вид $y^2 - 5y + 4$.

Разложим полученный квадратный трехчлен на множители. Найдем два числа, произведение которых равно $4$, а сумма $-5$. Это числа $-1$ и $-4$.

Таким образом, $y^2 - 5y + 4 = (y-1)(y-4)$.

Вернемся к исходной переменной: $(x^4-1)(x^4-4)$.

Каждый из множителей можно разложить дальше по формуле разности квадратов:

$x^4-1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1)$.

$x^4-4 = (x^2)^2 - 2^2 = (x^2-2)(x^2+2)$.

Объединяя все множители, получаем окончательный ответ.

Ответ: $(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^2-2)(x^2+2)$.

и) Для разложения многочлена $x^8 + x^4 + 1$ применим метод выделения полного квадрата. Дополним выражение до полного квадрата $(x^4+1)^2 = x^8 + 2x^4 + 1$.

$x^8 + x^4 + 1 = (x^8 + 2x^4 + 1) - x^4 = (x^4+1)^2 - (x^2)^2$.

Применим формулу разности квадратов: $(x^4+1-x^2)(x^4+1+x^2) = (x^4-x^2+1)(x^4+x^2+1)$.

Множитель $x^4+x^2+1$ также можно разложить, выделив полный квадрат: $x^4+x^2+1 = (x^4+2x^2+1)-x^2 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2+1-x)(x^2+1+x)$.

Множитель $x^4-x^2+1$ является неприводимым над целыми числами.

Собираем все вместе.

Ответ: $(x^4 - x^2 + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$.

к) Выражение $x^3 - 3x^2 + 3x + 7$ похоже на формулу куба разности $(x-1)^3 = x^3-3x^2+3x-1$.

Представим многочлен в виде: $(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) + 8 = (x-1)^3 + 2^3$.

Теперь применим формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a=x-1$ и $b=2$.

$((x-1)+2)((x-1)^2 - (x-1) \cdot 2 + 2^2) = (x+1)(x^2-2x+1 - 2x+2 + 4) = (x+1)(x^2-4x+7)$.

Ответ: $(x+1)(x^2-4x+7)$.

л) Выражение $x^3 + 3x^2 + 3x - 26$ похоже на формулу куба суммы $(x+1)^3 = x^3+3x^2+3x+1$.

Представим многочлен в виде: $(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - 27 = (x+1)^3 - 3^3$.

Теперь применим формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=x+1$ и $b=3$.

$((x+1)-3)((x+1)^2 + (x+1) \cdot 3 + 3^2) = (x-2)(x^2+2x+1 + 3x+3 + 9) = (x-2)(x^2+5x+13)$.

Ответ: $(x-2)(x^2+5x+13)$.

м) Выражение $x^3 + 3x^2 + 3x - 7$ похоже на формулу куба суммы $(x+1)^3 = x^3+3x^2+3x+1$.

Представим многочлен в виде: $(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - 8 = (x+1)^3 - 2^3$.

Теперь применим формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=x+1$ и $b=2$.

$((x+1)-2)((x+1)^2 + (x+1) \cdot 2 + 2^2) = (x-1)(x^2+2x+1 + 2x+2 + 4) = (x-1)(x^2+4x+7)$.

Ответ: $(x-1)(x^2+4x+7)$.