Страница 129 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

496. Верно ли, что любые две алгебраические дроби можно привести к общему знаменателю, равному произведению знаменателей данных дробей?

Да, это утверждение верно. Любые две алгебраические дроби можно привести к общему знаменателю, который равен произведению их знаменателей.

Рассмотрим две произвольные алгебраические дроби: $$ \frac{A}{B} \quad \text{и} \quad \frac{C}{D} $$ где $A, B, C, D$ — многочлены, причем по определению алгебраической дроби ее знаменатель не может быть тождественно равен нулю, то есть $B \neq 0$ и $D \neq 0$.

Чтобы привести эти дроби к общему знаменателю, равному произведению их знаменателей $B \cdot D$, мы должны умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель, используя основное свойство дроби.

1. Для первой дроби $\frac{A}{B}$ дополнительным множителем будет знаменатель второй дроби, то есть многочлен $D$. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $D$: $$ \frac{A}{B} = \frac{A \cdot D}{B \cdot D} $$ Это преобразование является тождественным, так как мы умножаем дробь на $\frac{D}{D} = 1$ (поскольку $D \neq 0$).

2. Для второй дроби $\frac{C}{D}$ дополнительным множителем будет знаменатель первой дроби, то есть многочлен $B$. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $B$: $$ \frac{C}{D} = \frac{C \cdot B}{D \cdot B} $$ Это преобразование также является тождественным, так как мы умножаем дробь на $\frac{B}{B} = 1$ (поскольку $B \neq 0$).

В результате мы получили две дроби: $$ \frac{A \cdot D}{B \cdot D} \quad \text{и} \quad \frac{C \cdot B}{B \cdot D} $$ Эти дроби имеют одинаковый знаменатель $B \cdot D$, который является произведением знаменателей исходных дробей. Таким образом, мы привели исходные дроби к общему знаменателю, равному произведению их знаменателей.

Пример: Приведем дроби $\frac{2a}{x-y}$ и $\frac{5b}{x+y}$ к общему знаменателю.

Знаменатели дробей: $(x-y)$ и $(x+y)$.
Их произведение, которое будет общим знаменателем: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $(x+y)$, а второй — на $(x-y)$: $$ \frac{2a}{x-y} = \frac{2a \cdot (x+y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{2ax+2ay}{x^2-y^2} $$ $$ \frac{5b}{x+y} = \frac{5b \cdot (x-y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{5bx-5by}{x^2-y^2} $$ Обе дроби приведены к общему знаменателю $x^2-y^2$.

Следует отметить, что произведение знаменателей не всегда является наименьшим общим знаменателем, но оно всегда является одним из возможных общих знаменателей.

Ответ: Да, верно.

Приведите к общему знаменателю дроби (497–502):

497. а) $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{4}{5} $;

б) $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{6}{7} $;

в) $ \frac{8}{9} $ и $ \frac{5}{-9} $;

г) $ \frac{4}{5} $ и $ \frac{3}{-7} $;

д) $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{5}{6} $;

е) $ \frac{13}{14} $ и $ \frac{6}{7} $;

ж) $ \frac{7}{9} $ и $ \frac{5}{-3} $;

з) $ \frac{1}{5} $ и $ \frac{3}{-10} $;

и) $ \frac{3}{10} $ и $ \frac{4}{15} $;

к) $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{1}{16} $;

л) $ \frac{8}{14} $ и $ \frac{5}{-21} $;

м) $ \frac{7}{24} $ и $ \frac{1}{-18} $.

а) Даны дроби $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{4}{5} $. Знаменатели 3 и 5 являются взаимно простыми числами, поэтому наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен их произведению: НОЗ = $ 3 \cdot 5 = 15 $. Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби дополнительный множитель равен $ 15 \div 3 = 5 $. Для второй дроби дополнительный множитель равен $ 15 \div 5 = 3 $. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель: $ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15} $ и $ \frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15} $.
Ответ: $ \frac{10}{15} $ и $ \frac{12}{15} $.

б) Даны дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{6}{7} $. Знаменатели 4 и 7 — взаимно простые числа, поэтому НОЗ равен их произведению: НОЗ = $ 4 \cdot 7 = 28 $. Дополнительный множитель для дроби $ \frac{3}{4} $ равен $ 28 \div 4 = 7 $. Дополнительный множитель для дроби $ \frac{6}{7} $ равен $ 28 \div 7 = 4 $. Приводим дроби к общему знаменателю: $ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{21}{28} $ и $ \frac{6}{7} = \frac{6 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{24}{28} $.
Ответ: $ \frac{21}{28} $ и $ \frac{24}{28} $.

в) Даны дроби $ \frac{8}{9} $ и $ \frac{5}{-9} $. Сначала преобразуем вторую дробь, перенеся знак минус из знаменателя в числитель: $ \frac{5}{-9} = \frac{-5}{9} $. Теперь имеем дроби $ \frac{8}{9} $ и $ \frac{-5}{9} $. Их знаменатели уже одинаковы и равны 9, поэтому дроби приведены к общему знаменателю.
Ответ: $ \frac{8}{9} $ и $ \frac{-5}{9} $.

г) Даны дроби $ \frac{4}{5} $ и $ \frac{3}{-7} $. Преобразуем вторую дробь: $ \frac{3}{-7} = \frac{-3}{7} $. Теперь нужно привести к общему знаменателю дроби $ \frac{4}{5} $ и $ \frac{-3}{7} $. Знаменатели 5 и 7 — взаимно простые, поэтому НОЗ = $ 5 \cdot 7 = 35 $. Дополнительные множители: для $ \frac{4}{5} $ это $ 35 \div 5 = 7 $, для $ \frac{-3}{7} $ это $ 35 \div 7 = 5 $. Умножаем: $ \frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{28}{35} $ и $ \frac{-3}{7} = \frac{-3 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{-15}{35} $.
Ответ: $ \frac{28}{35} $ и $ \frac{-15}{35} $.

д) Даны дроби $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{5}{6} $. Знаменатель одной дроби (6) делится на знаменатель другой дроби (3). В этом случае наименьший общий знаменатель равен большему из знаменателей, то есть 6. Для дроби $ \frac{5}{6} $ знаменатель уже 6. Для дроби $ \frac{2}{3} $ найдем дополнительный множитель: $ 6 \div 3 = 2 $. Приводим первую дробь к знаменателю 6: $ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6} $.
Ответ: $ \frac{4}{6} $ и $ \frac{5}{6} $.

е) Даны дроби $ \frac{13}{14} $ и $ \frac{6}{7} $. Знаменатель 14 делится на 7, поэтому НОЗ равен 14. Дробь $ \frac{13}{14} $ уже имеет нужный знаменатель. Для дроби $ \frac{6}{7} $ дополнительный множитель равен $ 14 \div 7 = 2 $. Умножаем: $ \frac{6}{7} = \frac{6 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{12}{14} $.
Ответ: $ \frac{13}{14} $ и $ \frac{12}{14} $.

ж) Даны дроби $ \frac{7}{9} $ и $ \frac{5}{-3} $. Преобразуем вторую дробь: $ \frac{5}{-3} = \frac{-5}{3} $. Получили дроби $ \frac{7}{9} $ и $ \frac{-5}{3} $. Знаменатель 9 делится на 3, поэтому НОЗ равен 9. Для дроби $ \frac{-5}{3} $ дополнительный множитель равен $ 9 \div 3 = 3 $. Приводим вторую дробь к знаменателю 9: $ \frac{-5}{3} = \frac{-5 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{-15}{9} $.
Ответ: $ \frac{7}{9} $ и $ \frac{-15}{9} $.

з) Даны дроби $ \frac{1}{5} $ и $ \frac{3}{-10} $. Преобразуем вторую дробь: $ \frac{3}{-10} = \frac{-3}{10} $. Получили дроби $ \frac{1}{5} $ и $ \frac{-3}{10} $. Знаменатель 10 делится на 5, поэтому НОЗ равен 10. Для дроби $ \frac{1}{5} $ дополнительный множитель $ 10 \div 5 = 2 $. Умножаем: $ \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{10} $.
Ответ: $ \frac{2}{10} $ и $ \frac{-3}{10} $.

и) Даны дроби $ \frac{3}{10} $ и $ \frac{4}{15} $. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 10 и 15. Разложим их на простые множители: $ 10 = 2 \cdot 5 $; $ 15 = 3 \cdot 5 $. НОК(10, 15) = $ 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 $. Это будет НОЗ. Дополнительный множитель для $ \frac{3}{10} $ равен $ 30 \div 10 = 3 $. Дополнительный множитель для $ \frac{4}{15} $ равен $ 30 \div 15 = 2 $. Приводим дроби: $ \frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30} $ и $ \frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{8}{30} $.
Ответ: $ \frac{9}{30} $ и $ \frac{8}{30} $.

к) Даны дроби $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{1}{16} $. Найдем НОК знаменателей 12 и 16. $ 12 = 2^2 \cdot 3 $; $ 16 = 2^4 $. НОК(12, 16) = $ 2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48 $. Дополнительные множители: для $ \frac{5}{12} $ это $ 48 \div 12 = 4 $, для $ \frac{1}{16} $ это $ 48 \div 16 = 3 $. Приводим дроби: $ \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 4}{12 \cdot 4} = \frac{20}{48} $ и $ \frac{1}{16} = \frac{1 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{3}{48} $.
Ответ: $ \frac{20}{48} $ и $ \frac{3}{48} $.

л) Даны дроби $ \frac{8}{14} $ и $ \frac{5}{-21} $. Преобразуем вторую дробь: $ \frac{5}{-21} = \frac{-5}{21} $. Найдем НОК для 14 и 21. $ 14 = 2 \cdot 7 $; $ 21 = 3 \cdot 7 $. НОК(14, 21) = $ 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42 $. Дополнительные множители: для $ \frac{8}{14} $ это $ 42 \div 14 = 3 $, для $ \frac{-5}{21} $ это $ 42 \div 21 = 2 $. Приводим дроби: $ \frac{8}{14} = \frac{8 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{24}{42} $ и $ \frac{-5}{21} = \frac{-5 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{-10}{42} $.
Ответ: $ \frac{24}{42} $ и $ \frac{-10}{42} $.

м) Даны дроби $ \frac{7}{24} $ и $ \frac{1}{-18} $. Преобразуем вторую дробь: $ \frac{1}{-18} = \frac{-1}{18} $. Найдем НОК для 24 и 18. $ 24 = 2^3 \cdot 3 $; $ 18 = 2 \cdot 3^2 $. НОК(24, 18) = $ 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72 $. Дополнительные множители: для $ \frac{7}{24} $ это $ 72 \div 24 = 3 $, для $ \frac{-1}{18} $ это $ 72 \div 18 = 4 $. Приводим дроби: $ \frac{7}{24} = \frac{7 \cdot 3}{24 \cdot 3} = \frac{21}{72} $ и $ \frac{-1}{18} = \frac{-1 \cdot 4}{18 \cdot 4} = \frac{-4}{72} $.
Ответ: $ \frac{21}{72} $ и $ \frac{-4}{72} $.