Страница 135 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

522. a) $3 - \frac{7}{m - 2}$;

б) $1 - \frac{x - y}{x + y}$;

в) $\frac{(a + b)^2}{b} - 2a$;

г) $\frac{(a - b)^2}{2a} + b$;

д) $a + b - \frac{a^2 + b^2}{a - b}$;

е) $\frac{a^2 + b^2}{a + b} + a - b.

а) Чтобы представить выражение в виде дроби, приведем его компоненты к общему знаменателю. Общий знаменатель для выражения $3 - \frac{7}{m-2}$ это $(m-2)$.
Представим число $3$ в виде дроби со знаменателем $(m-2)$: $3 = \frac{3(m-2)}{m-2} = \frac{3m-6}{m-2}$.
Теперь выполним вычитание дробей:
$\frac{3m-6}{m-2} - \frac{7}{m-2} = \frac{3m-6-7}{m-2} = \frac{3m-13}{m-2}$.
Ответ: $\frac{3m-13}{m-2}$.

б) Приведем выражение $1 - \frac{x-y}{x+y}$ к общему знаменателю $(x+y)$.
Представим $1$ как дробь со знаменателем $(x+y)$: $1 = \frac{x+y}{x+y}$.
Выполним вычитание дробей, обращая внимание на знак перед второй дробью:
$\frac{x+y}{x+y} - \frac{x-y}{x+y} = \frac{(x+y)-(x-y)}{x+y} = \frac{x+y-x+y}{x+y} = \frac{2y}{x+y}$.
Ответ: $\frac{2y}{x+y}$.

в) Приведем выражение $\frac{(a+b)^2}{b} - 2a$ к общему знаменателю $b$.
Представим $2a$ в виде дроби со знаменателем $b$: $2a = \frac{2a \cdot b}{b} = \frac{2ab}{b}$.
Выполним вычитание:
$\frac{(a+b)^2}{b} - \frac{2ab}{b} = \frac{(a+b)^2 - 2ab}{b}$.
Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$\frac{a^2+2ab+b^2 - 2ab}{b} = \frac{a^2+b^2}{b}$.
Ответ: $\frac{a^2+b^2}{b}$.

г) Приведем выражение $\frac{(a-b)^2}{2a} + b$ к общему знаменателю $2a$.
Представим $b$ в виде дроби со знаменателем $2a$: $b = \frac{b \cdot 2a}{2a} = \frac{2ab}{2a}$.
Выполним сложение дробей:
$\frac{(a-b)^2}{2a} + \frac{2ab}{2a} = \frac{(a-b)^2 + 2ab}{2a}$.
Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:
$\frac{a^2-2ab+b^2 + 2ab}{2a} = \frac{a^2+b^2}{2a}$.
Ответ: $\frac{a^2+b^2}{2a}$.

д) Приведем выражение $a+b - \frac{a^2+b^2}{a-b}$ к общему знаменателю $(a-b)$.
Представим $(a+b)$ в виде дроби со знаменателем $(a-b)$: $a+b = \frac{(a+b)(a-b)}{a-b}$.
Применим в числителе формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$:
$\frac{a^2-b^2}{a-b} - \frac{a^2+b^2}{a-b} = \frac{(a^2-b^2)-(a^2+b^2)}{a-b} = \frac{a^2-b^2-a^2-b^2}{a-b} = \frac{-2b^2}{a-b}$.
Ответ: $\frac{-2b^2}{a-b}$.

е) Приведем выражение $\frac{a^2+b^2}{a+b} + a - b$ к общему знаменателю $(a+b)$.
Представим $(a-b)$ в виде дроби со знаменателем $(a+b)$: $a-b = \frac{(a-b)(a+b)}{a+b}$.
Применим в числителе формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:
$\frac{a^2+b^2}{a+b} + \frac{a^2-b^2}{a+b} = \frac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{a+b} = \frac{a^2+b^2+a^2-b^2}{a+b} = \frac{2a^2}{a+b}$.
Ответ: $\frac{2a^2}{a+b}$.

523. а) $ \frac{a}{b} : \frac{c}{d}; $

б) $ \frac{x}{y} : \frac{a}{b}; $

в) $ \frac{4a}{7b} \cdot \frac{21}{a}; $

г) $ \frac{5}{8} : \frac{15q}{16p}; $

д) $ \frac{5ax}{6by} \cdot \frac{3x}{5y}; $

е) $ \frac{7}{a} \cdot \frac{5ax}{14by}; $

ж) $ \frac{8a^2y}{5bx} : \frac{3ay}{4b^2x}; $

з) $ \frac{25x^2y^3}{36ab} : \frac{35x^3y}{24b^2}; $

а) Чтобы умножить две алгебраические дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Результатом будет новая дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей.
$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} = \frac{ac}{bd}$
Ответ: $\frac{ac}{bd}$

б) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно умножить первую дробь (делимое) на дробь, обратную второй (делителю).
$\frac{x}{y} : \frac{a}{b} = \frac{x}{y} \cdot \frac{b}{a} = \frac{x \cdot b}{y \cdot a} = \frac{xb}{ya}$
Ответ: $\frac{xb}{ya}$

в) Выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели:
$\frac{4a}{7b} \cdot \frac{21}{a} = \frac{4a \cdot 21}{7b \cdot a}$
Теперь сократим полученную дробь. В числителе и знаменателе есть общий множитель $a$, который можно сократить. Также можно сократить числовые коэффициенты: $21$ и $7$ делятся на $7$.
$\frac{4\cancel{a} \cdot (3 \cdot \cancel{7})}{\cancel{7}b \cdot \cancel{a}} = \frac{4 \cdot 3}{b} = \frac{12}{b}$
Ответ: $\frac{12}{b}$

г) Для деления дробей умножим первую дробь на дробь, обратную второй:
$\frac{5}{8} : \frac{15q}{16p} = \frac{5}{8} \cdot \frac{16p}{15q} = \frac{5 \cdot 16p}{8 \cdot 15q}$
Сократим общие множители в числителе и знаменателе. $5$ и $15$ сокращаются на $5$ (остается $1$ в числителе и $3$ в знаменателе). $16$ и $8$ сокращаются на $8$ (остается $2$ в числителе и $1$ в знаменателе).
$\frac{\cancel{5} \cdot (\cancel{8} \cdot 2)p}{\cancel{8} \cdot (\cancel{5} \cdot 3)q} = \frac{2p}{3q}$
Ответ: $\frac{2p}{3q}$

д) Выполним умножение, перемножив числители и знаменатели:
$\frac{5ax}{6by} \cdot \frac{3x}{5y} = \frac{5ax \cdot 3x}{6by \cdot 5y} = \frac{15ax^2}{30by^2}$
Сократим полученную дробь. Коэффициент $15$ и $30$ сокращается на $15$.
$\frac{15ax^2}{30by^2} = \frac{1 \cdot ax^2}{2 \cdot by^2} = \frac{ax^2}{2by^2}$
Ответ: $\frac{ax^2}{2by^2}$

е) Перемножим числители и знаменатели дробей:
$\frac{7}{a} \cdot \frac{5ax}{14by} = \frac{7 \cdot 5ax}{a \cdot 14by}$
Сократим общие множители. Переменная $a$ есть и в числителе, и в знаменателе. Числа $7$ и $14$ сокращаются на $7$.
$\frac{\cancel{7} \cdot 5\cancel{a}x}{\cancel{a} \cdot (\cancel{7} \cdot 2)by} = \frac{5x}{2by}$
Ответ: $\frac{5x}{2by}$

ж) При делении дробей умножаем первую дробь на обратную второй:
$\frac{8a^2y}{5bx} : \frac{3ay}{4b^2x} = \frac{8a^2y}{5bx} \cdot \frac{4b^2x}{3ay} = \frac{8a^2y \cdot 4b^2x}{5bx \cdot 3ay}$
Сгруппируем и сократим коэффициенты и переменные:
$\frac{(8 \cdot 4) \cdot (a^2b^2xy)}{(5 \cdot 3) \cdot (abxy)} = \frac{32}{15} \cdot \frac{a^2}{a} \cdot \frac{b^2}{b} \cdot \frac{x}{x} \cdot \frac{y}{y}$
Используя свойства степеней ($ \frac{m^n}{m^k} = m^{n-k} $), получаем:
$\frac{32}{15} \cdot a^{2-1} \cdot b^{2-1} \cdot x^{1-1} \cdot y^{1-1} = \frac{32}{15} \cdot a \cdot b \cdot 1 \cdot 1 = \frac{32ab}{15}$
Ответ: $\frac{32ab}{15}$

з) Для выполнения деления умножим первую дробь на перевернутую вторую:
$\frac{25x^2y^3}{36ab} : \frac{35x^3y}{24b^2} = \frac{25x^2y^3}{36ab} \cdot \frac{24b^2}{35x^3y} = \frac{25 \cdot 24 \cdot x^2y^3b^2}{36 \cdot 35 \cdot abx^3y}$
Сократим числовые коэффициенты: $\frac{25}{35} = \frac{5}{7}$ (сокращение на 5) и $\frac{24}{36} = \frac{2}{3}$ (сокращение на 12). Итоговый коэффициент: $\frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 3} = \frac{10}{21}$.
Сократим переменные: $\frac{x^2}{x^3} = \frac{1}{x}$, $\frac{y^3}{y} = y^2$, $\frac{b^2}{b} = b$. Переменная $a$ остается в знаменателе.
Объединим результаты:
$\frac{10}{21} \cdot \frac{by^2}{ax} = \frac{10by^2}{21ax}$
Ответ: $\frac{10by^2}{21ax}$

524. а) $a \cdot \frac{a}{b};$

б) $\frac{a}{x} : a;$

в) $\frac{a}{7x} \cdot 5x;$

г) $ab : \frac{a}{b};$

д) $8a : \frac{20a^2b}{3x};$

е) $18p^3 \cdot \frac{5x}{9p^2}.$

а) Чтобы умножить выражение на дробь, необходимо умножить это выражение на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений.
$a \cdot \frac{a}{b} = \frac{a \cdot a}{b} = \frac{a^2}{b}$.
Ответ: $\frac{a^2}{b}$

б) Чтобы разделить дробь на выражение, необходимо умножить знаменатель дроби на это выражение, а числитель оставить без изменений.
$\frac{a}{x} : a = \frac{a}{x \cdot a}$.
Сократим дробь на $a$ (при условии, что $a \neq 0$):
$\frac{a}{xa} = \frac{1}{x}$.
Ответ: $\frac{1}{x}$

в) Чтобы умножить дробь на выражение, умножим числитель дроби на это выражение.
$\frac{a}{7x} \cdot 5x = \frac{a \cdot 5x}{7x}$.
Сократим дробь на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):
$\frac{5ax}{7x} = \frac{5a}{7}$.
Ответ: $\frac{5a}{7}$

г) Чтобы разделить выражение на дробь, нужно умножить это выражение на дробь, обратную данной (перевернутую).
$ab : \frac{a}{b} = ab \cdot \frac{b}{a} = \frac{ab \cdot b}{a} = \frac{ab^2}{a}$.
Сократим дробь на $a$ (при условии, что $a \neq 0$):
$\frac{ab^2}{a} = b^2$.
Ответ: $b^2$

д) Чтобы разделить выражение на дробь, умножим это выражение на обратную дробь.
$8a : \frac{20a^2b}{3x} = 8a \cdot \frac{3x}{20a^2b} = \frac{8a \cdot 3x}{20a^2b} = \frac{24ax}{20a^2b}$.
Сократим числовые коэффициенты на 4, а переменные на $a$ (при условии, что $a \neq 0$):
$\frac{24ax}{20a^2b} = \frac{6x}{5ab}$.
Ответ: $\frac{6x}{5ab}$

е) Чтобы умножить выражение на дробь, умножим это выражение на числитель дроби.
$18p^3 \cdot \frac{5x}{9p^2} = \frac{18p^3 \cdot 5x}{9p^2}$.
Сократим дробь: числовые коэффициенты 18 и 9 сокращаются на 9, а степени $p^3$ и $p^2$ сокращаются на $p^2$ (при условии, что $p \neq 0$):
$\frac{18p^3 \cdot 5x}{9p^2} = 2p \cdot 5x = 10px$.
Ответ: $10px$

525. a) $\frac{a + 1}{7x} \cdot \frac{2x}{a + 1}$,

б) $\frac{2m}{m - n} : \frac{3mn}{m - n}$,

В) $\frac{4p}{p - 3} \cdot \frac{p - 3}{2p^2}$,

Г) $\frac{x + y}{8a} : \frac{x + y}{16a^2b}$,

Д) $\frac{2x + 2y}{3} \cdot \frac{6}{x + y}$,

е) $\frac{4a}{a^2b} : \frac{5ab}{3a - 3b}$,

Ж) $\frac{m - 3n}{6m} \cdot \frac{3mn}{4m - 12n}$,

З) $\frac{2p - 4q}{3p^2} : \frac{3p - 6q}{4pq}$,

И) $\frac{ax - ay}{cd} \cdot \frac{cx + cy}{x - y}$,

К) $\frac{mk}{am - an} : \frac{ka - k}{2m - 2n}$.

а) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели: $ \frac{a+1}{7x} \cdot \frac{2x}{a+1} = \frac{(a+1) \cdot 2x}{7x \cdot (a+1)} $. Сократим общие множители $ (a+1) $ и $ x $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ x \neq 0 $ и $ a+1 \neq 0 $). Получаем: $ \frac{2}{7} $.
Ответ: $ \frac{2}{7} $.

б) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй: $ \frac{2m}{m-n} : \frac{3mn}{m-n} = \frac{2m}{m-n} \cdot \frac{m-n}{3mn} $. Перемножим числители и знаменатели: $ \frac{2m \cdot (m-n)}{(m-n) \cdot 3mn} $. Сократим общие множители $ m $ и $ (m-n) $ (при условии, что $ m \neq 0, n \neq 0, m \neq n $). Получаем: $ \frac{2}{3n} $.
Ответ: $ \frac{2}{3n} $.

в) Умножаем числители и знаменатели дробей: $ \frac{4p}{p-3} \cdot \frac{p-3}{2p^2} = \frac{4p \cdot (p-3)}{(p-3) \cdot 2p^2} $. Сократим общие множители $ (p-3) $ и $ 2p $ (при условии, что $ p \neq 3 $ и $ p \neq 0 $). Получаем: $ \frac{2}{p} $.
Ответ: $ \frac{2}{p} $.

г) Заменяем деление умножением на обратную дробь: $ \frac{x+y}{8a} : \frac{x+y}{16a^2b} = \frac{x+y}{8a} \cdot \frac{16a^2b}{x+y} = \frac{(x+y) \cdot 16a^2b}{8a \cdot (x+y)} $. Сокращаем общие множители $ (x+y) $ и $ 8a $ (при условии, что $ x+y \neq 0, a \neq 0, b \neq 0 $). Получаем: $ \frac{16a^2b}{8a} = 2ab $.
Ответ: $ 2ab $.

д) Сначала вынесем общий множитель в числителе первой дроби: $ 2x+2y = 2(x+y) $. Тогда выражение примет вид: $ \frac{2(x+y)}{3} \cdot \frac{6}{x+y} $. Перемножаем дроби: $ \frac{2(x+y) \cdot 6}{3 \cdot (x+y)} $. Сокращаем общие множители $ (x+y) $ и $ 3 $ (при условии, что $ x+y \neq 0 $). Получаем: $ \frac{2 \cdot 6}{3} = \frac{12}{3} = 4 $.
Ответ: $ 4 $.

е) Заменяем деление умножением на обратную дробь и выносим общий множитель в знаменателе второй дроби: $ \frac{4a}{a^2b} : \frac{5ab}{3a-3b} = \frac{4a}{a^2b} \cdot \frac{3a-3b}{5ab} = \frac{4a}{a^2b} \cdot \frac{3(a-b)}{5ab} $. Перемножаем дроби: $ \frac{4a \cdot 3(a-b)}{a^2b \cdot 5ab} = \frac{12a(a-b)}{5a^3b^2} $. Сокращаем на $ a $ (при условии, что $ a \neq 0, b \neq 0, a \neq b $). Получаем: $ \frac{12(a-b)}{5a^2b^2} $.
Ответ: $ \frac{12(a-b)}{5a^2b^2} $.

ж) Вынесем общий множитель в знаменателе второй дроби: $ 4m-12n = 4(m-3n) $. Выражение примет вид: $ \frac{m-3n}{6m} \cdot \frac{3mn}{4(m-3n)} $. Перемножаем дроби: $ \frac{(m-3n) \cdot 3mn}{6m \cdot 4(m-3n)} $. Сокращаем общие множители $ (m-3n) $ и $ 3m $ (при условии, что $ m \neq 0, m \neq 3n $). Получаем: $ \frac{n}{2 \cdot 4} = \frac{n}{8} $.
Ответ: $ \frac{n}{8} $.

з) Заменяем деление умножением на обратную дробь. Выносим общие множители: $ 2p-4q=2(p-2q) $ и $ 3p-6q=3(p-2q) $. $ \frac{2p-4q}{3p^2} : \frac{3p-6q}{4pq} = \frac{2(p-2q)}{3p^2} \cdot \frac{4pq}{3(p-2q)} $. Перемножаем дроби: $ \frac{2(p-2q) \cdot 4pq}{3p^2 \cdot 3(p-2q)} $. Сокращаем общие множители $ p $ и $ (p-2q) $ (при условии, что $ p \neq 0, q \neq 0, p \neq 2q $). Получаем: $ \frac{2 \cdot 4q}{3p \cdot 3} = \frac{8q}{9p} $.
Ответ: $ \frac{8q}{9p} $.

и) Вынесем общие множители в числителях: $ ax-ay=a(x-y) $ и $ cx+cy=c(x+y) $. $ \frac{a(x-y)}{cd} \cdot \frac{c(x+y)}{x-y} $. Перемножаем дроби: $ \frac{a(x-y) \cdot c(x+y)}{cd \cdot (x-y)} $. Сокращаем общие множители $ c $ и $ (x-y) $ (при условии, что $ c \neq 0, d \neq 0, x \neq y $). Получаем: $ \frac{a(x+y)}{d} $.
Ответ: $ \frac{a(x+y)}{d} $.

к) Заменяем деление умножением на обратную дробь и выносим общие множители: $ am-an = a(m-n) $, $ 2m-2n=2(m-n) $, $ ka-k=k(a-1) $. $ \frac{mk}{a(m-n)} : \frac{k(a-1)}{2(m-n)} = \frac{mk}{a(m-n)} \cdot \frac{2(m-n)}{k(a-1)} $. Перемножаем дроби: $ \frac{mk \cdot 2(m-n)}{a(m-n) \cdot k(a-1)} $. Сокращаем общие множители $ k $ и $ (m-n) $ (при условии, что $ a \neq 0, k \neq 0, a \neq 1, m \neq n $). Получаем: $ \frac{2m}{a(a-1)} $.
Ответ: $ \frac{2m}{a(a-1)} $.

526. a) $\frac{a^2 - b^2}{2a^2b} \cdot \frac{4ab^2}{a + b};$

Б) $\frac{(x - y)^2}{3x^2y^3} : \frac{x - y}{6xy^2};$

В) $\frac{mn - m^2}{2m} \cdot \frac{8n}{n^2 - m^2};$

Г) $\frac{2a - 4}{b + 1} : \frac{a^2 - 4}{(b + 1)^2};$

Д) $\frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{x^2 - xy}{2x^2 - 2y^2};$

e) $\frac{16 - m^2}{m^2 - 3m} : \frac{m^2 + 4m}{m^2 - 9}.$

а) Для того чтобы умножить дроби $\frac{a^2 - b^2}{2a^2b} \cdot \frac{4ab^2}{a+b}$, сначала разложим на множители числители и знаменатели там, где это возможно. Числитель первой дроби является разностью квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\frac{(a-b)(a+b)}{2a^2b} \cdot \frac{4ab^2}{a+b} = \frac{(a-b)(a+b) \cdot 4ab^2}{2a^2b \cdot (a+b)}$

Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе. Общие множители: $(a+b)$, $2$, $a$, $b$.

$\frac{(a-b)\cancel{(a+b)} \cdot 2 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{a} \cdot b \cdot \cancel{b}}{\cancel{2} \cdot a \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot \cancel{(a+b)}} = \frac{2b(a-b)}{a}$

Ответ: $\frac{2b(a-b)}{a}$.

б) Чтобы разделить дробь $\frac{(x-y)^2}{3x^2y^3}$ на дробь $\frac{x-y}{6xy^2}$, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

$\frac{(x-y)^2}{3x^2y^3} : \frac{x-y}{6xy^2} = \frac{(x-y)^2}{3x^2y^3} \cdot \frac{6xy^2}{x-y} = \frac{(x-y)^2 \cdot 6xy^2}{3x^2y^3 \cdot (x-y)}$

Сократим общие множители $(x-y)$, $3$, $x$, $y^2$.

$\frac{\cancel{(x-y)}(x-y) \cdot 2 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{y^2}}{\cancel{3} \cdot x \cdot \cancel{x} \cdot y \cdot \cancel{y^2} \cdot \cancel{(x-y)}} = \frac{2(x-y)}{xy}$

Ответ: $\frac{2(x-y)}{xy}$.

в) Выполним умножение дробей $\frac{mn - m^2}{2m} \cdot \frac{8n}{n^2 - m^2}$. Сначала разложим на множители.

$mn - m^2 = m(n-m)$

$n^2 - m^2 = (n-m)(n+m)$

Подставим разложенные выражения в исходное:

$\frac{m(n-m)}{2m} \cdot \frac{8n}{(n-m)(n+m)} = \frac{m(n-m) \cdot 8n}{2m(n-m)(n+m)}$

Сократим общие множители $m$, $(n-m)$ и $2$.

$\frac{\cancel{m}\cancel{(n-m)} \cdot 4 \cdot \cancel{2} \cdot n}{\cancel{2}\cancel{m}\cancel{(n-m)}(n+m)} = \frac{4n}{n+m}$

Ответ: $\frac{4n}{n+m}$.

г) Для выполнения деления $\frac{2a - 4}{b+1} : \frac{a^2 - 4}{(b+1)^2}$ заменим деление на умножение на обратную дробь и разложим выражения на множители.

$2a-4=2(a-2)$

$a^2-4=(a-2)(a+2)$

$\frac{2a - 4}{b+1} \cdot \frac{(b+1)^2}{a^2 - 4} = \frac{2(a-2)}{b+1} \cdot \frac{(b+1)^2}{(a-2)(a+2)} = \frac{2(a-2)(b+1)^2}{(b+1)(a-2)(a+2)}$

Сократим общие множители $(a-2)$ и $(b+1)$.

$\frac{2\cancel{(a-2)}\cancel{(b+1)}(b+1)}{\cancel{(b+1)}\cancel{(a-2)}(a+2)} = \frac{2(b+1)}{a+2}$

Ответ: $\frac{2(b+1)}{a+2}$.

д) Выполним умножение дробей $\frac{x+y}{x-y} \cdot \frac{x^2 - xy}{2x^2 - 2y^2}$, предварительно разложив на множители.

$x^2 - xy = x(x-y)$

$2x^2 - 2y^2 = 2(x^2 - y^2) = 2(x-y)(x+y)$

$\frac{x+y}{x-y} \cdot \frac{x(x-y)}{2(x-y)(x+y)} = \frac{(x+y) \cdot x(x-y)}{(x-y) \cdot 2(x-y)(x+y)}$

Сократим общие множители $(x+y)$ и $(x-y)$.

$\frac{\cancel{(x+y)} \cdot x \cdot \cancel{(x-y)}}{\cancel{(x-y)} \cdot 2(x-y)\cancel{(x+y)}} = \frac{x}{2(x-y)}$

Ответ: $\frac{x}{2(x-y)}$.

е) Выполним деление $\frac{16 - m^2}{m^2 - 3m} : \frac{m^2 + 4m}{m^2 - 9}$. Заменим деление на умножение и разложим все на множители.

$16 - m^2 = (4-m)(4+m)$

$m^2 - 3m = m(m-3)$

$m^2 + 4m = m(m+4)$

$m^2 - 9 = (m-3)(m+3)$

$\frac{16 - m^2}{m^2 - 3m} \cdot \frac{m^2 - 9}{m^2 + 4m} = \frac{(4-m)(4+m)}{m(m-3)} \cdot \frac{(m-3)(m+3)}{m(m+4)}$

Объединим дроби и сократим общие множители $(m+4)$ (так как $4+m=m+4$) и $(m-3)$.

$\frac{(4-m)\cancel{(m+4)}\cancel{(m-3)}(m+3)}{m\cancel{(m-3)}m\cancel{(m+4)}} = \frac{(4-m)(m+3)}{m^2}$

Ответ: $\frac{(4-m)(m+3)}{m^2}$.

527. а) $ \frac{p^2 - q^2}{p^2} \cdot \frac{pq + q^2}{(p + q)^2}; $

б) $ \frac{a^2 - 9b^2}{a^2 - ab} : \frac{a^2 + 3ab}{a - b}; $

В) $ \frac{3x^2 - 3y^2}{x^2 + xy} \cdot \frac{x + y}{6x - 6y}; $

Г) $ \frac{m^2 - n^2}{(m + n)^2} : \frac{4m - 4n}{3m + 3n}. $

а) $\frac{p^2 - q^2}{p^2} \cdot \frac{pq + q^2}{(p + q)^2}$

1. Разложим на множители числители и знаменатели дробей, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и вынесение общего множителя за скобки:

• $p^2 - q^2 = (p - q)(p + q)$
• $pq + q^2 = q(p + q)$

2. Подставим разложенные выражения в исходное уравнение:

$\frac{(p - q)(p + q)}{p^2} \cdot \frac{q(p + q)}{(p + q)^2}$

3. Выполним умножение дробей:

$\frac{(p - q)(p + q) \cdot q(p + q)}{p^2 \cdot (p + q)^2} = \frac{q(p - q)(p + q)^2}{p^2(p + q)^2}$

4. Сократим общие множители $(p + q)^2$ в числителе и знаменателе:

$\frac{q(p - q)}{p^2}$

Ответ: $\frac{q(p - q)}{p^2}$

б) $\frac{a^2 - 9b^2}{a^2 - ab} : \frac{a^2 + 3ab}{a - b}$

1. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{a^2 - 9b^2}{a^2 - ab} \cdot \frac{a - b}{a^2 + 3ab}$

2. Разложим на множители числители и знаменатели дробей:

• $a^2 - 9b^2 = a^2 - (3b)^2 = (a - 3b)(a + 3b)$
• $a^2 - ab = a(a - b)$
• $a^2 + 3ab = a(a + 3b)$

3. Подставим разложенные выражения в уравнение:

$\frac{(a - 3b)(a + 3b)}{a(a - b)} \cdot \frac{a - b}{a(a + 3b)}$

4. Перемножим дроби и сократим общие множители $(a + 3b)$ и $(a - b)$:

$\frac{(a - 3b)(a + 3b)(a - b)}{a(a - b)a(a + 3b)} = \frac{a - 3b}{a \cdot a} = \frac{a - 3b}{a^2}$

Ответ: $\frac{a - 3b}{a^2}$

в) $\frac{3x^2 - 3y^2}{x^2 + xy} \cdot \frac{x + y}{6x - 6y}$

1. Разложим на множители числители и знаменатели дробей:

• $3x^2 - 3y^2 = 3(x^2 - y^2) = 3(x - y)(x + y)$
• $x^2 + xy = x(x + y)$
• $6x - 6y = 6(x - y)$

2. Подставим разложенные выражения в исходное уравнение:

$\frac{3(x - y)(x + y)}{x(x + y)} \cdot \frac{x + y}{6(x - y)}$

3. Выполним умножение и сократим общие множители $(x - y)$, $(x + y)$ и числовой множитель 3:

$\frac{3(x - y)(x + y)(x + y)}{x(x + y) \cdot 6(x - y)} = \frac{3(x+y)}{6x} = \frac{x+y}{2x}$

Ответ: $\frac{x + y}{2x}$

г) $\frac{m^2 - n^2}{(m + n)^2} : \frac{4m - 4n}{3m + 3n}$

1. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{m^2 - n^2}{(m + n)^2} \cdot \frac{3m + 3n}{4m - 4n}$

2. Разложим на множители числители и знаменатели дробей:

• $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$
• $3m + 3n = 3(m + n)$
• $4m - 4n = 4(m - n)$

3. Подставим разложенные выражения в уравнение:

$\frac{(m - n)(m + n)}{(m + n)^2} \cdot \frac{3(m + n)}{4(m - n)}$

4. Перемножим дроби:

$\frac{(m - n)(m + n) \cdot 3(m + n)}{(m + n)^2 \cdot 4(m - n)} = \frac{3(m - n)(m + n)^2}{4(m - n)(m + n)^2}$

5. Сократим общие множители $(m - n)$ и $(m + n)^2$:

$\frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

528. a) $ \frac{m^3 + n^3}{2m} \cdot \frac{4mn}{m^2 - mn + n^2}; $

В) $ \frac{m^3 - n^3}{m^3 + n^3} : \frac{(m - n)^2}{m^2 - n^2}; $

Д) $ \frac{p^2 - 4q^2}{(p + 2q)^2} : \frac{p^3 - 8q^3}{4q^2 + 2pq + p^2}. $

б) $ \frac{2a}{a^3 - b^3} : \frac{6ab}{a^2 - b^2}; $

Г) $ \frac{x^2 + xy}{6x^2 - 6y^2} \cdot \frac{3x^3 + 3y^3}{x^2 - xy}; $

e) $ \frac{12a^2 + 6ab}{8a^3 - b^3} \cdot \frac{4a^2 + 2ab + b^2}{3a^2 - 6ab}. $

а) Выполним умножение дробей $\frac{m^3 + n^3}{2m} \cdot \frac{4mn}{m^2 - mn + n^2}$.

Для этого разложим числитель первой дроби по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:

$m^3 + n^3 = (m+n)(m^2 - mn + n^2)$

Подставим разложение в исходное выражение:

$\frac{(m+n)(m^2 - mn + n^2)}{2m} \cdot \frac{4mn}{m^2 - mn + n^2}$

Сократим одинаковый множитель $(m^2 - mn + n^2)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{m+n}{2m} \cdot 4mn = \frac{(m+n) \cdot 4mn}{2m}$

Сократим дробь на $2m$:

$(m+n) \cdot 2n = 2n(m+n)$

Ответ: $2n(m+n)$.

б) Выполним деление дробей $\frac{2a}{a^3 - b^3} : \frac{6ab}{a^2 - b^2}$.

Деление дробей заменяется на умножение на обратную дробь:

$\frac{2a}{a^3 - b^3} \cdot \frac{a^2 - b^2}{6ab}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби (разность кубов) и числитель второй дроби (разность квадратов):

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Подставим разложения в выражение:

$\frac{2a}{(a-b)(a^2 + ab + b^2)} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{6ab}$

Сократим общие множители $(a-b)$ и $2a$:

$\frac{1}{a^2 + ab + b^2} \cdot \frac{a+b}{3b} = \frac{a+b}{3b(a^2 + ab + b^2)}$

Ответ: $\frac{a+b}{3b(a^2 + ab + b^2)}$.

в) Выполним деление дробей $\frac{m^3 - n^3}{m^3 + n^3} : \frac{(m-n)^2}{m^2 - n^2}$.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{m^3 - n^3}{m^3 + n^3} \cdot \frac{m^2 - n^2}{(m-n)^2}$

Разложим на множители числители и знаменатели, используя формулы сокращенного умножения:

$m^3 - n^3 = (m-n)(m^2 + mn + n^2)$

$m^3 + n^3 = (m+n)(m^2 - mn + n^2)$

$m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$

Подставим разложения в выражение:

$\frac{(m-n)(m^2 + mn + n^2)}{(m+n)(m^2 - mn + n^2)} \cdot \frac{(m-n)(m+n)}{(m-n)^2}$

Объединим множители и сократим дробь:

$\frac{(m-n)(m^2 + mn + n^2)(m-n)(m+n)}{(m+n)(m^2 - mn + n^2)(m-n)^2} = \frac{(m-n)^2(m+n)(m^2 + mn + n^2)}{(m+n)(m^2 - mn + n^2)(m-n)^2}$

После сокращения на $(m-n)^2$ и $(m+n)$ получаем:

$\frac{m^2 + mn + n^2}{m^2 - mn + n^2}$

Ответ: $\frac{m^2 + mn + n^2}{m^2 - mn + n^2}$.

г) Выполним умножение дробей $\frac{x^2 + xy}{6x^2 - 6y^2} \cdot \frac{3x^3 + 3y^3}{x^2 - xy}$.

Разложим числители и знаменатели на множители:

$x^2 + xy = x(x+y)$

$6x^2 - 6y^2 = 6(x^2 - y^2) = 6(x-y)(x+y)$

$3x^3 + 3y^3 = 3(x^3 + y^3) = 3(x+y)(x^2 - xy + y^2)$

$x^2 - xy = x(x-y)$

Подставим разложения в выражение:

$\frac{x(x+y)}{6(x-y)(x+y)} \cdot \frac{3(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{x(x-y)}$

Сократим общие множители $x$, $(x+y)$ и числовые коэффициенты:

$\frac{1}{6(x-y)} \cdot \frac{3(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{x-y} = \frac{3(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{6(x-y)^2}$

Сократим числовой коэффициент:

$\frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{2(x-y)^2}$

Ответ: $\frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{2(x-y)^2}$.

д) Выполним деление дробей $\frac{p^2 - 4q^2}{(p+2q)^2} : \frac{p^3 - 8q^3}{4q^2 + 2pq + p^2}$.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{p^2 - 4q^2}{(p+2q)^2} \cdot \frac{p^2 + 2pq + 4q^2}{p^3 - 8q^3}$

Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй:

$p^2 - 4q^2 = (p-2q)(p+2q)$

$p^3 - 8q^3 = p^3 - (2q)^3 = (p-2q)(p^2 + 2pq + 4q^2)$

Подставим разложения в выражение:

$\frac{(p-2q)(p+2q)}{(p+2q)^2} \cdot \frac{p^2 + 2pq + 4q^2}{(p-2q)(p^2 + 2pq + 4q^2)}$

Сократим общие множители $(p-2q)$, $(p+2q)$ и $(p^2 + 2pq + 4q^2)$:

$\frac{1}{p+2q} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{p+2q}$

Ответ: $\frac{1}{p+2q}$.

е) Выполним умножение дробей $\frac{12a^2 + 6ab}{8a^3 - b^3} \cdot \frac{4a^2 + 2ab + b^2}{3a^2 - 6ab}$.

Разложим числители и знаменатели на множители:

$12a^2 + 6ab = 6a(2a+b)$

$8a^3 - b^3 = (2a)^3 - b^3 = (2a-b)(4a^2 + 2ab + b^2)$

$3a^2 - 6ab = 3a(a-2b)$

Подставим разложения в выражение:

$\frac{6a(2a+b)}{(2a-b)(4a^2 + 2ab + b^2)} \cdot \frac{4a^2 + 2ab + b^2}{3a(a-2b)}$

Сократим общие множители $(4a^2 + 2ab + b^2)$ и $3a$:

$\frac{2(2a+b)}{2a-b} \cdot \frac{1}{a-2b} = \frac{2(2a+b)}{(2a-b)(a-2b)}$

Ответ: $\frac{2(2a+b)}{(2a-b)(a-2b)}$.