Номер 528, страница 135 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 528, страница 135.

Условие.

528. a) $ \frac{m^3 + n^3}{2m} \cdot \frac{4mn}{m^2 - mn + n^2}; $

В) $ \frac{m^3 - n^3}{m^3 + n^3} : \frac{(m - n)^2}{m^2 - n^2}; $

Д) $ \frac{p^2 - 4q^2}{(p + 2q)^2} : \frac{p^3 - 8q^3}{4q^2 + 2pq + p^2}. $

б) $ \frac{2a}{a^3 - b^3} : \frac{6ab}{a^2 - b^2}; $

Г) $ \frac{x^2 + xy}{6x^2 - 6y^2} \cdot \frac{3x^3 + 3y^3}{x^2 - xy}; $

e) $ \frac{12a^2 + 6ab}{8a^3 - b^3} \cdot \frac{4a^2 + 2ab + b^2}{3a^2 - 6ab}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Выполним умножение дробей $\frac{m^3 + n^3}{2m} \cdot \frac{4mn}{m^2 - mn + n^2}$.

Для этого разложим числитель первой дроби по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:

$m^3 + n^3 = (m+n)(m^2 - mn + n^2)$

Подставим разложение в исходное выражение:

$\frac{(m+n)(m^2 - mn + n^2)}{2m} \cdot \frac{4mn}{m^2 - mn + n^2}$

Сократим одинаковый множитель $(m^2 - mn + n^2)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{m+n}{2m} \cdot 4mn = \frac{(m+n) \cdot 4mn}{2m}$

Сократим дробь на $2m$:

$(m+n) \cdot 2n = 2n(m+n)$

Ответ: $2n(m+n)$.

б) Выполним деление дробей $\frac{2a}{a^3 - b^3} : \frac{6ab}{a^2 - b^2}$.

Деление дробей заменяется на умножение на обратную дробь:

$\frac{2a}{a^3 - b^3} \cdot \frac{a^2 - b^2}{6ab}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби (разность кубов) и числитель второй дроби (разность квадратов):

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Подставим разложения в выражение:

$\frac{2a}{(a-b)(a^2 + ab + b^2)} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{6ab}$

Сократим общие множители $(a-b)$ и $2a$:

$\frac{1}{a^2 + ab + b^2} \cdot \frac{a+b}{3b} = \frac{a+b}{3b(a^2 + ab + b^2)}$

Ответ: $\frac{a+b}{3b(a^2 + ab + b^2)}$.

в) Выполним деление дробей $\frac{m^3 - n^3}{m^3 + n^3} : \frac{(m-n)^2}{m^2 - n^2}$.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{m^3 - n^3}{m^3 + n^3} \cdot \frac{m^2 - n^2}{(m-n)^2}$

Разложим на множители числители и знаменатели, используя формулы сокращенного умножения:

$m^3 - n^3 = (m-n)(m^2 + mn + n^2)$

$m^3 + n^3 = (m+n)(m^2 - mn + n^2)$

$m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$

Подставим разложения в выражение:

$\frac{(m-n)(m^2 + mn + n^2)}{(m+n)(m^2 - mn + n^2)} \cdot \frac{(m-n)(m+n)}{(m-n)^2}$

Объединим множители и сократим дробь:

$\frac{(m-n)(m^2 + mn + n^2)(m-n)(m+n)}{(m+n)(m^2 - mn + n^2)(m-n)^2} = \frac{(m-n)^2(m+n)(m^2 + mn + n^2)}{(m+n)(m^2 - mn + n^2)(m-n)^2}$

После сокращения на $(m-n)^2$ и $(m+n)$ получаем:

$\frac{m^2 + mn + n^2}{m^2 - mn + n^2}$

Ответ: $\frac{m^2 + mn + n^2}{m^2 - mn + n^2}$.

г) Выполним умножение дробей $\frac{x^2 + xy}{6x^2 - 6y^2} \cdot \frac{3x^3 + 3y^3}{x^2 - xy}$.

Разложим числители и знаменатели на множители:

$x^2 + xy = x(x+y)$

$6x^2 - 6y^2 = 6(x^2 - y^2) = 6(x-y)(x+y)$

$3x^3 + 3y^3 = 3(x^3 + y^3) = 3(x+y)(x^2 - xy + y^2)$

$x^2 - xy = x(x-y)$

Подставим разложения в выражение:

$\frac{x(x+y)}{6(x-y)(x+y)} \cdot \frac{3(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{x(x-y)}$

Сократим общие множители $x$, $(x+y)$ и числовые коэффициенты:

$\frac{1}{6(x-y)} \cdot \frac{3(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{x-y} = \frac{3(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{6(x-y)^2}$

Сократим числовой коэффициент:

$\frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{2(x-y)^2}$

Ответ: $\frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{2(x-y)^2}$.

д) Выполним деление дробей $\frac{p^2 - 4q^2}{(p+2q)^2} : \frac{p^3 - 8q^3}{4q^2 + 2pq + p^2}$.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{p^2 - 4q^2}{(p+2q)^2} \cdot \frac{p^2 + 2pq + 4q^2}{p^3 - 8q^3}$

Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй:

$p^2 - 4q^2 = (p-2q)(p+2q)$

$p^3 - 8q^3 = p^3 - (2q)^3 = (p-2q)(p^2 + 2pq + 4q^2)$

Подставим разложения в выражение:

$\frac{(p-2q)(p+2q)}{(p+2q)^2} \cdot \frac{p^2 + 2pq + 4q^2}{(p-2q)(p^2 + 2pq + 4q^2)}$

Сократим общие множители $(p-2q)$, $(p+2q)$ и $(p^2 + 2pq + 4q^2)$:

$\frac{1}{p+2q} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{p+2q}$

Ответ: $\frac{1}{p+2q}$.

е) Выполним умножение дробей $\frac{12a^2 + 6ab}{8a^3 - b^3} \cdot \frac{4a^2 + 2ab + b^2}{3a^2 - 6ab}$.

Разложим числители и знаменатели на множители:

$12a^2 + 6ab = 6a(2a+b)$

$8a^3 - b^3 = (2a)^3 - b^3 = (2a-b)(4a^2 + 2ab + b^2)$

$3a^2 - 6ab = 3a(a-2b)$

Подставим разложения в выражение:

$\frac{6a(2a+b)}{(2a-b)(4a^2 + 2ab + b^2)} \cdot \frac{4a^2 + 2ab + b^2}{3a(a-2b)}$

Сократим общие множители $(4a^2 + 2ab + b^2)$ и $3a$:

$\frac{2(2a+b)}{2a-b} \cdot \frac{1}{a-2b} = \frac{2(2a+b)}{(2a-b)(a-2b)}$

Ответ: $\frac{2(2a+b)}{(2a-b)(a-2b)}$.