Номер 535, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.4. Рациональные выражения. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 535, страница 138.

Условие.

535. а) $\left(\frac{a+x}{a} - \frac{x-y}{x}\right) \cdot \frac{a^2}{x^2 + ay};$

б) $\left(\frac{a}{a-1} + 1\right) : \left(1 - \frac{a}{a-1}\right);$

в) $\left(m - \frac{1}{1+m}\right) \cdot \frac{m+1}{1-m-m^2};$

г) $\left(a + \frac{a^2}{c}\right) : \left(b + \frac{bc}{a}\right);$

д) $\left(\frac{a+x}{x} - \frac{2x}{x-a}\right) : \frac{a^2+x^2}{x-a};$

е) $\left(\frac{x^2+1}{2x-1} - \frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1-2x}{x+2};$

ж) $\left(\frac{n}{n+x} - \frac{n}{n-x}\right) : \left(\frac{n}{n-x} + \frac{n}{n+x}\right);$

з) $\frac{3}{5x} - \frac{3}{x+y} \cdot \left(\frac{x+y}{5x} - x - y\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Сначала выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ax$:
$(\frac{a+x}{a} - \frac{x-y}{x}) \cdot \frac{a^2}{x^2+ay} = (\frac{x(a+x)}{ax} - \frac{a(x-y)}{ax}) \cdot \frac{a^2}{x^2+ay}$

Упростим числитель в скобках:
$\frac{x(a+x) - a(x-y)}{ax} = \frac{ax+x^2-ax+ay}{ax} = \frac{x^2+ay}{ax}$

Теперь умножим полученную дробь на вторую:
$\frac{x^2+ay}{ax} \cdot \frac{a^2}{x^2+ay}$

Сократим общие множители $(x^2+ay)$ и $a$:
$\frac{1}{x} \cdot \frac{a}{1} = \frac{a}{x}$

Ответ: $\frac{a}{x}$

б)

Выполним действия в каждой из скобок, приводя к общим знаменателям.
В первой скобке: $\frac{a}{a-1} + 1 = \frac{a}{a-1} + \frac{a-1}{a-1} = \frac{a+a-1}{a-1} = \frac{2a-1}{a-1}$
Во второй скобке: $1 - \frac{a}{a-1} = \frac{a-1}{a-1} - \frac{a}{a-1} = \frac{a-1-a}{a-1} = \frac{-1}{a-1}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$\frac{2a-1}{a-1} : \frac{-1}{a-1} = \frac{2a-1}{a-1} \cdot \frac{a-1}{-1}$

Сократим общий множитель $(a-1)$:
$\frac{2a-1}{1} \cdot \frac{1}{-1} = -(2a-1) = 1-2a$

Ответ: $1-2a$

в)

Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $(1+m)$:
$(m - \frac{1}{1+m}) \cdot \frac{m+1}{1-m-m^2} = (\frac{m(1+m)}{1+m} - \frac{1}{1+m}) \cdot \frac{m+1}{1-m-m^2}$

Выполним вычитание в числителе:
$\frac{m(1+m)-1}{1+m} = \frac{m+m^2-1}{1+m} = \frac{m^2+m-1}{m+1}$

Теперь умножим результат на вторую дробь:
$\frac{m^2+m-1}{m+1} \cdot \frac{m+1}{1-m-m^2}$

Заметим, что $m^2+m-1 = -( -m^2-m+1) = -(1-m-m^2)$. Подставим это в выражение:
$\frac{-(1-m-m^2)}{m+1} \cdot \frac{m+1}{1-m-m^2}$

Сократим общие множители $(m+1)$ и $(1-m-m^2)$:
$\frac{-1}{1} \cdot \frac{1}{1} = -1$

Ответ: $-1$

г)

Упростим выражения в каждой из скобок.
В первой скобке: $a + \frac{a^2}{c} = \frac{ac+a^2}{c} = \frac{a(c+a)}{c}$
Во второй скобке: $b + \frac{bc}{a} = \frac{ab+bc}{a} = \frac{b(a+c)}{a}$

Теперь выполним деление:
$\frac{a(a+c)}{c} : \frac{b(a+c)}{a} = \frac{a(a+c)}{c} \cdot \frac{a}{b(a+c)}$

Сократим общий множитель $(a+c)$:
$\frac{a}{c} \cdot \frac{a}{b} = \frac{a^2}{bc}$

Ответ: $\frac{a^2}{bc}$

д)

Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $x(x-a)$:
$(\frac{a+x}{x} - \frac{2x}{x-a}) : \frac{a^2+x^2}{x-a} = (\frac{(a+x)(x-a)}{x(x-a)} - \frac{2x \cdot x}{x(x-a)}) : \frac{a^2+x^2}{x-a}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулу разности квадратов:
$\frac{(x^2-a^2) - 2x^2}{x(x-a)} = \frac{x^2-a^2-2x^2}{x(x-a)} = \frac{-a^2-x^2}{x(x-a)} = \frac{-(a^2+x^2)}{x(x-a)}$

Выполним деление, умножив на обратную дробь:
$\frac{-(a^2+x^2)}{x(x-a)} \cdot \frac{x-a}{a^2+x^2}$

Сократим общие множители $(a^2+x^2)$ и $(x-a)$:
$\frac{-1}{x} \cdot \frac{1}{1} = -\frac{1}{x}$

Ответ: $-\frac{1}{x}$

е)

Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $2(2x-1)$:
$(\frac{x^2+1}{2x-1} - \frac{x}{2}) \cdot \frac{1-2x}{x+2} = (\frac{2(x^2+1)}{2(2x-1)} - \frac{x(2x-1)}{2(2x-1)}) \cdot \frac{1-2x}{x+2}$

Упростим числитель в скобках:
$\frac{2x^2+2 - (2x^2-x)}{2(2x-1)} = \frac{2x^2+2 - 2x^2+x}{2(2x-1)} = \frac{x+2}{2(2x-1)}$

Теперь выполним умножение. Заметим, что $1-2x = -(2x-1)$:
$\frac{x+2}{2(2x-1)} \cdot \frac{-(2x-1)}{x+2}$

Сократим общие множители $(x+2)$ и $(2x-1)$:
$\frac{1}{2} \cdot \frac{-1}{1} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

ж)

Упростим выражения в обеих скобках. Общий знаменатель для дробей в скобках — это $(n+x)(n-x) = n^2-x^2$.
Первая скобка (делимое):
$\frac{n}{n+x} - \frac{n}{n-x} = \frac{n(n-x) - n(n+x)}{(n+x)(n-x)} = \frac{n^2-nx - n^2-nx}{n^2-x^2} = \frac{-2nx}{n^2-x^2}$
Вторая скобка (делитель):
$\frac{n}{n-x} + \frac{n}{n+x} = \frac{n(n+x) + n(n-x)}{(n-x)(n+x)} = \frac{n^2+nx + n^2-nx}{n^2-x^2} = \frac{2n^2}{n^2-x^2}$

Выполним деление:
$\frac{-2nx}{n^2-x^2} : \frac{2n^2}{n^2-x^2} = \frac{-2nx}{n^2-x^2} \cdot \frac{n^2-x^2}{2n^2}$

Сократим общие множители $(n^2-x^2)$ и $2n$:
$\frac{-x}{1} \cdot \frac{1}{n} = -\frac{x}{n}$

Ответ: $-\frac{x}{n}$

з)

Согласно порядку действий, сначала выполним умножение. Для этого упростим выражение в скобках:
$\frac{x+y}{5x} - x - y = \frac{x+y}{5x} - (x+y) = \frac{x+y}{5x} - \frac{5x(x+y)}{5x} = \frac{(x+y)(1-5x)}{5x}$

Теперь умножим $\frac{3}{x+y}$ на полученное выражение:
$\frac{3}{x+y} \cdot \frac{(x+y)(1-5x)}{5x} = \frac{3(1-5x)}{5x}$

Теперь выполним вычитание из начального выражения:
$\frac{3}{5x} - \frac{3(1-5x)}{5x} = \frac{3 - 3(1-5x)}{5x}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:
$\frac{3 - 3 + 15x}{5x} = \frac{15x}{5x}$

Сократим дробь:
$\frac{15x}{5x} = 3$

Ответ: $3$