Номер 539, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.4. Рациональные выражения. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 539, страница 139.

Условие.

539. a) $\frac{a^3 - b^3}{a - b} \cdot \frac{a}{a^2 + ab + b^2} - (a - b);$

б) $\frac{ab}{a^2 - b^2} : \frac{a + b}{a^2 - b^2} + \frac{a^2}{a + b}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

a) Упростим выражение $\frac{a^3 - b^3}{a - b} \cdot \frac{a}{a^2 + ab + b^2} - (a - b)$.

1. Первым шагом воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Подставим это разложение в числитель первой дроби:

$\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a - b} \cdot \frac{a}{a^2 + ab + b^2} - (a - b)$

2. Выполним умножение дробей и сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Множитель $(a - b)$ сокращается в первой дроби. Множитель $(a^2 + ab + b^2)$ также сокращается:

$\frac{\cancel{(a - b)}\cancel{(a^2 + ab + b^2)}}{\cancel{a - b}} \cdot \frac{a}{\cancel{a^2 + ab + b^2}} - (a - b) = a - (a - b)$

3. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a - a + b = b$

Ответ: $b$

б) Упростим выражение $\frac{ab}{a^2 - b^2} : \frac{a+b}{a^2 - b^2} + \frac{a^2}{a+b}$.

1. Согласно порядку действий, сначала выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{ab}{a^2 - b^2} : \frac{a+b}{a^2 - b^2} = \frac{ab}{a^2 - b^2} \cdot \frac{a^2 - b^2}{a+b}$

2. Сократим общий множитель $(a^2 - b^2)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{ab}{\cancel{a^2 - b^2}} \cdot \frac{\cancel{a^2 - b^2}}{a+b} = \frac{ab}{a+b}$

3. Теперь подставим результат первого действия в исходное выражение и выполним сложение:

$\frac{ab}{a+b} + \frac{a^2}{a+b}$

4. Так как у дробей одинаковый знаменатель $(a+b)$, мы можем сложить их числители:

$\frac{ab + a^2}{a+b}$

5. В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$\frac{a(b+a)}{a+b}$

6. Сократим дробь на общий множитель $(a+b)$ (так как $a+b = b+a$):

$\frac{a\cancel{(a+b)}}{\cancel{a+b}} = a$

Ответ: $a$