Номер 541, страница 141 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.5. Числовое значение рационального выражения. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 541, страница 141.

Условие.

541. При каких числовых значениях букв алгебраическая дробь не определена?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Алгебраическая дробь — это выражение вида $\frac{A}{B}$, где $A$ (числитель) и $B$ (знаменатель) являются алгебраическими выражениями, которые могут содержать числа и переменные (буквы).

Ключевое правило, определяющее, когда дробь имеет смысл (определена), связано с операцией деления. В математике деление на ноль является неопределенной операцией. Поэтому алгебраическая дробь теряет смысл, то есть не определена, при тех и только тех значениях переменных, при которых ее знаменатель становится равным нулю.

Чтобы найти все числовые значения букв, при которых алгебраическая дробь не определена, необходимо выполнить следующие действия:

1. Взять выражение, находящееся в знаменателе дроби.
2. Приравнять это выражение к нулю, составив уравнение.
3. Решить полученное уравнение относительно переменных (букв).

Все корни (решения) этого уравнения и будут являться искомыми значениями переменных, при которых дробь не определена.

Пример 1: Рассмотрим дробь $\frac{x+5}{x-3}$. Знаменатель этой дроби — $x-3$. Чтобы найти, при каком значении $x$ дробь не определена, приравниваем знаменатель к нулю:
$x - 3 = 0$
Решением уравнения является $x = 3$. Таким образом, при $x=3$ данная дробь не определена.

Пример 2: Рассмотрим дробь $\frac{a}{a^2-9}$. Приравниваем знаменатель $a^2-9$ к нулю:
$a^2 - 9 = 0$
$(a-3)(a+3) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $a=3$ и $a=-3$. Следовательно, дробь не определена при этих двух значениях переменной $a$.

Пример 3: Если в знаменателе несколько переменных, как в дроби $\frac{c+d}{c-d}$, то условием неопределенности будет равенство знаменателя нулю:
$c - d = 0$
Отсюда $c = d$. Это означает, что дробь не определена для любой пары равных друг другу значений $c$ и $d$ (например, $c=5, d=5$ или $c=-1.2, d=-1.2$).

Ответ: Алгебраическая дробь не определена при тех числовых значениях входящих в неё букв (переменных), которые обращают её знаменатель в ноль.