Номер 540, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.4. Рациональные выражения. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 540, страница 139.

Условие.

540. Какие из выражений не имеют смысла: $ \frac{x-y}{x^2-y^2} $; $ 7 - \frac{x-a}{a^2-2a^2+a^2} $; $ \frac{a^2+b^2-2ab}{(x-5)^2-x^2-25+10x} $; $ \frac{1}{a - \frac{1}{a} - \frac{a^2-1}{a}} $?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для того чтобы определить, какие из выражений не имеют смысла, необходимо проверить, может ли знаменатель какой-либо из дробей в выражении обратиться в ноль. Выражение не имеет смысла, если в нем происходит деление на ноль.

$\frac{x - y}{x^2 - y^2}$

Знаменатель дроби $x^2 - y^2$ равен нулю, если $x^2 = y^2$, то есть при $x = y$ или $x = -y$. В этих случаях выражение не имеет смысла. Однако при других значениях переменных (например, $x=2, y=1$) знаменатель не равен нулю, и выражение имеет смысл.

Ответ: Выражение имеет смысл не при всех значениях переменных.

$7 - \frac{x - a}{a^2 - 2a^2 + a^2}$

Рассмотрим знаменатель дроби в этом выражении: $a^2 - 2a^2 + a^2$. Упростив его, получаем: $(1-2+1)a^2 = 0 \cdot a^2 = 0$. Так как знаменатель тождественно (т.е. при любых значениях $a$) равен нулю, деление на ноль делает все выражение бессмысленным.

Ответ: Выражение не имеет смысла.

$\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{x^2 + a^2}$

Знаменатель дроби $x^2 + a^2$. Для действительных чисел $x^2 \ge 0$ и $a^2 \ge 0$. Сумма $x^2 + a^2$ равна нулю только в том случае, если $x^2=0$ и $a^2=0$ одновременно, то есть при $x=0$ и $a=0$. Во всех остальных случаях знаменатель положителен, и выражение имеет смысл.

Ответ: Выражение имеет смысл не при всех значениях переменных.

$\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{(x-5)^2 - x^2 - 25 + 10x}$

Рассмотрим и упростим знаменатель дроби: $(x-5)^2 - x^2 - 25 + 10x$. Раскроем скобки по формуле квадрата разности: $(x^2 - 10x + 25) - x^2 - 25 + 10x$. Приведем подобные слагаемые: $(x^2 - x^2) + (-10x + 10x) + (25 - 25) = 0$. Так как знаменатель тождественно равен нулю, выражение не имеет смысла.

Ответ: Выражение не имеет смысла.

$\frac{1}{a - \frac{1}{a} - \frac{a^2 - 1}{a}}$

В этом выражении есть как главный знаменатель, так и знаменатели во внутренних дробях. Чтобы внутренние дроби $\frac{1}{a}$ и $\frac{a^2-1}{a}$ имели смысл, необходимо, чтобы $a \neq 0$. Рассмотрим главный знаменатель $D = a - \frac{1}{a} - \frac{a^2 - 1}{a}$. Приводя его к общему знаменателю $a$ (при $a \neq 0$), получаем: $D = \frac{a^2}{a} - \frac{1}{a} - \frac{a^2-1}{a} = \frac{a^2 - 1 - (a^2-1)}{a} = \frac{a^2 - 1 - a^2 + 1}{a} = \frac{0}{a} = 0$. Таким образом, при любом $a \neq 0$ знаменатель равен нулю. Если же $a=0$, то выражение не определено из-за деления на ноль во внутренних дробях. Следовательно, данное выражение не имеет смысла ни при каких значениях $a$.

Ответ: Выражение не имеет смысла.