Номер 544, страница 141 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.5. Числовое значение рационального выражения. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 544, страница 141.

Условие.

544. При каких числовых значениях $x$ значение алгебраической дроби равно нулю:

а) $\frac{x - 2}{5}$; б) $\frac{x + 4}{x}$; в) $\frac{2 - x}{x + 3}$; г) $\frac{2x + 5}{3 - x}$; д) $\frac{x^2 + x}{x + 1}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Для дроби $\frac{x-2}{5}$ имеем:

1. Приравниваем числитель к нулю: $x-2=0 \implies x=2$.

2. Проверяем знаменатель: $5 \neq 0$. Это условие выполняется всегда, так как знаменатель является константой, не равной нулю.

Следовательно, дробь обращается в ноль при $x=2$.

Ответ: $2$.

б) Для дроби $\frac{x+4}{x}$ должны выполняться два условия:

1. Числитель равен нулю: $x+4=0 \implies x=-4$.

2. Знаменатель не равен нулю: $x \neq 0$.

Найденное значение $x=-4$ удовлетворяет условию $x \neq 0$.

Ответ: $-4$.

в) Для дроби $\frac{2-x}{x+3}$ должны выполняться два условия:

1. Числитель равен нулю: $2-x=0 \implies x=2$.

2. Знаменатель не равен нулю: $x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$.

Найденное значение $x=2$ удовлетворяет условию $x \neq -3$.

Ответ: $2$.

г) Для дроби $\frac{2x+5}{3-x}$ должны выполняться два условия:

1. Числитель равен нулю: $2x+5=0 \implies 2x=-5 \implies x=-2.5$.

2. Знаменатель не равен нулю: $3-x \neq 0 \implies x \neq 3$.

Найденное значение $x=-2.5$ удовлетворяет условию $x \neq 3$.

Ответ: $-2.5$.

д) Для дроби $\frac{x^2+x}{x+1}$ должны выполняться два условия:

1. Числитель равен нулю: $x^2+x=0$.

Разложим числитель на множители: $x(x+1)=0$.

Корни этого уравнения: $x_1=0$ и $x_2=-1$.

2. Знаменатель не равен нулю: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

Проверяем найденные корни. Корень $x=0$ удовлетворяет условию $x \neq -1$. Корень $x=-1$ не удовлетворяет этому условию, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль, и дробь теряет смысл. Следовательно, $x=-1$ является посторонним корнем.

Единственное значение, при котором дробь равна нулю, это $x=0$.

Ответ: $0$.