Номер 550, страница 142 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.5. Числовое значение рационального выражения. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 550, страница 142.

Условие.

550. Найдите значение рационального выражения:

$\left(\frac{n}{a}+\frac{a^2}{n^2}\right):\left(\frac{1}{a^2n}+\frac{1}{n^3}-\frac{1}{an^2}\right)-a^2n$ при $a = 0,02, n = -10.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для нахождения значения данного рационального выражения сперва упростим его алгебраически. Выполним поочередно действия в скобках, затем деление и вычитание.

1. Сначала преобразуем выражение в первой скобке, приведя дроби к общему знаменателю $an^2$:

$ \frac{n}{a} + \frac{a^2}{n^2} = \frac{n \cdot n^2 + a^2 \cdot a}{an^2} = \frac{n^3 + a^3}{an^2} $

2. Затем преобразуем выражение во второй скобке, приведя дроби к общему знаменателю $a^2n^3$:

$ \frac{1}{a^2n} + \frac{1}{n^3} - \frac{1}{an^2} = \frac{1 \cdot n^2 + 1 \cdot a^2 - 1 \cdot an}{a^2n^3} = \frac{n^2 - an + a^2}{a^2n^3} $

3. Теперь выполним деление полученных выражений. Для этого умножим первую дробь на дробь, обратную второй:

$ \frac{n^3 + a^3}{an^2} : \frac{n^2 - an + a^2}{a^2n^3} = \frac{n^3 + a^3}{an^2} \cdot \frac{a^2n^3}{n^2 - an + a^2} $

4. Разложим числитель первой дроби $n^3 + a^3$ на множители, используя формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$:

$ \frac{(n+a)(n^2 - an + a^2)}{an^2} \cdot \frac{a^2n^3}{n^2 - an + a^2} $

5. Сократим общий множитель $(n^2 - an + a^2)$, который присутствует в числителе и знаменателе. Также сократим степени переменных $a$ и $n$:

$ \frac{n+a}{an^2} \cdot \frac{a^2n^3}{1} = (n+a) \cdot \frac{a^2n^3}{an^2} = (n+a) \cdot (a^{2-1}n^{3-2}) = (n+a)an = an(n+a) $

6. Теперь подставим полученное выражение в исходное, заменив им частное двух скобок:

$ an(n+a) - a^2n $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ an^2 + a^2n - a^2n = an^2 $

7. После всех упрощений исходное выражение равно $an^2$. Осталось подставить в него заданные значения $a = 0,02$ и $n = -10$:

$ an^2 = 0,02 \cdot (-10)^2 = 0,02 \cdot 100 = 2 $

Ответ: 2