Номер 557, страница 143 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.5. Числовое значение рационального выражения. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 557, страница 143.

Условие.

557. Упростите выражение и вычислите его значение:

а) $ \frac{3m^2 + 6mn + 3n^2}{6n^2 - 6m^2} $ при $ m = 0,5, n = \frac{2}{3}; $

б) $ \frac{2c^2 - 2b^2}{4b^2 - 8bc + 4c^2} $ при $ b = 0,25, c = \frac{1}{3}; $

в) $ \frac{4xy}{y^2 - x^2} : \left( \frac{1}{y^2 - x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2} \right) $ при $ x = 0,35, y = 7,65; $

г) $ \frac{x^2 + 25}{(x - 5)^3} + \frac{10x}{(5 - x)^3} $ при $ x = 5,125. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Сначала упростим выражение $\frac{3m^2 + 6mn + 3n^2}{6n^2 - 6m^2}$.
Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем за скобки общий множитель 3 и используем формулу квадрата суммы:
$3m^2 + 6mn + 3n^2 = 3(m^2 + 2mn + n^2) = 3(m+n)^2$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель 6 и используем формулу разности квадратов:
$6n^2 - 6m^2 = 6(n^2 - m^2) = 6(n-m)(n+m)$.
Подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{3(m+n)^2}{6(n-m)(n+m)}$
Сократим дробь на общий множитель $3(m+n)$ (при условии, что $m+n \neq 0$):
$\frac{3(m+n)(m+n)}{6(n-m)(m+n)} = \frac{m+n}{2(n-m)}$.
Теперь подставим значения $m = 0,5 = \frac{1}{2}$ и $n = \frac{2}{3}$ в упрощенное выражение:
$\frac{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}{2(\frac{2}{3} - \frac{1}{2})} = \frac{\frac{3+4}{6}}{2(\frac{4-3}{6})} = \frac{\frac{7}{6}}{2 \cdot \frac{1}{6}} = \frac{\frac{7}{6}}{\frac{2}{6}} = \frac{7}{6} \cdot \frac{6}{2} = \frac{7}{2} = 3,5$.
Ответ: 3,5.

б)

Упростим выражение $\frac{2c^2 - 2b^2}{4b^2 - 8bc + 4c^2}$.
Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем 2 за скобки и применим формулу разности квадратов:
$2c^2 - 2b^2 = 2(c^2 - b^2) = 2(c-b)(c+b)$.
В знаменателе вынесем 4 за скобки и применим формулу квадрата разности:
$4b^2 - 8bc + 4c^2 = 4(b^2 - 2bc + c^2) = 4(b-c)^2 = 4(c-b)^2$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{2(c-b)(c+b)}{4(c-b)^2}$
Сократим дробь на $2(c-b)$ (при условии, что $c-b \neq 0$):
$\frac{c+b}{2(c-b)}$.
Теперь подставим значения $b = 0,25 = \frac{1}{4}$ и $c = \frac{1}{3}$:
$\frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{2(\frac{1}{3} - \frac{1}{4})} = \frac{\frac{4+3}{12}}{2(\frac{4-3}{12})} = \frac{\frac{7}{12}}{2 \cdot \frac{1}{12}} = \frac{\frac{7}{12}}{\frac{2}{12}} = \frac{7}{12} \cdot \frac{12}{2} = \frac{7}{2} = 3,5$.
Ответ: 3,5.

в)

Упростим выражение $\frac{4xy}{y^2 - x^2} : \left(\frac{1}{y^2 - x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2}\right)$.
Сначала выполним действие в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители, используя формулы разности квадратов и квадрата суммы:
$\frac{1}{(y-x)(y+x)} + \frac{1}{(x+y)^2}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(y-x)(y+x)^2$:
$\frac{y+x}{(y-x)(y+x)^2} + \frac{y-x}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{y+x+y-x}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{2y}{(y-x)(y+x)^2}$.
Теперь выполним деление. Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:
$\frac{4xy}{y^2 - x^2} \cdot \frac{(y-x)(y+x)^2}{2y} = \frac{4xy}{(y-x)(y+x)} \cdot \frac{(y-x)(y+x)^2}{2y}$.
Сократим общие множители $2y$, $(y-x)$ и $(y+x)$ (при условии, что $y \neq 0, y \neq x, y \neq -x$):
$\frac{2x \cdot 1}{1} \cdot \frac{1 \cdot (y+x)}{1} = 2x(y+x)$.
Подставим значения $x = 0,35$ и $y = 7,65$ в упрощенное выражение:
$2 \cdot 0,35 \cdot (7,65 + 0,35) = 2 \cdot 0,35 \cdot 8 = 0,7 \cdot 8 = 5,6$.
Ответ: 5,6.

г)

Упростим выражение $\frac{x^2 + 25}{(x - 5)^3} + \frac{10x}{(5 - x)^3}$.
Заметим, что $(5-x)^3 = (-(x-5))^3 = (-1)^3(x-5)^3 = -(x-5)^3$.
Перепишем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя в числитель:
$\frac{10x}{(5-x)^3} = \frac{10x}{-(x-5)^3} = -\frac{10x}{(x-5)^3}$.
Теперь сложим дроби с одинаковым знаменателем:
$\frac{x^2 + 25}{(x - 5)^3} - \frac{10x}{(x - 5)^3} = \frac{x^2 - 10x + 25}{(x-5)^3}$.
Числитель является полным квадратом разности: $x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$.
Подставим его обратно в дробь:
$\frac{(x-5)^2}{(x-5)^3}$.
Сократим дробь на $(x-5)^2$ (при условии, что $x-5 \neq 0$):
$\frac{1}{x-5}$.
Подставим значение $x = 5,125$ в упрощенное выражение:
$\frac{1}{5,125 - 5} = \frac{1}{0,125}$.
Так как $0,125 = \frac{1}{8}$, то:
$\frac{1}{1/8} = 8$.
Ответ: 8.