Номер 556, страница 143 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.5. Числовое значение рационального выражения. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 556, страница 143.

Условие.

556. Вычислите значение выражения:

а) $\frac{a+b}{a^2-b^2} + a + \frac{b}{a}$ при $a = 3, b = 4;$

б) $\frac{ab}{a^2+b^2} - a^2$ при $a = -3, b = 4;$

в) $\frac{xy-5}{x+y} \cdot \frac{x+y}{x-y}$ при $x = 0, y = -3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Дано выражение $\frac{a+b}{a^2-b^2} + a + \frac{b}{a}$ при $a = 3, b = 4$.
Для начала упростим выражение. Знаменатель первой дроби $a^2 - b^2$ — это формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Подставим это в первую дробь и сократим: $\frac{a+b}{(a-b)(a+b)} = \frac{1}{a-b}$.
После упрощения выражение принимает вид: $\frac{1}{a-b} + a + \frac{b}{a}$.
Теперь подставим числовые значения $a = 3$ и $b = 4$:
$\frac{1}{3-4} + 3 + \frac{4}{3} = \frac{1}{-1} + 3 + \frac{4}{3} = -1 + 3 + \frac{4}{3} = 2 + \frac{4}{3}$.
Чтобы сложить целое число и дробь, приведем их к общему знаменателю:
$2 + \frac{4}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6+4}{3} = \frac{10}{3}$.
Ответ: $\frac{10}{3}$.

б) Дано выражение $\frac{ab}{a^2+b^2} - a^2$ при $a = -3, b = 4$.
Упростить это выражение нельзя, поэтому сразу подставим значения переменных $a = -3$ и $b = 4$:
$\frac{(-3) \cdot 4}{(-3)^2 + 4^2} - (-3)^2$.
Выполним вычисления по порядку:
1. Произведение в числителе: $(-3) \cdot 4 = -12$.
2. Квадраты в знаменателе и в вычитаемом: $(-3)^2 = 9$ и $4^2 = 16$.
Подставляем полученные значения обратно в выражение:
$\frac{-12}{9 + 16} - 9 = \frac{-12}{25} - 9$.
Приводим к общему знаменателю 25:
$\frac{-12}{25} - \frac{9 \cdot 25}{25} = \frac{-12}{25} - \frac{225}{25} = \frac{-12 - 225}{25} = -\frac{237}{25}$.
Ответ: $-\frac{237}{25}$.

в) Дано выражение $\frac{xy-5}{x+y} \cdot \frac{x+y}{x-y}$ при $x = 0, y = -3$.
Перед подстановкой значений можно упростить выражение. Заметим, что мно