Номер 562, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.6. Тождественное равенство рациональных выражений. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 562, страница 146.

Условие.

562. Какое равенство двух рациональных выражений называют тождеством?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Равенство двух рациональных выражений называют тождеством, если оно обращается в верное числовое равенство при всех допустимых значениях переменных, входящих в его состав.

Подробное объяснение:

1. Рациональное выражение — это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменных с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень. Оно может быть представлено в виде дроби $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — многочлены, причем $Q$ не является нулевым многочленом.
2. Допустимые значения переменных — это все те значения, при которых рациональное выражение имеет смысл. Для рациональных дробей это означает, что их знаменатели не должны обращаться в нуль. Множество всех допустимых значений переменных называется областью определения выражения или областью допустимых значений (ОДЗ).
3. Тождество — это равенство, которое истинно для любых значений переменных из общей области определения для левой и правой частей равенства.

Таким образом, если у нас есть равенство двух рациональных выражений $A = B$, оно будет тождеством, если для любого набора значений переменных, при котором и $A$, и $B$ определены (имеют смысл), значения выражений $A$ и $B$ совпадают.

Пример тождества:

Равенство $\frac{a^2 - 9}{a - 3} = a + 3$ является тождеством.

Область допустимых значений для левой части — все числа, кроме $a = 3$ (так как при $a=3$ знаменатель обращается в ноль). Правая часть определена для любого значения $a$. Общая область определения для обеих частей — все $a \neq 3$.

Проверим, выполняется ли равенство для любого $a$ из этой области. Преобразуем левую часть:
$\frac{a^2 - 9}{a - 3} = \frac{(a-3)(a+3)}{a-3}$

Поскольку $a \neq 3$, мы можем сократить дробь на $(a-3)$, получив $a+3$.

Таким образом, при всех $a \neq 3$ левая часть равна правой, значит, это тождество.

Пример равенства, не являющегося тождеством (уравнение):

Равенство $\frac{x}{5} = 2$ не является тождеством. Оно верно только при одном значении переменной: $x=10$. Для всех остальных значений $x$ (например, $x=5$) оно неверно.

Ответ: Тождеством называют равенство двух рациональных выражений, которое выполняется при всех допустимых значениях входящих в него переменных.