Номер 566, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.6. Тождественное равенство рациональных выражений. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 566, страница 147.

Условие.

Доказываем. Докажите тождество (566—569):

566. а)

$(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}) \cdot (x^2 - 2x + 1) = \frac{2x - 2}{x+1}$

б) $(\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}) \cdot (x^2 - 4x + 4) = \frac{4x - 8}{x+2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Чтобы доказать тождество $(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}) \cdot (x^2 - 2x + 1) = \frac{2x-2}{x+1}$, преобразуем его левую часть.

1. Выполним вычитание дробей в скобках. Общий знаменатель для дробей $\frac{1}{x-1}$ и $\frac{1}{x+1}$ равен $(x-1)(x+1)$.

$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = \frac{1 \cdot (x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{1 \cdot (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1 - (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1-x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{(x-1)(x+1)}$.

Знаменатель $(x-1)(x+1)$ можно также записать как $x^2-1$ по формуле разности квадратов.

2. Заметим, что выражение $x^2 - 2x + 1$ является полным квадратом разности: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

3. Теперь умножим результат первого действия на преобразованное выражение из второго действия:

$\frac{2}{(x-1)(x+1)} \cdot (x-1)^2 = \frac{2 \cdot (x-1)^2}{(x-1)(x+1)}$.

4. Сократим дробь на общий множитель $(x-1)$. Это возможно при условии, что $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

$\frac{2 \cdot (x-1)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x-1)}(x+1)} = \frac{2(x-1)}{x+1}$.

5. Раскроем скобки в числителе:

$\frac{2(x-1)}{x+1} = \frac{2x-2}{x+1}$.

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Таким образом, тождество доказано для всех допустимых значений $x$ (где $x \neq 1$ и $x \neq -1$).

Ответ: Левая часть тождества $(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}) \cdot (x^2 - 2x + 1)$ после преобразований равна $\frac{2x-2}{x+1}$, что и требовалось доказать.

б)

Чтобы доказать тождество $(\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}) \cdot (x^2 - 4x + 4) = \frac{4x-8}{x+2}$, преобразуем его левую часть.

1. Выполним вычитание дробей в скобках. Общий знаменатель для дробей $\frac{1}{x-2}$ и $\frac{1}{x+2}$ равен $(x-2)(x+2)$.

$\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} = \frac{1 \cdot (x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{1 \cdot (x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+2 - (x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+2-x+2}{(x-2)(x+2)} = \frac{4}{(x-2)(x+2)}$.

Знаменатель $(x-2)(x+2)$ можно также записать как $x^2-4$ по формуле разности квадратов.

2. Заметим, что выражение $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом разности: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.

3. Теперь умножим результат первого действия на преобразованное выражение из второго действия:

$\frac{4}{(x-2)(x+2)} \cdot (x-2)^2 = \frac{4 \cdot (x-2)^2}{(x-2)(x+2)}$.

4. Сократим дробь на общий множитель $(x-2)$. Это возможно при условии, что $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

$\frac{4 \cdot (x-2)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x-2)}(x+2)} = \frac{4(x-2)}{x+2}$.

5. Раскроем скобки в числителе:

$\frac{4(x-2)}{x+2} = \frac{4x-8}{x+2}$.

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Таким образом, тождество доказано для всех допустимых значений $x$ (где $x \neq 2$ и $x \neq -2$).

Ответ: Левая часть тождества $(\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}) \cdot (x^2 - 4x + 4)$ после преобразований равна $\frac{4x-8}{x+2}$, что и требовалось доказать.